4.4 一次函数的应用（分层作业·练题型）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，从基础应用到综合创新，构建“巩固-进阶-拔高-中考”四层知识巩固路径，培养数学建模与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|一次函数表达式建立、方案选择、利润问题等基础应用|结合购物、出行等生活情境，题型含解答题与选择填空，强化概念理解| |B组能力进阶|未明确题量，推测为综合应用|衔接A组，提升问题复杂度，培养分析解决实际问题能力| |C组思维拔高|未明确题量，推测为拓展探究|深化逻辑推理，涉及多知识点融合，发展创新意识| |拓展链接中考|对接中考题型|整合梯度训练成果，强化应试能力，体现数学应用价值|

分层作业 4.4 一次函数的应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 方案选择问题 题型02 最大利润问题 题型03 行程问题 题型04 阶梯电价问题 题型05 一次函数与几何综合问题 题型06 一次函数与方程问题 题型07 一次函数的平移问题 题型08 一次函数与坐标轴的交点问题 题型09 一次函数的对称问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 方案选择问题题型01 一、解答题 1．为了认真落实全国教育工作会议“以身心健康为突破点强化五育并举”的要求，全面实施“每天一节体育课”，学校计划从网上订购一批足球和跳绳，网络搜索后发现足球每个定价元，跳绳每条定价元，现有两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． 网店：买一个足球送一条跳绳；网店：足球和跳绳都打九折． 已知要购买足球个，跳绳条（）． (1)分别写出在两家网店购买所需的费用和；（不必写出自变量取值范围） (2)若，求的值； (3)若学校此次订购的预算经费元，请你利用所学知识说明在哪家网店购买更划算？ 【答案】(1)，； (2) (3)网店购买更划算 【分析】（）根据题意列出函数关系式即可； （）根据列出关于的方程即可求解； （）把代入两个函数解析式求出的值，进而比较即可求解； 本题考查了一次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，， 即，； （2）解：若，则， 解得； （3）解：当时，， 解得； 当时，， 解得， ∵， ∴网店购买更划算． 2．项目式：智慧出行 【背景】“绿途”共享单车公司为满足不同用户的长距离骑行需求，推出了两种计时计费套餐： 畅骑套餐：收费公式为：； 随心套餐：收费公式为：； 其中，y代表骑行的总费用（元），x代表用户的骑行时长（分钟）． 【理解模型】 （1）请解释“畅骑套餐”公式中的“0.3”和“15”以及“随心套餐”公式中的“0.7”在实际计费中分别表示什么意义； 【应用模型】 （2）小航周末计划骑行去郊外景区，往返预计骑行总时长为80分钟，且在景区周边还会产生约20分钟的额外骑行时长，根据计算，他应该选择哪个套餐更省钱？ 【答案】（1）“0.3”表示每骑行1分钟的费用是0.3元，“15”表示骑行的起步费用是15元，随心套餐中，“0.7”表示每骑行1分钟的费用是0.7元； （2）他应该选择“畅骑套餐”更省钱 【分析】本题考查了一次函数的实际应用． （1）根据一次函数的表达式，结合题目中给出的收费公式，分析每个参数的实际意义即可； （2）根据题目中给出的收费公式，分别计算出“畅骑套餐”和“随心套餐”的费用，然后比较两个套餐的费用，选择费用较低的套餐即可． 【详解】解：（1）畅骑套餐中，“0.3”表示每骑行1分钟的费用是0.3元，“15”表示骑行的起步费用是15元，随心套餐中，“0.7”表示每骑行1分钟的费用是0.7元． （2）由题意知，骑行总时长为（分钟）， 当时，即骑行总时长为100分钟时，，， ∵， ∴， ∴他应该选择“畅骑套餐”更省钱． 3．某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1)；； (2) 选方案二更优惠，理由如下： 当时，；； ， 选方案二更优惠． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式： （1）根据两种优惠方案，列出关系式即可； （2）求出时的值，比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意，； ； ；； （2）略 4．在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 【答案】(1) (2)选择B种套餐更合算 【分析】（1）根据已知，列出函数关系式即可； （2）结合（1），求出时，两种套餐的费用，再比较即可． 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）解：根据题意得：，； （2）解：当时， ， ， 选择B种套餐更合算． 5．某游乐园票价为每人120元，为了吸引客源，该游乐园在“双11”期间推出了针对团体的优惠活动，具体内容如下： ①若团体人数不足10人，则不享受优惠； ②若团体人数在10人及以上，则有两种优惠方案可供选择； 方案一：每人都享受七五折优惠； 方案二：其中10人享受八五折优惠，其余人享受六折优惠． 期中练习后，为了让孩子们放松一下，三个家庭准备到该游乐园游玩，已知A家庭有4人，B家庭有3人，C家庭有2人． (1)若这三个家庭直接去游乐园，则购买门票共需花费多少元？ (2)为了享受优惠，他们准备再邀请一些人组成团体一起去该游乐园，假设他们共邀请了x个人，请解决下列问题： ①若他们选择方案一，设购买门票共需花费y元．试用含x的代数式表示y； 若他们选择方案二，设购买门票共需花费w元，试用含x的代数式表示w． ②当时，选择哪种方案更合算？请通过计算说明． 【答案】(1)购买门票共需花费元 (2)①方案一：；方案二：；②选择方案二更划算 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确表示出不同的表达式是解题的关键． （1）依据题意可得不享受优惠，计算即可； （2）①依据题意，分别根据购票方案一，方案二，表示出购买门票的费用； ②依据题意，将代入各个表达式对比即可． 【详解】（1）解： A家庭有4人，B家庭有3人，C家庭有2人， 则共有（人）， 购买门票共需花费（元）， 答：购买门票共需花费元； （2）解：①方案一:； 方案二： ②当时，（元）； （元）， ， 故选择方案二更划算． 最大利润问题题型02 一、解答题 1．呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题 内容 材料一 某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示． 材料二 为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋． 任务： (1)求y关于x的函数解析式． (2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案． 【答案】(1) (2)，进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据题意得款牛奶贝的进货量为袋，根据题意列出w与x之间的函数关系式，根据一次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：设函数解析式为， 由图可知直线穿过原点，当时，， 可得， 解得， 所以y关于x的函数解析式为； （2）解：由材料2可得， ， 化简得， ∵， ∴随增大而减小， ∴当时，有最大值为8500， 答：进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润． 2．三门峡卢氏山川秀美，物产丰富，有“香菇之都”和“中国核桃之乡”美称．某特产店在春节期间推出了菌菇和核桃两种礼盒．已知售出1个菌菇礼盒和2个核桃礼盒的销售总额为320元，售出1个菌菇礼盒的销售额比售出1个核桃礼盒的销售额多20元． (1)求菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价； (2)由于销量较好，老板决定再次购进这两种礼盒共20个，且菌菇礼盒至少购进10个．若在售价不变的情况下，每个菌菇礼盒的利润率为，每个核桃礼盒盈利25元．设购进个菌菇礼盒，这批礼盒全部售完后所获得的利润为元． ①求关于的函数解析式； ②当购进_____________个菌菇礼盒时能获得最大利润，最大利润是_____________元． 【答案】(1)菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价分别为120元和100元 (2)①；②10；450 【分析】（1）设1个核桃礼盒的销售单价为x元，则可表示1个菌菇礼盒的销售单价，根据等量关系：售出1个菌菇礼盒和2个核桃礼盒的销售总额为320元，列出一元一次方程，并求解即可； （2）①求得1个菌菇礼盒的进价，进而得其利润，再由利润和即可得到关于的函数解析式； ②根据①所列的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：设1个核桃礼盒的销售单价为x元，则1个菌菇礼盒的销售单价为元， 由题意，得， 解得， 则； 答：菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价分别为120元和100元； （2）解：①每个菌菇礼盒的进价为（元），利润为（元）， 则，其中； ②，且 ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w最大，且最大值为， 答：当购进10个菌菇礼盒时能获得最大利润，最大利润是450元． 3．为迎接“国家级文明卫生城市”检查，某市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱．每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元．现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中购买A型垃圾箱不超过16个． (1)求购买垃圾箱的总花费W（元）与A型垃圾箱x（个）之间的函数关系式； (2)当购买A型垃圾箱个数多少时总费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)购买16个A型垃圾箱，总费用最少，最少费用为3280元 【详解】（1）解：由题意得：（，且x为整数）， 答：函数关系式为（，且x为整数）． （2）解：由（1）知是x的一次函数， ∵， ∴W随x的增大而减小， 又，且x为整数， 当时，W取最小值，且最小值为， 答：购买16个A型垃圾箱，总费用最少，最少费用为3280元． 行程问题题型03 一、单选题 1．周末，小陆一家从家出发开车前往一研学基地游玩，经过服务区休息片刻，然后继续驾车驶往目的地．汽车行驶路程y（千米）与行驶时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，下列判断不正确的是（     ） A．他们在服务区休息了20分钟 B．在服务区休息前的行驶速度比休息后快 C．他们出发80分钟后到达服务区 D．小陆家距离基地350千米 【答案】D 【分析】根据函数的图象，结合速度，路程，时间的关系求解即可； 【详解】解：A. 他们在服务区休息了分钟，正确，不符合要求； B. 休息前的速度为，休息后的速度为，故在服务区休息前的行驶速度比休息后快，正确，不符合要求； C. 他们出发80分钟后到达服务区，正确，不符合要求； D. 小陆家距离基地225千米，原说法错误，符合要求； 二、填空题 2．一辆货车从地开往地，同时一辆小汽车从地开往地，两车均匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示． 下列说法中正确的有__________．（用序号填写） ①，两地相距120千米； ②出发小时，小汽车比货车多行驶了60千米； ③出发1小时，货车与小汽车相遇； ④小汽车的速度是货车速度的2倍． 【答案】①②③④ 【分析】由函数图像即可判断①③，再根据函数图像可知出发小时，小汽车到达A地，即可求出小汽车和货车的速度，即可判断②④． 【详解】解：由函数图象可得：A、B两地相距120千米，出发1小时，货车与小汽车相遇，故①③正确； 由图象可知，出发小时，小汽车到达A地， ∴小汽车的速度为（千米/小时）， ∵两车相遇时，速度之和为120千米/小时， ∴货车的速度为（千米/小时）， ∴出发1.5小时，小汽车比货车多行驶了（千米），故②正确； ∵小汽车的速度为80千米/小时，货车的速度为40千米/小时， ∴小汽车的速度是货车速度的2倍，故④正确． 综上，正确的有①②③④． 3．A，B两地相距，小明从A地出发骑自行车以的速度前往B地，用x（单位：h）表示骑行时间，y（单位：）表示小明与B地的距离，写出y关于x的函数解析式______． 【答案】 【分析】根据题意，小明与B地的距离等于A，B两地总距离减去小明骑行的路程，先得到y与x的等量关系，再确定自变量x的取值范围，即可得到函数解析式． 【详解】解：根据题意可得， ∵x是骑行时间，不能为负数，∴， 当小明到达地时，代入得，解得， 因此最大为， 即． ∴y关于x的函数解析式为． 4．某出租车公司运价执行新标准：日间起步价13元（含3公里），超出3公里后每公里收费2.6元；若单程行驶超过15公里，则超出15公里的部分需加收的空驶费（即超出15公里的部分按3.9元/公里计费）．设某出租车的行驶里程为x公里，运价为y元，当单程行程时，运价y关于x的函数解析式为______． 【答案】 【分析】当时，按收费标准将运价拆分为三部分分别计算，再合并整理即可得到函数解析式． 【详解】解：当时，按收费标准拆分计算运价： 3公里内起步价为13元， 3公里到15公里的路程为公里，这部分费用为元， 超出15公里的路程为公里，这部分费用为元， ∴总运价 整理得： 即 因此，函数解析式为． 三、解答题 5．如图，公路上有A，B，C三个汽车站，一辆汽车从离A站的P地出发，向C站匀速行驶，后离A站． (1)设出发后，汽车离A站，求y与x之间的函数表达式． (2)当汽车行驶到离A站的B站时，接到通知要在前赶到离B站的C站．汽车按原速度行驶，能否在规定时间前到达？说明理由． 【答案】(1) (2)汽车按原速度行驶，能在规定时间前到达，理由见解析 【分析】（1）先求出汽车的速度，再根据汽车离A站的距离出发时离A站的距离汽车小时行驶的路程，即可得出y与x之间的函数表达式； （2）先求出C站离A站的总距离，当时，求出，结合题意分析即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：汽车的速度为， ∵一辆汽车从离A站的P地出发，设出发后，汽车离A站， ∴； （2）解：汽车按原速度行驶，能在规定时间前到达，理由如下： 由题意可得，C站离A站的总距离为， 当时，， 解得：， ∵， ∴小时小时分钟， ∴汽车出发，经过小时分钟后为， ∵， ∴汽车按原速度行驶，能在规定时间前到达． 6．一位记者乘坐汽车赴外的历史博物馆采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)求汽车在高速公路上行驶的速度． (2)求所在直线对应的函数解析式． (3)记者出发后多长时间到达采访地？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据路程除以时间即可求解； （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入即可求解． 【详解】（1）解：， 答：汽车在高速公路上行驶的速度为； （2）解：设所在直线对应的函数解析式为， 代入和 则 解得 ∴所在直线对应的函数解析式为； （3）解：由解析式，得到汽车在普通公路上行驶的速度为； 则汽车在普通公路上行驶时间为， 总用时为 答：记者出发后到达采访地． 阶梯电价问题题型04 一、单选题 1．永州市内货摩（运货的摩托）的运输价格为：2千米内运费5元；路程超过2千米的，每超过1千米增加运费1元，那么运费y元与运输路程x千米的函数图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据货物运输的运费规则，分情况讨论不同路程段的函数表达式，进而判断函数图象． 【详解】解：当时，运费元保持不变，函数图象是一条平行于x轴的线段，、C、D选项在该区间函数值是变化的，所以C、D选项不符合题意； 当时，超过2千米的部分为千米，每超过1千米增加运费1元，则运费，y随x的增大而增大， 因此，只有选项B符合上述分析的图象特征，所以B符合题意． 二、填空题 2．为保障城乡供水事业可持续发展，某市水费采用阶梯计价，下表是该市居民生活用水的收费标准： 阶梯等级 每人每月用水量 价格 一阶 不超过 2.6元 二阶 超过不超过 3.9元 三阶 超过 7.8元 王老师家有口人，设他家某月人均用水量为，应缴水费是元，当时，与之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】根据阶梯收费标准，先确定时人均水费的计算方式，再结合家庭人口数得到总水费，整理后即可得到与的函数关系式． 【详解】解：当时， 人均用水量中，不超过部分的水费为 元， 超过部分的水量为，该部分水费为元． 因此人均水费为元， 已知王老师家有4口人，总应缴水费， 当时，与之间的函数关系式为． 三、解答题 3．西安市对城市居民冬季独立采暖（壁挂炉或自采暖）阶梯收费标准如下表（以户为单位）． 阶梯 采暖用气 销售价格 第一阶梯 （含2000）的部分 2.14元/ 第二阶梯 （含3000）的部分 2.57元/ 第三阶梯 以上的部分 3.21元/ 根据表中所给的数据解答以下问题： (1)设某户这个冬季用气量为（），缴纳燃气费用y元，求y关于x的函数表达式． (2)已知某户这个冬季缴纳燃气费用5308元，求该户用了多少立方米的燃气． 【答案】(1) (2)2400立方米 【分析】（1）根据收费标准可直接进行求解； （2）根据题意可知在第二阶梯，然后代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 即y关于x的函数表达式； （2）解：由题意得：当时，由第一阶梯的收费标准可得：（元）， （元）， ∵， ∴此费用在第二阶梯， ∴， 解得：； 答：该户用了2400立方米的燃气． 4．某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价／[元／ 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出电费（单位：元）与用电量之间的表达式； (2)小明家月用电量是，求小明家月的电费； (3)某户月的电费是元，求该户月的用电量． 【答案】(1) (2)小明家月的电费元 (3)该户月的用电量为 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及一次函数的应用，关键是电费与用电量之间的数量关系； （1）利用表格所给数据，即可找出电费与之间的关系式； （2）将代入（1）中所得的关系式，求出的值即可； （3）根据电费是元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 【详解】（1）解：当时， ， 即； （2）解：当时，（元）， ∴小明家月的电费元； （3）解：当时，， 当时，， ， ∴该户月用电量属于第二档， 当时，，解得， ∴该户月的用电量为． 5．某省居民生活用电阶梯式收费探索卡 素材1 能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，某省电费采用“阶梯收费”的方式． 素材2 居民生活用电阶梯式价格计费方式如下： 第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度． 第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度． 第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度． 问题解决 任务1 已知某户月用电量x度，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式． 任务2 已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费． 任务3 某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量． 【答案】任务1：；任务2：91元；任务3：240度； 【分析】本题考查了分段函数． 任务1：分情况列出关系式即可； 任务2：用电量180度，在第二档，将代入计算即可； 任务3：先求出用电量在第二档，进而根据列方程计算即可． 【详解】解：任务1：当时，， 当时，，即， 当时，，即， 任务2：， ∴当时，（元） 答：小迪同学家8月的电费91元． 任务3：当时，， 当时，， ， ． 当时，． ． 答：该户10月的用电量为240度． 6．根据以下素材．探索完成任务． 泉州土笋冻是独具地方风味的特色小吃，以其独特口感享誉一方．泉州本地土笋冻企业与京东快递公司合作，为各地食客寄送新鲜土笋冻．以下是本次合作的相关素材信息，请根据素材完成后续任务． 素材1 京东快递公司规定： 从当地寄送土笋冻到市按重量收费：当土笋冻重量不超过千克时，需要寄送费元；当重量超过千克时，超过部分另收元/千克． 素材2 电子存单 电子存单 托寄物：土笋冻 包装服务产品类型：京东快递公司 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：土笋冻 包装服务产品类型：京东快递公司 计量重量：千克 件数： 总费用：元 任务1 根据以上信息，请确定的值 任务2 求出土笋冻重量千克的寄送费用，结果用的代数式表示 任务3 若土笋冻重量达到千克，请求出最省的寄送费用． 【答案】任务1： 任务2： 任务3：元 【分析】本题考查一元一次方程和一次函数的实际应用，解题的关键根据快递收费规则建立函数关系． 任务1：利用电子存单的数据列方程求解； 任务2：根据收费规则写出时的函数表达式； 任务3：如果把土笋冻一次寄走，直接将代入函数表达式计算费用；把土笋冻分成两次寄走所需费用是元件；把土笋冻分三次寄送且每次不超过千克，所需费用是元；通过比较选择最省钱的寄送方法． 【详解】任务1：当重量不超过千克时，寄送费为元；当重量超过千克时，超过部分每千克收费元， 根据电子存单，重量千克，费用元， ， ， ； 任务2：当时，寄送费用； 任务3：当时， 若一次全部寄走，所需费用为（元）； 若先寄一个千克，再寄一个千克，所需费用为（元）； 若分三次寄走，且每次的重量都不超过10千克，所需费用为（元）； ； 答：最省的寄送费用为元． 一次函数与几何综合问题题型05 一、单选题 1．如图，一次函数的图象经过点，，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据函数解析式求出点，的坐标，再求出一次函数与轴交点的坐标，过点作轴，过点作轴，最后根据即可求出结果． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴一次函数与轴交点，如图所示： 过点作轴，过点作轴， ∴，，， ∴． 2．如图①，在四边形 中，，，点P从点A出发，沿运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（     ） A．7 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】过点作于点，根据矩形的判定和性质得出相等的边，利用面积求出，假设未知数，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由图形可知， ∴， 设，则，， 由勾股定理， ∴， 解得， ∴， ∴． 二、填空题 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，M是y轴上的点（不与点B重合），若将沿直线翻折，点B恰好落在x轴正半轴上，则点M的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数综合应用、勾股定理、折叠的性质等知识，首先确定点坐标，利用勾股定理解得，然后结合折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：对于直线， 令，则，即， 令，则，即， ∴，， ∵， ∴， 点在轴正半轴上时，如下图， 由折叠可知，，， ∴， 设，则， 在中，得， 即，解得， ∴， ∴． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上任意一点，当有最小值时，点的坐标为________． 【答案】 【分析】作点关于轴的对称点，由轴对称性质得，故．当、、三点共线时取最小值．求直线的解析式，令得，故． 【详解】如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接． ， 对称点 ． 由轴对称性质：， ． 当 、、 三点共线时， 最小． 设直线解析式为， 可得，解得， 直线解析式为， 令，可得， 当有最小值时，点的坐标为． 三、解答题 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)求的面积． (3)若点C在直线上，且，求点C的坐标． 【答案】(1)； (2)1 (3)或. 【分析】（1）分别令，求出两点的坐标即可； （2）直接利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）设出点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，； ∴； （2）解：由（1）知：； ∴， ∴的面积； （3）解：∵点C在直线上， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴或. 6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动．若以为直角边的为等腰直角三角形，求点C的坐标． 【答案】或或． 【分析】分两种情况讨论：和，根据坐标两点的距离以及等腰直角三角形的定义分别求解即可． 【详解】解：当时，， 点A的坐标为， 点的横坐标为， 将代入，得， ； 当时，， 设，则， ，， ， 解得：或， 或， 综上可知，点C的坐标为或或． ． 7．如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)求点A、C的坐标； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点D，求直线的解析式． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）直线与轴交点的纵坐标为，与轴交点的横坐标为，代入计算即可； （2）由题意可知的横坐标为，设，由折叠的性质可知，根据勾股定理得到，即，设直线解析式为，根据待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：令，得，解得，即； 令，得，即； （2）解：∵是长方形，在边上， ∴的横坐标为， 设， 由折叠的性质可知， ∵，， ∴， 即， 解得， 即， 设直线解析式为， 代入、得， 解得， 即直线解析式为． 8．如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①点坐标为或；②存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据求出长即可求解； ②分三种情况，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴或，即或； ②设D的坐标是 ∴，，， 当时，，解得：，（舍去）； 当时，，解得：，； 当时，，解得：； 综上可知，点D的坐标为或或或． 9．阅读下列材料，回答问题： 研究函数的图象一般要研究其形状、位置、图象特征（如对称性），借助图象我们可以直观地得到函数的性质．例如，在研究正比例函数的图象时，通过列表、描点、连线等步骤，得到如下结论：①的图象是经过原点的一条直线；②的图象经过坐标系的第一、三象限．小艾同学借鉴研究正比例函数的经验，对新函数的图象展开探究，过程如下： 根据函数表达式列表： … … … … (1)在如图所示的坐标系中描点、连线，画出函数图象； (2)下列关于函数图象及性质描述正确的是________； ①此函数图象关于轴对称； ②当时，函数有最小值为； ③当时，随的增大而增大； (3)已知函数的图象与轴的交点为，的图象上有一点，在轴上存在一点，使的面积为，求出点的坐标； 【答案】(1)解：如图所示即为所画图象， (2)② (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）根据表中的数据描点，连线，即可求解； （2）观察函数图象即可判断； （3）先求出，或，再设，则，根据列方程求出的值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知，此函数图象关于直线对称，①错误；当时，函数有最小值为，②正确；当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，③错误； 故正确的有②； （3）解：令，则， ， 将代入得， 解得或， 或， 设， ， ， 或， 解得或或或， 点的坐标为或或或． 10．【模型认识】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点E，过A作于点B．过D作于点C，易得． 【模型应用】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标； (2)如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作轴于点，根据旋转的性质得到，，证明，得到，，即可求解点C的坐标； （2）过点作交于点，过点作轴于点，证明，得到，，根据一次函数的性质得到，，进而求出点的坐标为，再利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点D的坐标． 【详解】（1）解：如图2，过点作轴于点， 则， ∴， ∵，， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； （2）解：如图3，过点作交于点，过点作轴于点， 则， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 又∵， ∴， ∴，， 对于， 当时，则；当，则，解得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入得，，解得， ∴直线的解析式为， 令，则，解得， ∴点D的坐标为． 一次函数与方程问题题型06 一、单选题 1．方程的解可以看作一次函数的图象与x轴交点的横坐标．则方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 移项得：， 系数化为1得：． 2．如图，正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一次函数图象平移的法则得出一次函数的解析式为，令，则，求解即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合， ∴一次函数的解析式为， 令，则， 解得， ∴关于的方程的解是． 3．已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将所求方程变形，得到其对应一次函数的函数值为，再从表格中找到时对应的的值，即可得到方程的解． 【详解】解：方程可变形为， 从表格可知，当时，， ∴方程的解为． 4．在平面直角坐标系中，一次函数是常数，的图象如图所示，则下列说法中错误的是（     ） A． B．若点在该一次函数图象上，则关于的方程的解为 C．将该一次函数图象向下平移个单位长度后，所得函数为正比例函数 D．若点和点是该一次函数图象上的点，则 【答案】D 【分析】根据一次函数图象在坐标系中的位置判断 、 的符号，利用一次函数的性质及图象平移规律逐一判断即可. 【详解】 解：由图象可知，直线过一，二，四象限， ，故A选项说法正确； 若点 在图象上，则当时，，即的解为，故B选项说法正确； 将向下平移个单位长度得，是正比例函数，故C选项说法正确； ， 随 的增大而减小， ， ，故D选项说法错误. 5．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的函数图象与的函数图象可得交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与的函数图象的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 二、填空题 6．已知函数（）的图象经过点，则关于x的方程的解为______． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，方程的解即为函数值为时对应的自变量的值，结合已知条件即可求解. 【详解】解：函数（）的图象经过点， 当时，， 关于的方程的解为. 7．如图，一次函数的图象分别与轴交于两点．若，，则关于的方程的解为_________． 【答案】 【分析】利用函数过，则有时函数值为0，则关于的方程的解为． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于，， ∴关于的方程的解为． 8．如图，直线与直线相交于点，则方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了两直线交点求方程的解，理解图示中两直线交点的含义是关键，根据图形中两直线的交点为，由得到，即可求解． 【详解】解：直线与直线相交于点， ∴， ∵变形得，即， ∴方程的解为 故答案为： ． 三、解答题 9．已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． （1）一次函数的图象与轴交点横坐标的值即为方程的解； （2）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解； （3）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与轴相交于点， 关于的方程的解是． 故答案为：； （2）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：； （3）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：． 一次函数的平移问题题型07 一、单选题 1．直线向下平移个单位长度后得到的直线的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将直线向下平移个单位长度，得，即， 故选：C． 2．已知一次函数的图象与平行，且过点，那么它必过点（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，利用两直线平行时一次项系数相等求出，再结合已知点求出函数解析式，最后验证选项得到结果． 【详解】解：∵一次函数的图象与平行，两直线平行时一次函数的一次项系数相等，的一次项系数为， ∴，即函数解析式为， ∵函数过点，将点代入解析式得：， 解得， ∴该一次函数解析式为， 依次验证选项：当时，，故A、B错误； 当时，，故在函数图象上，C正确； 当时，，故D错误． 3．直线经过点和点，把直线向右平移2个单位长度得到直线，则直线的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先运用待定系数法求出直线的表达式，再结合一次函数平移规则“左加右减，上加下减”求出直线的表达式． 【详解】解：设直线的表达式为， ∵直线a经过点，， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∵直线向右平移2个单位长度得到直线， ∴直线b的表达式为，即． 4．将直线向下平移个单位长度得到的直线是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用初中一次函数平移规律“上加下减，左加右减”即可求解，向下平移个单位只需在原解析式后减即可． 【详解】∵直线平移时一次项系数不变，向下平移遵循“上加下减”的规律， ∴平移后直线的解析式为 ， 展开整理得 ． 二、填空题 5．将直线沿y轴向上平移4个单位后，与x轴的交点坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令，解得即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数的图象向上平移4个单位长度所得函数的解析式为， ∵此时与x轴相交，则， ∴，即， ∴与x轴的交点坐标是． 故答案为： 6．将直线沿轴向上平移个单位长度后经过原点，则的值为___________． 【答案】 【分析】先根据平移规律，得到平移后的直线解析式，再将原点坐标代入解析式，即可求解． 【详解】解：直线沿轴向上平移个单位长度， 平移后的直线解析式为． 又平移后的直线经过原点， 把，代入解析式得，， 解得，． 7．在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，得到的新的直线经过点，则的值为_____． 【答案】9 【分析】根据直线平移的规律得到平移后直线的解析式，将已知点的坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：将直线向上平移个单位长度后，得到新直线的解析式为， ∵新直线经过点， ∴把，代入得， ∴． 8．已知一次函数的图象与直线平行，则______． 【答案】 【详解】解：一次函数的图象与直线平行，两个一次函数的自变量系数相等，可得． 三、解答题 9．已知：一次函数 (1)若函数图象过，求此函数的解析式． (2)若函数图象与直线平行，求该函数的解析式． (3)求满足（2）条件的直线与的交点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把代入求出m的值即可得到一次函数解析式； （2）根据两直线平行的条件得到，解出m=1，从而可确定一次函数解析式． （3）两直线的解析式联立方程组，解方程组即可求得． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得， 所以一次函数解析式为； （2）解：因为函数的图象与直线平行， 所以， 解得， 所以一次函数解析式为． （3）解：联立方程组得， 解得， ∴两直线的交点为． 10．已知，与成正比例关系，是的2倍，并且当时，． (1)试求函数y关于x的表达式． (2)将函数y向下平移5个单位长度后得到的函数图象经过点．试求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，再根据当时，计算求解即可； （2）求出平移后的解析式，再把点A的坐标代入求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵是的2倍， ∴， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：将函数y向下平移5个单位长度后得到的函数解析式为， ∵平移后的函数图象经过点， ∴， ∴． 一次函数与坐标轴的交点问题题型08 一、单选题 1．一次函数的图象与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴上的点纵坐标为，据此求解一次函数图象与轴交点的横坐标即可． 【详解】解：令，得， 解得， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标为． 2．已知一次函数的解析式为，下列说法正确的是（     ） A．随的增大而减小 B．图象经过第二象限 C．图象与轴交于点 D．图象与轴交于点 【答案】C 【详解】解：A、对于一次函数，∵ ，∴ 随的增大而增大，该选项不符合题意； B、∵ ，，∴ 函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，该选项不符合题意； C、令，得，∴ 图象与轴交于点，该选项符合题意； D、令，得，解得，∴ 图象与轴交于点，该选项不符合题意； 故答案为C． 二、填空题 3．一次函数与两坐标轴围成的三角形的面积等于6，则_____． 【答案】 【分析】求出一次函数与坐标轴的交点的坐标，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴一次函数与x轴交于点，与y轴交于点， ∵一次函数与两坐标轴围成的三角形的面积等于6， ∴， 解得． 三、解答题 4．已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； 【答案】(1) (2)该函数图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出时，y的值和时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设该一次函数的解析式为， 由题意得，， 解得， ∴该一次函数的解析式为； （2）解：由（1）得该一次函数的解析式为， 在中，当时，，当时，，解得， ∴该函数图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为． 5．如图，已知过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)若与y轴交于点C，与x轴交于点A，则点A的坐标为________，点C的坐标为________，四边形的面积是________（直接写出答案即可）． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）设直线的解析式为，先利用直线求出点坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）先根据直线和的解析式求出点和点的坐标，然后利用即可求出结果． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线与直线相交于点， ∴点在直线上， ∴在直线中，令，得：， ∴点为， 将，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线的解析式为， ∴令，得：， ∴， ∵直线， ∴令，得：，解得：， ∴， 由（1）得：， ∴，， ∴． 一次函数的对称问题题型09 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度，使其与一次函数的图象关于轴对称，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．-4 【答案】A 【分析】先根据一次函数左右平移规律“左加右减”得到平移后的函数解析式，再利用关于y轴对称的函数的性质求出关于y轴对称的解析式，对比系数即可求出的值． 【详解】解：将正比例函数的图象向左平移个单位长度，可得平移后的解析式为． ∵平移后的函数图象与的图象关于轴对称， 关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等， 因此将中的替换为， 即可得到其关于轴对称的解析式． ∴平移后的解析式与为同一个函数， 可得， ∴． 2．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的对称性，关于轴对称的图象对应函数值互为相反数． 由得到，即可判断一次函数和的图象关于轴对称． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数和的图象关于轴对称， 故选：B． 3．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，轴对称的性质．函数图象沿x轴对折即关于x轴对称，纵坐标变为相反数． 【详解】解：∵原函数为，对折后点变为， ∴， 即 故选：D 二、填空题 4．若一次函数与一次函数的图象关于轴对称，则_____ 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，轴对称性质，待定系数法求函数解析式；由直线，知与x轴交于，与y轴交于，根据轴对称性质，直线经过点，，待定系数法求的值，即可求解． 【详解】解：直线，时，；时，； ∴直线与x轴交于，与y轴交于． ∴直线经过点，． ∴，解得， ∴． 故答案为：． 5．（1）将一次函数的图象向左平移2个单位，所得函数图象的解析式是___________； （2）将一次函数的图象作关于x轴对称的变换，所得函数图象的解析式是______________． 【答案】 【分析】（1）利用函数“左加右减”的平移规律计算即可得到结果； （2）利用关于轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数，代入原解析式整理即可． 【详解】解：（1）根据一次函数图象平移“左加右减”的规律， 函数，向左平移2个单位，所得函数图象的解析式为，即； （2）函数图象关于轴对称时，对称后点的横坐标与原对应点相同，纵坐标互为相反数， 因此将原解析式中的替换为， 原解析式为，代入得， 整理得． 一、单选题 1．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象进行以下探究，下列说法错误的是（     ） A． B． C．当时， D．若，则 【答案】D 【分析】根据一次函数图象的增减性、与坐标轴交点位置及两直线交点坐标逐项判断即可． 【详解】解：A． 图象从左向右下降，，说法正确； B．过点且随增大而增大，当时，即，过点且与轴交于负半轴，，，说法正确； C．两直线交点横坐标为1，当时图象在上方，，说法正确； D．当时，，代入得，解得，，令，得，，当时，，代入得，解得，，令，得，，，，说法错误． 二、填空题 2．小明步行从家去学校，走到分钟时，发现数学作业忘在了家里，于是以原速的倍回家取，然后从家乘出租车赶往学校（拿作业及等出租车的时间忽略不计），结果比预计步行时间提前了分钟．小明离家路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象如图，那么从小明家到学校的路程是______米． 【答案】1200 【分析】本题考查了一次函数的应用以及行程问题中路程、速度、时间之间的关系，根据图像前两段求出小明步行的速度，进而求出返回家的时间和时刻，利用待定系数法求出乘出租车阶段路程与时间的函数关系式，设预计步行时间为，列出方程求解即可得到路程． 【详解】解：步行的速度为：米/分钟， ∵以1.5倍的速度回家取作业， ∴小明返程回家的时间为分钟， 则返回时函数图象的点坐标是， 设后来乘出租车中与的函数解析式为， 把和代入得， ， ​解得： ， 设步行到达的时间为， 则实际到达的时间为， 由题意得，， 解得， 则家到学校的距离为米． 三、解答题 3．为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据A户去年的户年用水量为小于进行计算即可； （2）分情况讨论进行求解即可； （3）先算出B户去年的户年用水量大于，据此计算即可． 【详解】（1）解：∵A户去年的户年用水量为， ∴，解得； （2）解：当时， 关于的函数解析式为， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为； （3）解：当时，， 户去年的户年用水量大于， 将代入，得， 解得． 答：B户去年的户年用水量为． 4．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求小球到达斜面底端时的速度； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． (3)由（2）的结果和图②可以看出，小球有两次的速度达到，直接写出这两次间隔的时间． 【答案】(1)小球到达斜面底端时的速度为 (2)3s (3) 【分析】（1）根据题意确定小球滚到底端时的速度所对应的点，通过待定系数法求出直线解析式，将点横坐标代入，即可求出点纵坐标，从而求出小球到达斜面底端时的速度． （2）通过待定系数法求出直线解析式，从而求出点坐标，利用和点横坐标即可求出小球从斜面底端至停止所用的时长． （3）分别将速度代入两个解析式和，求出两个时间，将其相减即可． 【详解】（1）解：观察图2可知，点是小球由静止向下滚动到底端时的速度， 设直线的解析式为， 在直线上， ， ， ， 点的横坐标是2， ． 小球到达斜面底端时的速度为． （2）解：观察图2 可知，设直线的解析式为， 和点在直线上， ，解得， ， 令，则． ， 该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为. （3）解：小球由两次速度达到， 在直线解析式上时，，则， 在直线解析式上时，，则， 两次间隔的时间为． 5．A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ 【答案】(1) (2) (3)从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元 【分析】（1）用A城的肥料减去A城运往C乡的肥料即可得到答案； （2）分别表示出从B城运往C乡的肥料和从B城运往D乡的肥料，然后分别计算对应的运费，求和即可得到答案； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：从A城运往D乡的肥料为； （2）解：从B城运往C乡的肥料为， 从B城运往D乡的肥料为， ∴ （3）解：的一次项系数为， 随的增大而增大，    又 当取最小值0时，取得最小值，最小值为（元）， 此时， 答：从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元． 6．甲骑自行车，乙骑摩托车，沿相同路线由A地到B地，如图所示，线段，分别表示甲、乙两人骑行路程（单位：）与甲骑行时间（单位：）之间的关系．结合图象回答下列问题： (1)求所在直线的解析式； (2)甲出发________后在距A地________处被乙追上； (3)甲、乙两人相遇后，甲又骑行________两人相距． 【答案】(1) (2)4，40 (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式，然后与直线的表达式联立求解即可； （3）根据题意得到方程，求出，再减去即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为 代入点、 则 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：设直线，代入可得，， 解得 ∴直线 与直线表达式联立可得， 解得， 此时， ∴甲出发后在距A地处被乙追上； （3）解：由题意得， 解得 答：甲、乙两人相遇后，甲又骑行两人相距． 7．为了探究函数的图象与性质，甲同学根据学习一次函数的经验，借助函数的图象与性质进行了探究．下面是甲同学的探究过程： 第一步：的自变量的取值范围是全体实数； 第二步：与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 3 2 1 0 0 2 … 第三步：建立平面直角坐标系，画出函数图象； 第四步：借助函数图象研究该函数的性质． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象： (2)观察的函数图象，完成以下问题： ①当___________时，函数有最小值为___________；当___________时，随的增大而增大． ②写出自变量的取值范围和因变量的取值范围． ③若直线与的图象有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)解：补全表格如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 3 2 1 0 0 2 … 描点画图如下： (2)①；；；②自变量的取值范围为任意实数，因变量的取值范围为.③或． 【分析】（1）先补全表格，再描点画图即可； （2）①根据图象作答即可；②根据图象作答即可；③由过定点，再结合图象求解即可. 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 当时，； 画图略 （2）解：①当时，函数有最小值为；当时，随的增大而增大． ②由图象可得自变量的取值范围为任意实数，因变量的取值范围为. ③如图，当过时， ∴， 解得：， 当时，，此时两函数图象平行， ∴时，直线与的图象有且只有一个交点； 如图，当过时， ∴， 解得：， ∵当时，，此时两函数图象平行， ∴时，直线与的图象有且只有一个交点； 综上：直线与的图象有且只有一个交点，的取值范围为或． 8．【教材升华】一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)当时，求关于的函数解析式； (2)进水管每分钟进水、出水管每分钟出水各多少升？ (3)多少分钟时该容器内的水恰好为10升． 【答案】(1) (2)进水管每分钟的进水量为，出水管每分钟的出水量为； (3)2分钟或分钟时该容器内的水恰好为10升． 【分析】（1）设关于的函数解析式为，将代入计算即可； （2）根据函数图象即可求出进水管每分钟的进水量，设出水管每分钟的出水量为，由函数图象列方程求解即可； （3）结合（2）可知水管放完水的时间为分钟，分两种情况作答即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 将代入得， 解得：， ∴关于的函数解析式为； （2）解：由函数图象得：进水管每分钟的进水量为：， 设出水管每分钟的出水量为，由函数图象得，， 解得：； （3）解：∵出水管每分钟的出水量为， 关闭进水管后出水管放完水的时间为：（分钟）， 当该容器内的水恰好为时： 情况一：进水时： 解得：（分钟）； 情况二：关闭进水管后： （分钟）； 综上所述，2分钟或分钟时该容器内的水恰好为10升． 9．在矩形中，，，连接，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间秒，的面积为． (1)如图1，点在边上运动时，求关于的函数表达式以及的取值范围； (2)如图2，点在边上运动时，求关于的函数表达式以及的取值范围； (3)在图3中直接画出关于的函数图象，当的面积为4时，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3)，的值为2或 【分析】（1）利用三角形面积公式求解即可； （2）先利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，最后利用三角形面积公式求解即可； （3）根据（2）中的解析式画出函数图象，当时，令，则，当时，令，则，然后求解即可得出答案． 【详解】（1）解：当点在上运动时，，； （2）解：在中，， 过作， 由，得， 解得， ，，； （3）解：画图象，略 当在上，，则； 当在上，，则； 综上，的值为2或． 10．如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点； (1)直接写出点B的坐标为________； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)5 (3)或 【分析】（1）求出时y的值即可得到答案； （2）根据列式求解即可； （3）由（2）可得，则，据此求出点M的横坐标，进而求出其纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴点B的坐标为； （2）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴点M的坐标为或． 一、填空题 1．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是__________________（填序号）． ①小数比小文先出发15秒；②；③小文提速后的速度为；④从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距． 【答案】①③④ 【分析】从函数图象获取信息．根据图象信息以及路程、速度和时间的关系即可求解． 【详解】解：由图象可知：小数比小文早出发15秒，故正确； 当时，，当时，， 则小文提速前的速度是， ∵小文出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为，故③正确； 故提速后小文行走所用时间为：， ， ， ∴小数的速度为， ，故②错误； 当时，小文和小数的距离逐渐增大， 当时达到最大为：， 当时，小文和小数的距离先减小后增大， 当时达到最大为：， 当时，小文和小数的距离逐渐减小到0， ，故正确 综上：正确． 2．某智能芯片制造厂接到零件加工任务，需要甲、乙两个车间相互配合，要求它们同时开工，11天完成．乙车间在加工3天后停止加工，在引入新设备后继续加工，直到与甲车间同时完成任务为止．设甲、乙两个车间加工零件的总数分别为（件），（件），加工时间为x（天），甲车间与乙车间加工零件总数之差为z（件）．，与加工时间x之间存在函数关系，如图1所示；z与x之间存在函数关系，如图2所示． 请根据图象提供的信息回答： （1）图1中，a的值是________； （2）在第________天，甲乙两个车间加工的零件总数相同． 【答案】 630 9 【分析】（1）先确定图1中，的函数图象，根据时，，时，，即可解答； （2）根据图象求出；时，；根据函数图象令，列方程求解即可； 【详解】解：（1）甲是一直匀速加工，对应图1的直线，乙先加工、再停止、再加工，对应图1的折线， 根据图1得，时，， 根据题意，， 由图2得：时，，即，解得：； （2）甲的效率：甲11天加工550件，因此每天加工件，则； 由图2得，时，，即，解得，则乙前3天每天加工件； 乙停止加工时不变，， 图2中顶点，代入得，解得：，即乙第5天恢复加工； 乙从第5天到第11天共天，总共需要加工件， ∴恢复加工后每天加工件， ∴时，； 令，即：，解得：， 因此第9天甲乙加工零件总数相同． 3．如图，直线分别与轴、轴交于点，，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处，以下结论：①；②直线的函数表达式为；③点的坐标为．其中正确的结论是________________． 【答案】①②/②① 【分析】先利用直线的解析式确定点，，则利用两点间的距离公式可计算出，则可对①进行判断；设，则，根据折叠的性质得到，，所以，在中利用勾股定理得到，解方程得到，接着利用待定系数法求出直线的解析式为，则可对②进行判断；过点作于点，利用面积法求出，再利用勾股定理计算出，从而得到，所以D点坐标为，于是可对③进行判断． 【详解】解：当时，， 解得， ， 当时，， ， ，所以①正确； 设，则， 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，， ， 在中，， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为，所以②正确； 过点作于点，如图， ，，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 点坐标为，所以③错误． 综上所述，正确的结论是①②． 二、解答题 4．在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，点是该直线上一点，点的横坐标为，直线与轴交于点，点是该直线上一点，点的横坐标为3m，作和． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)当点落在直线上时，求的面积； (3)当是直角三角形时，求的值； (4)当的面积是面积的一半时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)2 (3)， (4)或 【分析】（1）根据交点坐标即可求解； （2）根据题意可得，作，即可求解； （3）当时，时，分类讨论即可； （4）题意得 ，，根据等式化简求值即可. 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴，则，得， ∴； ∵直线与轴交于点， ∴ （2）解：∵点落在直线上 ∴，将代入直线得 ，解得 ∴ 如图；作 ∴ ∴ （3）解：∵是直角三角形时，则 ，， ①当时， ∵ ， ， ∴ ，解得 ②当时， ∴ ∴,则 ∴，； （4）解：由题意得 ， 设直线的解析式为，将，代入得： ，解得 ∴直线的解析式为 ， 设直线与直线交于点，则 ∵ ∴ ∴； ∵ ∴， ∴， 即 或， 解得或. 【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，直角三角形存在问题，面积问题，难点较大，需要具备对综合知识的理解运用能力. 5．综合与实践：荔枝是广东特产水果之一，以其甜美的口感和独特的风味而闻名．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：广州市内某批发市场计划运输40吨荔枝到距离本地500千米的甲地出售，为保证荔枝新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，已知A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为80千米/小时． 材料二：计划两种车型都租用，并要求把所有荔枝全部运完，B型车辆最多不超过5辆，且A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨． 材料三：冷柜车运输的相关收费如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 2元/千米·辆 A型冷柜车 B型冷柜车 84元/（小时·辆） 96元/（小时·辆） 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目； 总费用路费冷柜使用费 (1)求该市场需要租用 辆冷柜车进行运输； (2)设租用A型冷柜车x辆，总费用为y元，请写出y与x的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (3)请帮助该市场设计总费用最低的租车方案，并求出最低费用． 【答案】(1) (2)（，且x为整数） (3)总费用最低的租车方案为租用A型冷柜车4辆，B型冷柜车5辆，最低费用是14800元． 【分析】（1）由题意可知，B型车辆可以为1辆，2辆，3辆，4辆，5辆，依次算出型冷柜车的数量，判断是否满足题意即可； （2）根据（1）所求结合总费用的计算公式列式求解即可； （3）根据（2）所求利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵两种车型都租用，B型车辆最多不超过5辆， ∴B型车辆可以为1辆，2辆，3辆，4辆，5辆， ∵要求把40吨荔枝全部运完，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨， ∴当B型车辆为5辆时，，那么型冷柜车需要4辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为4辆时，，那么型冷柜车需要5辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为3辆时，，那么型冷柜车需要6辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为2辆时，，那么型冷柜车需要7辆，不符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍； 当B型车辆为1辆时，，那么型冷柜车需要8辆，不符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍； 综上，共需9辆货柜车； （2）解：由题意得， （，且x为整数）； （3）解：∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为，此时， 答：总费用最低的租车方案为租用A型冷柜车4辆，B型冷柜车5辆，最低费用是14800元． 6．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 【答案】(1) (2)2300元 (3) 【分析】（1）根据题意列函数解析式即可； （2）设商场能获得的利润为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可； （3）设利润为W元，根据题意，列出函数关系式，分三种情况，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式为； （2）解：设商场能获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 即商场能获得的最大利润为2300元； （3）解：设利润为W元，根据题意得： ， 当，即时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； 当，即时，，不符合题意，舍去； 当，即时，W随x的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：； 综上所述，m的值为． 7．绿道骑行与健步已成为我市市民的一种低碳生活新风尚，周末，甲、乙两人沿着相同的路线分别骑自行车和步行，两人同时从A地出发驶往B地，甲到达B地停留一段时间后沿原路返回A地，他们离A地的距离（）随时间（h）的变化关系如下图所示，且甲返回时在离B地处与乙相遇．请根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)A，B两地相距__________，去B地时，甲的速度为__________，乙离A地的距离与时间的函数关系式为__________；（无需指出的取值范围） (2)求甲离A地的距离与时间的函数关系式，并指出对应的取值范围； (3)甲在往返过程中，当为何值时，甲，乙两人相距？（直接写出结果） 【答案】(1)10，20， (2) (3)当为或或时，甲，乙两人相距． 【分析】（1）根据图象求解即可； （2）分三种情况求解即可； （3）根据题意列出方程解答即可． 【详解】（1）解：A、B两地相距，甲的速度为， ， ∴乙离A地的距离与时间的关系为； （2）解：甲离A地的距离与时间的关系： 去程：，； 停留：，； 返程：； 令， ， ∵直线过点和， 设解析式为， ∴，解得， 得， 令，得， 甲离地的距离与时间的函数关系式为： ∴； （3）解：甲、乙相距时： 由A去B： ， 解得； 由B返A： ， 解得或， 答：当为或或时，甲，乙两人相距． 8．在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点使得，且，则称点为的“等垂点”．例如：在三点中，因为，且，所以点为1的“等垂点”． (1)①点，，___________3的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，则点是4的“等垂点”，则点的坐标为___________； (2)如图2，，在轴上，在一次函数上，若一次函数上存在6的“等垂点”，求6的“等垂点”的坐标； (3)若在直线上存在无数个10的“等垂点”，且直线与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，点在内，，连接，设，则的面积关于的表达式为___________． 【答案】(1)①不是；②或 (2)或 (3) 【分析】（1）①根据等垂点的定义，进行判断即可；②分两种情况：点在点上方和下方，分别画出图形求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）特殊点法求一次函数解析式，根据等积法求的高，根据，求出，根据三角形面积公式写出表达式即可． 【详解】（1）解：①∵点，，， ∴，，， ∴，， 则不是3的“等垂点”． ②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点E， ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示： ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，， 当时，如图，过作轴于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵点在上， ∴， 解得， ∴． 当时，如图，∵与轴的交点坐标为，记为点， 此时，， ∴满足题意． 综上所述：或． （3）解：∵直线上存在无数个10的“等垂点”，如图， 过作轴于，设，，而， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴，即， ∴在直线上， ∴，， ∴， 如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.4 一次函数的应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 方案选择问题 题型02 最大利润问题 题型03 行程问题 题型04 阶梯电价问题 题型05 一次函数与几何综合问题 题型06 一次函数与方程问题 题型07 一次函数的平移问题 题型08 一次函数与坐标轴的交点问题 题型09 一次函数的对称问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 方案选择问题题型01 一、解答题 1．为了认真落实全国教育工作会议“以身心健康为突破点强化五育并举”的要求，全面实施“每天一节体育课”，学校计划从网上订购一批足球和跳绳，网络搜索后发现足球每个定价元，跳绳每条定价元，现有两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． 网店：买一个足球送一条跳绳；网店：足球和跳绳都打九折． 已知要购买足球个，跳绳条（）． (1)分别写出在两家网店购买所需的费用和；（不必写出自变量取值范围） (2)若，求的值； (3)若学校此次订购的预算经费元，请你利用所学知识说明在哪家网店购买更划算？ 2．项目式：智慧出行 【背景】“绿途”共享单车公司为满足不同用户的长距离骑行需求，推出了两种计时计费套餐： 畅骑套餐：收费公式为：； 随心套餐：收费公式为：； 其中，y代表骑行的总费用（元），x代表用户的骑行时长（分钟）． 【理解模型】 （1）请解释“畅骑套餐”公式中的“0.3”和“15”以及“随心套餐”公式中的“0.7”在实际计费中分别表示什么意义； 【应用模型】 （2）小航周末计划骑行去郊外景区，往返预计骑行总时长为80分钟，且在景区周边还会产生约20分钟的额外骑行时长，根据计算，他应该选择哪个套餐更省钱？ 3．某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 4．在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 5．某游乐园票价为每人120元，为了吸引客源，该游乐园在“双11”期间推出了针对团体的优惠活动，具体内容如下： ①若团体人数不足10人，则不享受优惠； ②若团体人数在10人及以上，则有两种优惠方案可供选择； 方案一：每人都享受七五折优惠； 方案二：其中10人享受八五折优惠，其余人享受六折优惠． 期中练习后，为了让孩子们放松一下，三个家庭准备到该游乐园游玩，已知A家庭有4人，B家庭有3人，C家庭有2人． (1)若这三个家庭直接去游乐园，则购买门票共需花费多少元？ (2)为了享受优惠，他们准备再邀请一些人组成团体一起去该游乐园，假设他们共邀请了x个人，请解决下列问题： ①若他们选择方案一，设购买门票共需花费y元．试用含x的代数式表示y； 若他们选择方案二，设购买门票共需花费w元，试用含x的代数式表示w． ②当时，选择哪种方案更合算？请通过计算说明． 最大利润问题题型02 一、解答题 1．呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题 内容 材料一 某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示． 材料二 为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋． 任务： (1)求y关于x的函数解析式． (2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案． 2．三门峡卢氏山川秀美，物产丰富，有“香菇之都”和“中国核桃之乡”美称．某特产店在春节期间推出了菌菇和核桃两种礼盒．已知售出1个菌菇礼盒和2个核桃礼盒的销售总额为320元，售出1个菌菇礼盒的销售额比售出1个核桃礼盒的销售额多20元． (1)求菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价； (2)由于销量较好，老板决定再次购进这两种礼盒共20个，且菌菇礼盒至少购进10个．若在售价不变的情况下，每个菌菇礼盒的利润率为，每个核桃礼盒盈利25元．设购进个菌菇礼盒，这批礼盒全部售完后所获得的利润为元． ①求关于的函数解析式； ②当购进_____________个菌菇礼盒时能获得最大利润，最大利润是_____________元． 3．为迎接“国家级文明卫生城市”检查，某市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱．每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元．现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中购买A型垃圾箱不超过16个． (1)求购买垃圾箱的总花费W（元）与A型垃圾箱x（个）之间的函数关系式； (2)当购买A型垃圾箱个数多少时总费用最少，最少费用是多少？ 行程问题题型03 一、单选题 1．周末，小陆一家从家出发开车前往一研学基地游玩，经过服务区休息片刻，然后继续驾车驶往目的地．汽车行驶路程y（千米）与行驶时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，下列判断不正确的是（     ） A．他们在服务区休息了20分钟 B．在服务区休息前的行驶速度比休息后快 C．他们出发80分钟后到达服务区 D．小陆家距离基地350千米 二、填空题 2．一辆货车从地开往地，同时一辆小汽车从地开往地，两车均匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示． 下列说法中正确的有__________．（用序号填写） ①，两地相距120千米； ②出发小时，小汽车比货车多行驶了60千米； ③出发1小时，货车与小汽车相遇； ④小汽车的速度是货车速度的2倍． 3．A，B两地相距，小明从A地出发骑自行车以的速度前往B地，用x（单位：h）表示骑行时间，y（单位：）表示小明与B地的距离，写出y关于x的函数解析式______． 4．某出租车公司运价执行新标准：日间起步价13元（含3公里），超出3公里后每公里收费2.6元；若单程行驶超过15公里，则超出15公里的部分需加收的空驶费（即超出15公里的部分按3.9元/公里计费）．设某出租车的行驶里程为x公里，运价为y元，当单程行程时，运价y关于x的函数解析式为______． 三、解答题 5．如图，公路上有A，B，C三个汽车站，一辆汽车从离A站的P地出发，向C站匀速行驶，后离A站． (1)设出发后，汽车离A站，求y与x之间的函数表达式． (2)当汽车行驶到离A站的B站时，接到通知要在前赶到离B站的C站．汽车按原速度行驶，能否在规定时间前到达？说明理由． 6．一位记者乘坐汽车赴外的历史博物馆采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)求汽车在高速公路上行驶的速度． (2)求所在直线对应的函数解析式． (3)记者出发后多长时间到达采访地？ 阶梯电价问题题型04 一、单选题 1．永州市内货摩（运货的摩托）的运输价格为：2千米内运费5元；路程超过2千米的，每超过1千米增加运费1元，那么运费y元与运输路程x千米的函数图象是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．为保障城乡供水事业可持续发展，某市水费采用阶梯计价，下表是该市居民生活用水的收费标准： 阶梯等级 每人每月用水量 价格 一阶 不超过 2.6元 二阶 超过不超过 3.9元 三阶 超过 7.8元 王老师家有口人，设他家某月人均用水量为，应缴水费是元，当时，与之间的函数关系式为______． 三、解答题 3．西安市对城市居民冬季独立采暖（壁挂炉或自采暖）阶梯收费标准如下表（以户为单位）． 阶梯 采暖用气 销售价格 第一阶梯 （含2000）的部分 2.14元/ 第二阶梯 （含3000）的部分 2.57元/ 第三阶梯 以上的部分 3.21元/ 根据表中所给的数据解答以下问题： (1)设某户这个冬季用气量为（），缴纳燃气费用y元，求y关于x的函数表达式． (2)已知某户这个冬季缴纳燃气费用5308元，求该户用了多少立方米的燃气． 4．某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价／[元／ 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出电费（单位：元）与用电量之间的表达式； (2)小明家月用电量是，求小明家月的电费； (3)某户月的电费是元，求该户月的用电量． 5．某省居民生活用电阶梯式收费探索卡 素材1 能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，某省电费采用“阶梯收费”的方式． 素材2 居民生活用电阶梯式价格计费方式如下： 第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度． 第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度． 第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度． 问题解决 任务1 已知某户月用电量x度，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式． 任务2 已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费． 任务3 某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量． 6．根据以下素材．探索完成任务． 泉州土笋冻是独具地方风味的特色小吃，以其独特口感享誉一方．泉州本地土笋冻企业与京东快递公司合作，为各地食客寄送新鲜土笋冻．以下是本次合作的相关素材信息，请根据素材完成后续任务． 素材1 京东快递公司规定： 从当地寄送土笋冻到市按重量收费：当土笋冻重量不超过千克时，需要寄送费元；当重量超过千克时，超过部分另收元/千克． 素材2 电子存单 电子存单 托寄物：土笋冻 包装服务产品类型：京东快递公司 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：土笋冻 包装服务产品类型：京东快递公司 计量重量：千克 件数： 总费用：元 任务1 根据以上信息，请确定的值 任务2 求出土笋冻重量千克的寄送费用，结果用的代数式表示 任务3 若土笋冻重量达到千克，请求出最省的寄送费用． 一次函数与几何综合问题题型05 一、单选题 1．如图，一次函数的图象经过点，，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图①，在四边形 中，，，点P从点A出发，沿运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（     ） A．7 B． C．8 D． 二、填空题 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，M是y轴上的点（不与点B重合），若将沿直线翻折，点B恰好落在x轴正半轴上，则点M的坐标为____________． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上任意一点，当有最小值时，点的坐标为________． 三、解答题 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)求的面积． (3)若点C在直线上，且，求点C的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动．若以为直角边的为等腰直角三角形，求点C的坐标． 7．如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)求点A、C的坐标； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点D，求直线的解析式． 8．如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 9．阅读下列材料，回答问题： 研究函数的图象一般要研究其形状、位置、图象特征（如对称性），借助图象我们可以直观地得到函数的性质．例如，在研究正比例函数的图象时，通过列表、描点、连线等步骤，得到如下结论：①的图象是经过原点的一条直线；②的图象经过坐标系的第一、三象限．小艾同学借鉴研究正比例函数的经验，对新函数的图象展开探究，过程如下： 根据函数表达式列表： … … … … (1)在如图所示的坐标系中描点、连线，画出函数图象； (2)下列关于函数图象及性质描述正确的是________； ①此函数图象关于轴对称； ②当时，函数有最小值为； ③当时，随的增大而增大； (3)已知函数的图象与轴的交点为，的图象上有一点，在轴上存在一点，使的面积为，求出点的坐标； 10．【模型认识】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点E，过A作于点B．过D作于点C，易得． 【模型应用】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标； (2)如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 一次函数与方程问题题型06 一、单选题 1．方程的解可以看作一次函数的图象与x轴交点的横坐标．则方程的解是（     ） A． B． C． D． 2．如图，正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 3．已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，一次函数是常数，的图象如图所示，则下列说法中错误的是（     ） A． B．若点在该一次函数图象上，则关于的方程的解为 C．将该一次函数图象向下平移个单位长度后，所得函数为正比例函数 D．若点和点是该一次函数图象上的点，则 5．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知函数（）的图象经过点，则关于x的方程的解为______． 7．如图，一次函数的图象分别与轴交于两点．若，，则关于的方程的解为_________． 8．如图，直线与直线相交于点，则方程的解为______． 三、解答题 9．已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 一次函数的平移问题题型07 一、单选题 1．直线向下平移个单位长度后得到的直线的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图象与平行，且过点，那么它必过点（     ） A． B． C． D． 3．直线经过点和点，把直线向右平移2个单位长度得到直线，则直线的表达式为（     ） A． B． C． D． 4．将直线向下平移个单位长度得到的直线是（     ）． A． B． C． D． 二、填空题 5．将直线沿y轴向上平移4个单位后，与x轴的交点坐标是__________． 6．将直线沿轴向上平移个单位长度后经过原点，则的值为___________． 7．在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，得到的新的直线经过点，则的值为_____． 8．已知一次函数的图象与直线平行，则______． 三、解答题 9．已知：一次函数 (1)若函数图象过，求此函数的解析式． (2)若函数图象与直线平行，求该函数的解析式． (3)求满足（2）条件的直线与的交点． 10．已知，与成正比例关系，是的2倍，并且当时，． (1)试求函数y关于x的表达式． (2)将函数y向下平移5个单位长度后得到的函数图象经过点．试求m的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 一次函数与坐标轴的交点问题题型08 一、单选题 1．一次函数的图象与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的解析式为，下列说法正确的是（     ） A．随的增大而减小 B．图象经过第二象限 C．图象与轴交于点 D．图象与轴交于点 二、填空题 3．一次函数与两坐标轴围成的三角形的面积等于6，则_____． 三、解答题 4．已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； 5．如图，已知过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)若与y轴交于点C，与x轴交于点A，则点A的坐标为________，点C的坐标为________，四边形的面积是________（直接写出答案即可）． 一次函数的对称问题题型09 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度，使其与一次函数的图象关于轴对称，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．-4 2．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 3．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．若一次函数与一次函数的图象关于轴对称，则_____ 5．（1）将一次函数的图象向左平移2个单位，所得函数图象的解析式是___________； （2）将一次函数的图象作关于x轴对称的变换，所得函数图象的解析式是______________． 一、单选题 1．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象进行以下探究，下列说法错误的是（     ） A． B． C．当时， D．若，则 二、填空题 2．小明步行从家去学校，走到分钟时，发现数学作业忘在了家里，于是以原速的倍回家取，然后从家乘出租车赶往学校（拿作业及等出租车的时间忽略不计），结果比预计步行时间提前了分钟．小明离家路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象如图，那么从小明家到学校的路程是______米． 三、解答题 3．为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 4．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求小球到达斜面底端时的速度； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． (3)由（2）的结果和图②可以看出，小球有两次的速度达到，直接写出这两次间隔的时间． 5．A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ 6．甲骑自行车，乙骑摩托车，沿相同路线由A地到B地，如图所示，线段，分别表示甲、乙两人骑行路程（单位：）与甲骑行时间（单位：）之间的关系．结合图象回答下列问题： (1)求所在直线的解析式； (2)甲出发________后在距A地________处被乙追上； (3)甲、乙两人相遇后，甲又骑行________两人相距． 7．为了探究函数的图象与性质，甲同学根据学习一次函数的经验，借助函数的图象与性质进行了探究．下面是甲同学的探究过程： 第一步：的自变量的取值范围是全体实数； 第二步：与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 3 2 1 0 0 2 … 第三步：建立平面直角坐标系，画出函数图象； 第四步：借助函数图象研究该函数的性质． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象： (2)观察的函数图象，完成以下问题： ①当___________时，函数有最小值为___________；当___________时，随的增大而增大． ②写出自变量的取值范围和因变量的取值范围． ③若直线与的图象有且只有一个交点，求的取值范围． 8．【教材升华】一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)当时，求关于的函数解析式； (2)进水管每分钟进水、出水管每分钟出水各多少升？ (3)多少分钟时该容器内的水恰好为10升． 9．在矩形中，，，连接，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间秒，的面积为． (1)如图1，点在边上运动时，求关于的函数表达式以及的取值范围； (2)如图2，点在边上运动时，求关于的函数表达式以及的取值范围； (3)在图3中直接画出关于的函数图象，当的面积为4时，求的值． 10．如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点； (1)直接写出点B的坐标为________； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 一、填空题 1．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是__________________（填序号）． ①小数比小文先出发15秒；②；③小文提速后的速度为；④从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距． 2．某智能芯片制造厂接到零件加工任务，需要甲、乙两个车间相互配合，要求它们同时开工，11天完成．乙车间在加工3天后停止加工，在引入新设备后继续加工，直到与甲车间同时完成任务为止．设甲、乙两个车间加工零件的总数分别为（件），（件），加工时间为x（天），甲车间与乙车间加工零件总数之差为z（件）．，与加工时间x之间存在函数关系，如图1所示；z与x之间存在函数关系，如图2所示． 请根据图象提供的信息回答： （1）图1中，a的值是________； （2）在第________天，甲乙两个车间加工的零件总数相同． 3．如图，直线分别与轴、轴交于点，，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处，以下结论：①；②直线的函数表达式为；③点的坐标为．其中正确的结论是________________． 二、解答题 4．在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，点是该直线上一点，点的横坐标为，直线与轴交于点，点是该直线上一点，点的横坐标为3m，作和． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)当点落在直线上时，求的面积； (3)当是直角三角形时，求的值； (4)当的面积是面积的一半时，直接写出的值． 5．综合与实践：荔枝是广东特产水果之一，以其甜美的口感和独特的风味而闻名．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：广州市内某批发市场计划运输40吨荔枝到距离本地500千米的甲地出售，为保证荔枝新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，已知A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为80千米/小时． 材料二：计划两种车型都租用，并要求把所有荔枝全部运完，B型车辆最多不超过5辆，且A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨． 材料三：冷柜车运输的相关收费如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 2元/千米·辆 A型冷柜车 B型冷柜车 84元/（小时·辆） 96元/（小时·辆） 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目； 总费用路费冷柜使用费 (1)求该市场需要租用 辆冷柜车进行运输； (2)设租用A型冷柜车x辆，总费用为y元，请写出y与x的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (3)请帮助该市场设计总费用最低的租车方案，并求出最低费用． 6．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 7．绿道骑行与健步已成为我市市民的一种低碳生活新风尚，周末，甲、乙两人沿着相同的路线分别骑自行车和步行，两人同时从A地出发驶往B地，甲到达B地停留一段时间后沿原路返回A地，他们离A地的距离（）随时间（h）的变化关系如下图所示，且甲返回时在离B地处与乙相遇．请根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)A，B两地相距__________，去B地时，甲的速度为__________，乙离A地的距离与时间的函数关系式为__________；（无需指出的取值范围） (2)求甲离A地的距离与时间的函数关系式，并指出对应的取值范围； (3)甲在往返过程中，当为何值时，甲，乙两人相距？（直接写出结果） 8．在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点使得，且，则称点为的“等垂点”．例如：在三点中，因为，且，所以点为1的“等垂点”． (1)①点，，___________3的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，则点是4的“等垂点”，则点的坐标为___________； (2)如图2，，在轴上，在一次函数上，若一次函数上存在6的“等垂点”，求6的“等垂点”的坐标； (3)若在直线上存在无数个10的“等垂点”，且直线与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，点在内，，连接，设，则的面积关于的表达式为___________． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $