4.4 一次函数的应用 课后巩固卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册“一次函数的应用”同步练，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从概念理解到实际建模再到几何综合的知识进阶，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|一次函数与方程关系、简单图像信息获取|选择1-3直接考查概念，填空14强化“数”“形”联系，夯实抽象能力| |提升层|实际问题建模（行程/利润/梯度计价）|选择5-8、解答16-18设置生活情境，如“脏脏包利润”“阶梯水费”，培养模型意识| |拓展层|函数与几何综合（折叠/平移/整点问题）|选择9-10、解答19-20结合坐标系与几何变换，如“三角形平移公共点”，发展推理能力与空间观念|

4.4 一次函数的应用 课后巩固卷2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 2．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（　　） A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20 3．如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 4．如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（    ）    A．1 B． C． D．3 5．网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 6．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 7．爷爷饭后出去散步，从家里出发20min后到一个离家900m的街心花园，与朋友在原地聊天10min后，用15min返回家里．下列四个图象中，能表示爷爷离家的距离y（m）与离家时间x（min）之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 8．市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 9．在声学探测实验中，横、纵坐标都为整数的点称为声波探测整点．如图，在平面直角坐标系的声学探测区域中，点，均位于直线上．声波从发射源点处发出，传播轨迹为，该轨迹与线段相交，将段分成了两部分．若这两部分上的声波探测整点个数相同，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，且．将向右平移（为整数）个单位长度得到．当和有公共点时，的最大值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 11．两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，如图，表示两人离地的距离与时间的关系，请结合图像解答下列问题： 表示乙离地的距离与时间关系的图像是______ 填“”或“； 甲的速度是______ ，乙的速度是______ ． 12．某地的地面温度为，如果高度每升高，气温下降，那么气温t（单位：）与高度h（单位：）之间的关系式为________________． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、点点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为______． 14．一次函数与一元一次方程的关系：从“数”的角度看，一元一次方程（为常数，且）的解，就是一次函数___________的函数值为_______时，相应的自变量x的值；从“形”的角度看，一元一次方程的解就是一次函数___________的图象与_______轴交点的_______坐标． 15．声音在空气中传播的速度（称为声速）y（单位：）是气温x（单位：）的一次函数，下表列出了不同气温时的声速： 0 5 10 15 20 331 334 337 340 343 小明在看到烟花燃烧后才听到声响，当时的气温为，小明与烟花所在地相距______．（光传播所用的时间忽略不计） 三、解答题 16．为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 17．如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地行驶，两地之间的距离是，请根据图像回答： (1)乙骑摩托车的速度是多少？ (2)甲骑自行车的速度是多少？ (3)两人相遇的时候，距B地还有多远？ (4)乙比甲晚多少时间出发，又早到多少时间？ 18．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 19．已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点从点出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为． (1)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ (2)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？求点的坐标？ 20．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题： (1)在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点； (2)若体育馆位置坐标为，在坐标系中标出点，并连接，得到， ①求的面积． ②点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C D A D A C B C 1．【答案】A 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程的解就是一次函数与轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标即可得答案． 【详解】解：一元一次方程的解是， 当时，， 故直线的图像与x轴的交点坐标是． 故选：A． 2．【答案】A 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】根据两直线的交点的横坐标为两直线解析式所组成的方程的解，可以得到关于x方程x+5＝ax+b的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴x+5＝ax+b的解是x＝20， 故选A． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．【答案】C 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的图象与x轴交点横坐标的值即为方程的解． 【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点， 关于x的方程的解是． 故选：C． 4．【答案】D 【知识点】坐标与图形、一次函数与几何综合 【分析】设轴于点；轴于点；于点，然后求出 各点的坐标，计算出长度，利用三角形面积公式即可计算出答案． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及函数图象，根据一次函数上点的坐标特征，得出三个三角形均是底为1，高为2的直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，设轴于点；轴于点；于点    由题意可得: 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为 所以， , 所以图中阴影部分的面积和等于 故选：D． 5．【答案】A 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【详解】根据总利润＝单个利润×生产的个数，即可求解． 【解答】解：由题意得：y＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.6）（200﹣x）＝1.6x+680， 故y与x之间的函数关系式为：y＝1.6x+680， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 6．【答案】D 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】通过待定系数法求出y与x的函数关系式，再将x＝137代入求解． 【详解】解：设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b， 将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：， 解得， ∴y＝﹣x+180， 将x＝137代入可得y＝43， 故选：D． 【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据待定系数法求出函数解析式． 7．【答案】A 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了函数图象的实际应用，掌握根据实际行程的不同阶段，分析离家距离与时间的变化关系，从而判断对应的函数图象是解题的关键； 通过分阶段分析爷爷的运动状态，确定每个阶段与的变化情况即可解答． 【详解】解：爷爷的行程分为三个阶段： 第一阶段：从家里出发后到离家的街心花园，此阶段离家距离随时间的增大而增大，持续； 第二阶段：与朋友聊天，此阶段离家距离保持不变，时间从到； 第三阶段：用返回家，此阶段离家距离随时间的增大而减小，从到； 观察选项，只有选项A符合这三个阶段的变化情况． 故选：A． 8．【答案】C 【知识点】梯度计价问题 【分析】分和，求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可． 本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，求函数值是解题的关键． 【详解】解：当时，设解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为 当时，设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 故， 故选：C． 9．【答案】B 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据题意确定的范围为，则可确定整点有，，，，，，，，共有8个，由这两部分上的整点个数相同，故一边各有4个整点，其中点，是临界点，当直线经过点时，得，解得，符合题意的直线在此时直线的右侧，故；当直线经过点时，得，解得，此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故；解答即可． 【详解】解：根据题意得，的范围为， ∴整点有，，，，，，，，共有8个， 由这两部分上的整点个数相同， 故一边各有4个整点，其中点，是临界点， 当直线经过点时，得， 解得， 符合题意的直线在此时直线的右侧，故； 当直线经过点时，得， 解得， 此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故； 综上所述，符合题意的的取值范围是． 故选：B． 10．【答案】C 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离 【分析】设，根据两点间距离公式可得，然后得出直线的解析式为，设平移后的解析式为，当直线刚好经过点时，的值最大，进而问题可求解． 【详解】解：设， ∵，，， ∴根据两点间距离公式可得：， 整理得：（负根舍去）， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 由直线向右平移（为整数）个单位长度得到可设平移后的解析式为， 当直线刚好经过点时，的值最大， ∴把代入得：，解得：， ∴的最大值为6． 11．【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的图像，从函数图像中找到正确的信息是解题的关键． 根据图像可得表示乙离地的距离与时间关系的图象是，由图像可得，甲走需要2小时，乙走需要3小时，即可解答． 【详解】解：由图像，可得表示乙离地的距离与时间关系的图象是； （），（）， ∴甲的速度是，乙的速度是． 故答案为：；30；20． 12．【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，解决本题的关键是得到高度为千米时的温度的等量关系． 根据气温=地面温度-降低的温度，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵高度每升高km，气温下降°C， ∴气温（℃）与高度（km）之间的函数关系式为：， 故答案为：. 13．【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】题目主要考查一次函数的综合应用，解答本题的关键是利用翻折的性质、勾股定理等知识 利用勾股定理可得，由折叠得：，得出点D的坐标，设点，则，由勾股定理代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵、， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴点， 设点，则， 由折叠得：， 在中， ， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 14．【答案】 横 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的图象与一元一次方程的关系是解题的关键． 根据一次函数与一元一次方程的关系填空即可． 【详解】解：一次函数与一元一次方程的关系：从“数”的角度看，一元一次方程(为常数，且)的解，就是一次函数的函数值为0时，相应的自变量的值；从“形”的角度看，一元一次方程的解就是一次函数 的图象与轴交点的横坐标． 故答案为：，横． 15．【答案】1640 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，根据表格数据确定声速与气温的一次函数关系式，求出气温时的声速，再计算距离即可． 【详解】解：设， 把和代入得， 解得， ∴， 当时，， ， ∴小明与烟花所在地相距， 故答案为：． 16．【答案】(1) (2)购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意易得购买型健身器材套，然后可列函数解析式进行求解； （2）根据题意易得，然后由及一次函数的增减性可进行求解． 【详解】（1）解：若型健身器材买套，则型健身器材套， 由题意得：， 即与的函数关系式为（，且x为整数）； （2）解：由题意可知，，由可知，总费用为：， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 即若型健身器材买套， 则型健身器材买套， 答：购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少． 17．【答案】(1) (2) (3) (4)乙比甲晚出发，又早到 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了从函数图象中获得信息，解题的关键是数形结合，找出关键点的意义． （1）根据速度路程时间，结合函数图象求出结果即可； （2）根据速度路程时间，结合函数图象求出结果即可； （3）根据函数图象的交点坐标，得出答案即可； （4）直接根据函数图象得出乙比甲晚出发，分别求出甲、乙到达B地时，对应的函数图象的横坐标，再求出乙比甲早到即可． 【详解】（1）解：， 乙骑摩托车的速度是． （2）解：， 甲骑自行车的速度是． （3）解：根据图象可知，两函数图象的交点坐标为， ∴两人相遇时距A地． ， ∴两人相遇的时候，距B地还有远． （4）解：当甲骑自行车到达B地时，甲函数图象的横坐标为： ， 当乙骑摩托车到达B地时，乙函数图象的横坐标： ， ． 乙比甲晚出发，又早到． 18．【答案】(1)超过15立方米不超过30立方米部分，；超出30立方米部分， (2)小丽家用水25立方米 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据（1）可把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 超过15立方米不超过30立方米部分：； 超出30立方米部分：； （2）解：由（1）可知： 把代入得：， 解得：； 答：小丽家用水25立方米． 19．【答案】(1) (2)时，或时， 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，图形与坐标，解题关键是掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质． （1）当时，是以为斜边的直角三角形，在中，分别令，，求出相应的与，从而可得，再根据点P沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动，求出时间； （2）分、，分别求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时，是以为斜边的直角三角形， 在中，分别令，， 得，． ， 点P沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动， ； （2）第一种情况： 当时，是以为腰的等腰三角形， 在直角三角形中，， ， ， ． ． 第二种情况： 当时，是以为腰的等腰三角形， ， ， ，． 20．【答案】(1) 确定原点O并建立平面直角坐标系如图所示： (2)①；② 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、线段问题(轴对称综合题)、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查平面直角坐标系，割补法求三角形的面积，一次函数的应用． （1）点A和B的坐标确定原点O并建立平面直角坐标系即可； （2）①利用割补法计算即可； ②根据轴对称的性质作关于轴的对称点，连接交轴于点，进而可得 ，此时最小，再待定系数法求的解析式，进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：根据和． （2）解：①． ②如图，作关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴ ∴ ，此时最小， 设直线的解析式为， 代入，得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $