精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第四中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

衡阳县四中2026-2027学年高三第一学期开学考试卷 数学 满分：150分 考试时间：120分钟 考试内容：高考全部内容 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若1，m，7，7，9，9，10的众数为9，则这组数据的中位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】由该组数据的众数为9，知，将数据按照从小到大的顺序排列为1，7，7，9，9，9，10，所以中位数为9. 2. 若集合,则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 故选：C. 3. 设的三个内角分别为A，B，C，向量，.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 则，即， 可得，即. 又因为，则，可得，所以. 4. 若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意计算的概率，再由期望列出不等式求解即可. 【详解】由题意，的取值可能为1，2，3， 则，，， 则， 解得或，又，所以 故选：C 5. 已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数是偶函数，所以，则函数的图象关于直线对称， （另解：函数的图象向右平移2个单位长度，得的图象，故函数的图象关于直线对称） 又函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递增. 因为，所以， 又，所以， 所以. 6. 探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的光学性质以及焦半径公式，结合抛物线定义计算可得结果. 【详解】设入射光线和反射光线与抛物线的交点分别为，显然直线过焦点， 分别从向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，如下图所示： 由抛物线方程可知准线方程为， 再由抛物线定义可得， 因此光线从点到点经过的总路程为. 故选：B. 7. 若数列和满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由题设依次求出和，再两式相减可得，从而代入即可求解. 【详解】由题可得，即， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，故， 又由题可得即， 所以，故， 所以. 所以， 所以. 故选：A. 8. 若函数与函数有公切线，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出导数，设出切点，求出切线，将其与联立，通过判别式为零，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到的最小值. 【详解】解：，设公切线与曲线相切的切点为， 则公共切线为， 即，其与相切， 联立消去得：， 则有解， 即有解， 令，， 则，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 则，所以实数的最小值为. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数，满足，，则下列结论中正确的是（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 若是方程的根，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由共轭复数的定义判断即可，对于B，利用复数的乘方运算求解判断，对于C，由题意可知方程的根为和，然后利用根与系数的关系可求出，对于D，设，结合可表示出的值，再由可求出，从而可求出 【详解】对于A，因为，所以的共轭复数为 ，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以，所以B错误， 对于C，若，则由题意可知方程的根为和，所以，得，所以C错误， 对于D，设，因为，所以解得，，因为，所以，，解得，所以 ，所以D正确， 故选：AD 10. 已知圆，圆，则（ ） A. 无论k取何值，圆心始终在直线上 B. 若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为 C. 若圆O与圆的公共弦长为，则或 D. 与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出圆Ck的圆心坐标即可判断选项A；根据两圆有公共点的条件求出的范围即可判断选项B；求出公共弦所在直线方程，结合公共弦长和垂径定理求出的值即可判断选项C；根据的值求出圆Ck的半径，利用两圆的半径求出外公切线长即可判断选项D. 【详解】圆Ck的圆心坐标为，在直线上，A项正确； 若圆O与圆Ck有公共点，则1≤|OCk|≤3，所以，解得或，B项错误； 将圆O与圆Ck的方程作差可得公共弦所在直线的方程为，则圆心O到直线的距离，则，解得或，C项正确； 当时，圆O与圆Ck外切，圆心距为3，半径差为1，则外公切线长为，D项正确． 故选：ACD． 11. 如图，把边长为的正方形纸片沿对角线折起，使得二面角为，，分别为，的中点，是的中点，则（ ） A. 折纸后四面体的体积为 B. 折纸后 C. 折纸后 D. 折纸后四面体外接球与内切球的半径之比为 【答案】AB 【解析】 【分析】依题意，过作的延长线于，证得平面，求出可判断A，由余弦定理计算求得，可判断B，取的中点，连接，，则，计算数值可判断C，设四面体外接球的半径为，内切球的半径为，由，得根据等体积法求得，判断D． 【详解】如图，连接，，，，过作的延长线于． ，，， 平面，，易证平面． ，，， ，， ，A正确． ，， ， ， ． ，， ，B正确． 取的中点，连接，，则． ，，， ，C错误． 设四面体外接球的半径为，内切球的半径为． ，． ， ，，D错误． 故选：AB． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列 的前n项和为 若 则 ________ 【答案】30 【解析】 【分析】根据题意可求出，进而可求 【详解】由题意 则 所以 故答案为：30 13. 若函数的一个零点为，则________；________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可. 【详解】∵，∴ ∴ 故答案为：1， 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交右支于A，B两点，，的内切圆心为T，则T的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据内心的性质和双曲线的定义得到点G与点重合，再结合列方程，解方程即可. 【详解】设，，与内切圆的切点分别为E，F，G，令， ，， 则，得， ，，由双曲线定义得， 则点G与点重合， 又， 则，即. 又，， 直线GT的方程为， ， . 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于根据内心的性质得到，再结合双曲线的定义得到与重合，最后列方程求解即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. △ABC中，已知内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且满足 （1）当 时，求； （2）若a=2，当取最大值时，求. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简即可； （2）利用，然后利用两角差的正切公式化简结合均值不等式，从而求得的值. 【小问1详解】 由,得,由正弦定理得，则， 即,得，由可得， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）可得，则，所以， 当且仅当时，取得最大值， 由及，得，此时， 又，所以. 16. 已知三棱柱的所有棱长都为2，，且平面平面，点又分别是的中点， （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线，判定面面平行关系，再转换成线面平行关系； （2）构建空间直角坐标系，计算平面的法向量，结合点到面的距离公式进行求解． 【小问1详解】 取的中点M，连接 在中，， ， 在四边形中，且， 四边形是平行四边形，， 面面 又面面 面面 又面， 面； 【小问2详解】 取中点，连接 为等腰三角形， 面面，面面， 面 在，易得 以为原点，分别为轴，以建立空间直角坐标系 ， ， 设平面的法向量为， ，设，取 ． 17. 某项研究结果表明，高中生的英语成绩和语文成绩具有相关性.为了检验这种相关性，某教育局组织了一批工作人员到某重点高中利用分层随机抽样抽取了100名学生进行调查研究.已知该校学生人数高一为1200，高二为1280，高三为1520. （1）从该学校三个年级抽取的学生人数分别为多少？ （2）若抽取的100人中，他们的英语成绩和语文成绩情况如表所示： 英语成绩情况 语文成绩情况 语文成绩好 语文成绩不好 总计 英语成绩好 36 24 60 英语成绩不好 16 24 40 总计 52 48 100 根据表中的数据回答：是否有以上的把握认为该校高中生的英语成绩与语文成绩有关？ （3）若以（2）中的数据为依据，利用频率估计概率，从该校学生中任取3人，记X为英语成绩好的人数，求X的分布列和均值. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 【答案】（1）高一抽取30人，高二抽取32人，高三抽取38人 （2）有 （3）X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 【解析】 【小问1详解】 由题意得该学校高中三个年级共有（人）， 从中抽取100人，则抽取的比例为. 所以高一抽取（人），高二抽取（人），高三抽取（人）. 【小问2详解】 由题中列联表，可得. 故有以上的把握认为该校高中生的英语成绩与语文成绩有关. 【小问3详解】 由（2）可知，抽取的100人中，60人英语成绩好， 所以英语成绩好的频率为0.6， 所以从该校的学生中任取一人，其英语成绩好的概率约为0.6. 所以，从而有， ， ， . 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 . 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆E的方程. （2）点为椭圆E上任意一点，点H为坐标原点O关于直线的对称点，记点H的轨迹为曲线. （i）求曲线的方程； （ii）以O为端点作射线m（不与坐标轴重合），与曲线和椭圆分别交于点P，Q，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2） （i）， （ii）曲线，，椭圆均关于坐标轴对称， 故不妨设射线，，，，，， 由，得，所以， 所以， 由，得，所以， 所以， 所以， 若设射线，，同理， 因此，为定值. 【解析】 【分析】（1）利用离心率条件、椭圆过点，联立求出； （2）（i）利用点关于直线对称的两个条件：中点在直线上、连线与直线垂直，消参得到的轨迹方程； （ii） 利用曲线与椭圆的对称性，设射线方程为，分别联立射线与曲线、椭圆的方程，求出两点横坐标，再表示出、，计算两者乘积得到定值. 【小问1详解】 由于椭圆的离心率为， 故，所以，所以， 因为椭圆E经过点，所以，即，得，则， 所以椭圆E的方程为； 【小问2详解】 （i）结合（1）可知，直线， 设点，由题可知点H与点O不重合，连接， ①当时，， 所以直线l的斜率为，直线的斜率为，线段的中点坐标为， 由于点O与点H关于直线l对称，所以， 整理得，解得，代入椭圆E的方程得， 整理得曲线的方程为； ②当时，易知此时点H坐标为，经检验，也符合上式； ③当时，易知此时点H坐标为，经检验，也符合上式； ④当且时，点G不在椭圆E上，不满足题意，故轨迹不包含原点； 综上，曲线的方程为，. （ii）略 19. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”． （1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； （2）若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有． 【答案】（1）是“H函数”， 不是“H函数”，理由如下： 对于任意，，， 所以， 即成立， 故是“H函数”； 对于， 取，则，． 因为，故不是“H函数” （2） （3）由函数为“H函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数k与正数s， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故 【解析】 【分析】（1）根据“H函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“H函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到和即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数是“H函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故，则， 则，即，即实数a的取值范围为 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县四中2026-2027学年高三第一学期开学考试卷 数学 满分：150分 考试时间：120分钟 考试内容：高考全部内容 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若1，m，7，7，9，9，10的众数为9，则这组数据的中位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 若集合,则 A. B. C. D. 3. 设的三个内角分别为A，B，C，向量，.若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（     ） A. B. C. D. 5. 已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 7. 若数列和满足，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数与函数有公切线，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数，满足，，则下列结论中正确的是（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 若是方程的根，则 D. 10. 已知圆，圆，则（ ） A. 无论k取何值，圆心始终在直线上 B. 若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为 C. 若圆O与圆的公共弦长为，则或 D. 与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为 11. 如图，把边长为的正方形纸片沿对角线折起，使得二面角为，，分别为，的中点，是的中点，则（ ） A. 折纸后四面体的体积为 B. 折纸后 C. 折纸后 D. 折纸后四面体外接球与内切球的半径之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列 的前n项和为 若 则 ________ 13. 若函数的一个零点为，则________；________． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交右支于A，B两点，，的内切圆心为T，则T的坐标为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. △ABC中，已知内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且满足 （1）当 时，求； （2）若a=2，当取最大值时，求. 16. 已知三棱柱的所有棱长都为2，，且平面平面，点又分别是的中点， （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 17. 某项研究结果表明，高中生的英语成绩和语文成绩具有相关性.为了检验这种相关性，某教育局组织了一批工作人员到某重点高中利用分层随机抽样抽取了100名学生进行调查研究.已知该校学生人数高一为1200，高二为1280，高三为1520. （1）从该学校三个年级抽取的学生人数分别为多少？ （2）若抽取的100人中，他们的英语成绩和语文成绩情况如表所示： 英语成绩情况 语文成绩情况 语文成绩好 语文成绩不好 总计 英语成绩好 36 24 60 英语成绩不好 16 24 40 总计 52 48 100 根据表中的数据回答：是否有以上的把握认为该校高中生的英语成绩与语文成绩有关？ （3）若以（2）中的数据为依据，利用频率估计概率，从该校学生中任取3人，记X为英语成绩好的人数，求X的分布列和均值. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆E的方程. （2）点为椭圆E上任意一点，点H为坐标原点O关于直线的对称点，记点H的轨迹为曲线. （i）求曲线的方程； （ii）以O为端点作射线m（不与坐标轴重合），与曲线和椭圆分别交于点P，Q，证明：为定值，并求出该定值. 19. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”． （1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； （2）若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $