第二章《2.5.2圆与圆的位置关系》教学设计-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦圆与圆的五种位置关系、两种判定方法及公共弦方程、轨迹问题应用。通过生活实例导入，类比直线与圆位置关系，结合几何画板动态演示，搭建从直观观察到代数刻画的学习支架。 以核心素养为导向，通过动态演示培养直观想象，小组探究圆心距与半径关系发展逻辑推理，坐标法解决轨迹问题提升数学运算。分层作业与多元评价适配学情，助学生深化数形结合思想，为教师提供高效教学方案。

《2.5.2圆与圆的位置关系》教学设计 一、课题：2.5.2圆与圆的位置关系 二、第3学时 三、教学内容分析 1．教学内容： 圆与圆位置关系的五种类型，圆与圆位置关系的两种判定方法，两圆相交时公共弦所在直线方程，结合实际问题（轨迹问题）应用圆与圆位置关系解决问题. 2．内容解析： 本节课选自人教版高中数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》第五节第3课时. 在此之前，学生已学习了直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系.从前面已有的知识入手，引导学生从类比的方式，运用直线与圆的位置关系的研究方法，通过圆的方程定量计算圆与圆的位置关系，以具体问题获取经验，发现判断圆与圆的位置关系也有两种思路：一种是根据两个圆公共点的个数判断两圆相交、相切、相离，从而得到利用两个圆的方程组成的方程组解的情况来判断的方法，即代数法；另一种是根据圆心距与半径和或差的大小关系，利用方程求出圆心距，比较圆心距与两圆半径和差的大小关系来判断的方法，即几何法.并以例题的方式，进行实际运用，同时让学生总结不同位置关系时不同的数量关系，从数与形的量方面去加以认识，在对比和类比中加深对圆与圆的不同位置关系的认识和理解. 从数学思想价值来看，本节课蕴含多重核心数学思想.数形结合思想体现在：通过动画直观呈现几何位置关系，再通过代数运算精准判断，实现形的直观与数的严谨的双向转化；类比思想体现在：延续直线与圆位置关系的研究路径，帮助学生快速迁移思维模式；转化与化归思想体现在：将圆与圆位置关系的判断转化为圆心距与半径的大小比较，将公共弦问题转化为两圆方程相减，降低几何问题的研究难度；从特殊到一般思想体现在：通过具体例题的求解，归纳出圆与圆位置关系的通用判定方法和公共弦方程的推导规律. 因此，本节课的教学需让学生掌握圆与圆位置关系的类型、判定方法及公共弦方程的推导，深化对坐标法的理解，培养几何与代数的转化能力，最终实现知识迁移—方法应用—素养提升的目标，符合数学知识循序渐进、螺旋上升的新课程理念. 四、学情分析 1.学生基本情况： 高二学生已经具备了一定的逻辑思维能力和自主探究能力，在学习了直线与圆的位置关系后，对解析几何的思想方法有了初步的了解.但对于圆与圆位置关系的判断，学生可能会在如何将几何特征转化为代数方程以及如何选择合适的方法进行判断等方面存在困难. 在以往的学习中，学生在处理复杂的代数运算和对几何图形的综合分析时，容易出现计算错误和思路不清晰的问题.因此，在教学过程中，需要引导学生通过类比直线与圆位置关系的研究方法，自主探究圆与圆位置关系的判断方法，同时加强对学生计算能力和逻辑思维能力的训练. 2.学生可能遇到的困难： 困难1：对外离与内含、外切与内切的区分仅停留在直观层面，难以用圆心距与半径的关系精准刻画； 困难2：联立两圆方程判断位置关系时，当判别式或，无法进一步区分具体类型，数形结合意识薄弱； 困难3：推导公共弦所在直线方程时，难以理解两圆方程相减的必然性，无法建立公共点坐标满足两圆方程→满足相减后方程的逻辑链条； 困难4：解决轨迹与圆的位置关系问题时，难以先求出轨迹方程，再应用圆与圆位置关系判定，步骤衔接不流畅. 3.应对策略： 为解决以上困难，将采用以下策略突破难点： 针对困难1：通过动画分步骤演示圆与圆位置关系的变化，聚焦公共点个数和圆的包含关系，结合圆心距与半径和、半径差的大小比较的问题串，引导学生从直观观察过渡到代数刻画，强化类型区分.​ 针对困难2：在例题教学中，先通过联立方程得到的结果，再追问仅靠能否确定具体位置类型，引导学生结合圆心距与半径的关系补充判断，明确两种方法的互补性. 针对困难3：从公共点坐标满足两圆方程的基本事实出发，通过若点在两圆上，是否满足两圆方程相减的结果的追问，逐步推导公共弦方程，结合具体例子验证，强化逻辑闭环. 针对困难4：在轨迹问题教学中，先带领学生回顾求轨迹方程的步骤，再引导学生识别轨迹为圆，最后应用圆与圆位置关系的判定方法，拆解步骤、逐步突破.​ 五、教学目标 1.通过观察动画、归纳特征，学生能清晰阐述圆与圆位置关系的五种类型，发展直观想象和数学抽象素养. 2.通过探究圆心距与两圆半径的关系、联立方程判断判别式，学生能熟练掌握圆与圆位置关系的两种判定方法，深化对坐标法的理解，提升逻辑推理和数学运算素养. 3.通过推导两圆相交时公共弦所在直线方程、解决轨迹与圆的位置关系问题，学生能应用圆与圆位置关系解决实际问题，发展数学建模和问题解决能力. 六、教学重点、难点 重点：圆与圆的位置关系的判断方法. 难点：圆与圆位置关系的应用. 七、评价设计 1.评价目标： 检测学生对圆与圆位置关系五种类型的掌握程度，评估学生运用几何法与代数法判断位置关系的能力，考察学生推导和应用公共弦方程的能力，评价学生运用坐标法解决轨迹问题的能力，关注学生在数学思想方法上的发展（数形结合、类比、转化与化归等）. 2.评价原则: 诊断性：及时发现学生学习中的困难点.过程性：关注学习过程中的表现，而非仅看结果.表现性：通过实际问题解决展示能力.激励性：以积极反馈为主，促进学生进步 八、教学过程活动设计 环节名称 教师活动 学生活动 设计意图 时间 一、创 设 情 境 ， 引 入 新 课 导语：本章已经研究了直线的方程、圆的方程、两直线的位置关系、直线与圆的位置关系，因此接下来将研究圆与圆的位置关系.圆和圆的组合在生活中尤为常见，如自行车齿轮、奥运五环、涟漪等.那么，从数学的角度看，两个圆在平面上移动，它们的位置关系会有哪些情况？我们又该如何用数学语言来精确地描述这种几何关系呢？让我们一起走进今天这节课，感受圆的美. 聆听教师引入，观察生活中圆与圆组合的实例（自行车齿轮、奥运五环、涟漪等）. 从单元整体出发，明确学习任务，自然地引出本节课的内容，同时让学生联系生活实际，激发学生的学习兴趣. 3 二、 新 知 探 究 ， 整 体 认 知 1.认识圆与圆的位置关系 教师活动：教师操作几何画板，演示两个圆位置关系的变化过程. 问题1：按照两个圆的公共点个数来划分，两个圆之间有哪些位置关系？ 预设：两圆没有公共点，它们相离；两圆只有一个公共点，它们相切；两圆有2个公共点，它们相交. 教师活动：教师继续演示动画，聚焦 “没有公共点” 和 “公共点个数为 1 个” 的情况. 追问：当两个圆没有公共点时，两个圆的位置有什么不同？当公共点个数为 1 个时，又有什么不同？ 预设：都有在里面和在外面两种情况.因此相离分为外离和内含，相切分为外切和内切. 总结：圆与圆的位置关系共五种 —— 外离、外切、相交、内切、内含. 2.探究圆与圆位置关系的判断方法 问题2：类比直线与圆位置关系的判定方法，如何判断圆与圆的位置关系？ 预设：①回顾直线与圆位置关系的几何判定方法：求得圆心坐标与半径，从而求得圆心到直线的距离，通过比较与的大小，判断直线与圆的位置关系. 圆与圆位置关系的几何判定方法：比较圆心距、两个圆的半径的大小关系. 活动：小组合作探究：已知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为，其中圆心距 ，请讨论圆与圆的位置关系分别为外离、外切、相交、内切、内含时对应的与、的关系. 预设： 追问：你还能从其他角度验证当圆与圆相交时，的关系吗？ 预设：当两圆相交时，设其中一个公共点为点，连接、和点，构成，根据三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，也可得到关系. ②回顾直线与圆位置关系的代数判定方法：联立直线和圆的方程，通过判定方程组的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系． 圆与圆位置关系的代数判定方法：联立两个圆的方程，通过判定方程组的解的个数，得出圆与圆的公共点的个数，进而判断圆与圆的位置关系．即：已知 圆， 圆， 联立方程 ，消元得一元二次方程，若，则相交，若，则相切（内切或外切），若，则相离（外离或内含）. 观察教师用几何画板演示的动画过程. 根据公共点个数对位置关系进行初步分类. 回答追问：当没有公共点或只有一个公共点时，位置有何不同？ 总结出五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含. 小组合作探究，展示分享. 通过动态动画直观呈现位置关系变化，先按公共点个数初步分类，再细化区分，符合学生从整体到局部的认知规律，培养学生的观察能力和归纳总结能力，为后续代数刻画奠定几何基础. 通过类比直线与圆位置关系的判定方法，帮助学生建立知识迁移的意识.通过小组合作探究，培养学生的合作交流能力和逻辑推理能力.让学生自主总结出圆与圆位置关系的几何与代数的判断方法，加深对知识的理解和记忆. 5 7 三、 应 用 新 知 ， 深 化 概 念 例5 已知圆：，圆：，试判断圆与圆的位置关系. 分析：代数法:把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题.几何法:利用两圆半径的和或差与圆心距作比较,得到两圆的位置关系. 解法1：将圆与圆的方程联立，得到方程组 ③， 化简得 ④ 因为，所以方程④有两个解，从而方程组有两组解， 所以圆与圆相交. 解法2:把圆与圆化成标准方程，得 所以， 因为 所以圆与圆相交. 追问1：本例中，是否有必要求出圆与圆的交点的坐标？ 预设：本题只要判断圆与圆是否有公共点，并不需求出公共点的坐标，因此不必解方程④，具体求值. 追问2：圆与圆的交点分别为，则线段为两圆的公共弦，你能求出圆与圆的公共弦所在的方程吗？ 预设：解得，公共弦所在的直线方程： ⑤. 追问3：观察方程③和方程⑤，你发现了什么？你能说明为什么吗? 预设：若两圆相交，则两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程作差得到. 理由如下：设圆与圆的交点为则，同理得， 所以都在直线上， 又因为两点确定唯一一条直线，所以就是公共弦所在的直线方程. 例6已知圆的直径,动点与点的距离是它与点的距离的倍. 试探究点的轨迹，并判断该轨迹与圆的位置关系. 分析：本题是探究满足某种几何条件的动点的轨迹问题，我们通常采用“坐标法”，前面我们介绍了坐标法解决平面几何问题的“三步曲”，先来回顾一下： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 问题5：回到本例，如何建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示题中的几何要素？如何把几何问题转化为代数问题？ 师生活动：让学生在独立思考的基础上解决问题，受圆的标准方程的建立的启发，考虑到对称性和让更多的几何对象落在坐标轴上，以线段的中点为原点，所在直线为轴，线段中垂线为轴，建立坐标系，再将用两点间的距离公式表示列出方程，再对方程进行整理，化简，得到点的轨迹方程，再对方程进行研究，发现它竟然表示的是圆，也就是说点的轨迹是个圆.这是在没有得到点方程的时候，很难想象的到的结果，这也正是坐标法的作用和价值.然后教师再用生成点的轨迹. 独立完成两圆位置关系的判断. 思考并回答追问：是否必需求出交点坐标？ 推导两圆公共弦所在直线方程. 观察并解释两圆方程相减得到公共弦方程的原因. 回顾坐标法解决几何问题的 "三步曲". 独立思考并建立适当的坐标系. 用两点间距离公式列出方程并化简 观察 GeoGebra 生成的轨迹，验证结论. 引导学生在分析总结方法的过程中发现通过方程的解的个数判断圆的位置关系不够精确，对外切与内切、外离与内含无法进一步区分，为几何法与代数法对比优势做铺垫.并在对两种解法进行对比分析后，使学生能够在面对具体问题情境时作出合适方法的选择，优化答题策略. 通过课本例题，让学生应用两种判定方法解决问题，巩固知识；在解题中探究公共弦方程，结合实例验证与逻辑推导，培养学生的严谨性，强化数形结合思想. 本例是以数研形的典范，也是对坐标法解决平面几何问题的“三步曲”的再应用，通过建立动点的轨迹方程，判断动点轨迹，充分展现了坐标法的魅力；同时使用数学软件GGB，使学生清楚看到动点轨迹的形成过程，检验了方程. 18 四、 总 结 测 评 ， 作 业 布 置 1.课堂小结 2.目标检测 （1）两圆和的位置关系是(　　) A.相离 B.相交 C.内切 D.外切 （2）圆与圆的公共弦长为(　　) A. B. C. D. 3.作业布置 1.复习巩固：完成教材P98练习1、2. 2.能力提升：完成教材p98页习题2.5第8、9题. 3.拓广探索：思考：如果把例6中的“倍”改为“倍”，你能分析并解决这个问题吗？ 参与课堂小结，回顾知识、方法与数学思想 完成目标检测题，检验学习效果 课后完成分层作业; 通过“知识+方法+思想”三维度总结，帮助学生构建完整的认知框架. 通过练习测评学生的目标达成情况，实现教学评的一致性. 设计三种层次的作业，适配不同学情，巩固知识，衔接后续学习，落实因材施教. 7 九、板书设计 十、作业设计 1.复习巩固：完成教材P98练习1、2. 2.能力提升：完成教材p98页习题2.5第8、9题. 3.拓广探索：思考：如果把例6中的“倍”改为“倍”，你能分析并解决这个问题吗？ 十一、教学反思和改进 本节课通过生活实例引入，借助动态演示帮助学生建立直观认识，再通过类比迁移引导学生自主探究五种位置关系及判定方法，整体符合学生认知规律.例题设计典型，例5对比了代数法与几何法的优劣，例6完整展示了坐标法解决轨迹问题的过程，体现了数学思想方法的渗透. 其中，几何画板的动态演示有效突破了抽象思维障碍，但在实际教学中，需注意避免技术过度依赖；分层作业与多元测评虽能适配不同学情，但后续需进一步关注学生答题过程中的运算细节和书写规范. 未来教学中，我会继续优化问题设计的梯度，平衡技术辅助与思维训练的关系，时刻关注学生的发展，让课堂真正成为学生素养发展的舞台. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $