精品解析：湖南衡阳市衡阳县第五中学2026-2027学年高三上学期开学数学试题

衡阳县五中2026-2027学年上学期开学考试卷 高三·数学 满分：150分 考试时间：120分钟 考试范围：高考全部内容 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 在展开式中，常数项的二项式系数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（　　） A. B. 2 C. D. 3 7. 已知命题是减函数，命题q：函数有两个零点，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积与三棱锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎可使用的最远路程（单位:103km）. A类轮胎:； B类轮胎:. 根据以上数据估计这两类轮胎的总体情况，下列说法正确的是（　　） A. A类轮胎行驶的最远路程的众数大于B类轮胎行驶的最远路程的众数 B. A类轮胎行驶的最远路程的极差小于B类轮胎行驶的最远路程的极差 C. A类轮胎行驶的最远路程的平均数大于B类轮胎行驶的最远路程的平均数 D. A类轮胎的性能更加稳定 10. 若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（ ） A. 圆与圆内切 B. C. 公切线l的方程为 D. 公切线l的方程为 11. 函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S.若，则_________. 13. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的一般式方程是__________． 14. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 16. 同学参加学校举办的数学比赛活动，比赛规则是：该同学每轮比赛都需要回答2道“圆锥曲线”和2道“导数”相关的题目.在每一轮比赛中，若答对题数不少于3题，则可以晋级一次，已知该同学答对每道“圆锥曲线”和“导数”题的概率分别为，且每道题答对与否相互独立. （1）若，则在第一轮比赛中，求同学能晋级的概率； （2）若，且每轮比赛互不影响，如果同学在此次数学比赛活动中要想晋级9次，那么理论上至少要进行多少轮比赛？ 17. 如图，在三棱柱中，与相交于点O，G为的中点. （1）求证：平面. （2）若O为点C在平面内的射影，，求二面角的余弦值. 18. 已知右焦点为的椭圆过点. （1）求的方程； （2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值； （3）过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. （1）请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； （2）若函数是“自导函数”，且满足，求证：； （3）若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县五中2026-2027学年上学期开学考试卷 高三·数学 满分：150分 考试时间：120分钟 考试范围：高考全部内容 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合、，再求交集即可. 【详解】，，. 故选：B. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】法一：由题意得， 所以，故C正确. 法二：由题意得，故，故C正确. 3. 在展开式中，常数项的二项式系数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项，再求出常数项即得. 【详解】二项式展开式的通项， 由，得，则展开式的常数项是第2项， 所以常数项的二项式系数为. 故选：A 4. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求出，结合向量的模长公式求解即可. 【详解】由，，两式相加得，所以， 所以，所以. 5. 若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分离参数，构造新函数，转化为与新函数的最值关系，利用导数求出新函数最值，即可得出结论. 【详解】关于的不等式在上有解， 即在上有解， 设， ， 恒成立，即在上为增函数， . 故选：C. 【点睛】本题考查不等式能成立问题、应用导数求函数的最值，分离参数构造函数是解题的关键，属于中档题. 6. 双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（　　） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值． 【详解】如下图所示，双曲线的左焦点，渐近线的方程为， 由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得， 在中，，可知， 在中，则，，， 可得， 由余弦定理得， 整理得，即， 所以双曲线的离心率为. 故选：D． 7. 已知命题是减函数，命题q：函数有两个零点，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数性质求出的范围，利用函数零点的意义，数形结合求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义求解判断. 【详解】由函数是减函数，得，即命题； 由，得，依题意，直线与函数的图象有两个交点， 当时，作出直线与函数的图象，如图1， 由直线与函数的图象有两个交点，得，解得， 当时，作出直线与函数的图象，如图2， 显然，因此直线与函数的图象只有一个交点，不符合题意， 综上命题. 所以p是q的必要不充分条件. 8. 在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积与三棱锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明,为直角三角形后可得的中点为外接球的球心，为半径,分别计算外接球的表面积与三棱锥的体积即可. 【详解】 取的中点,连接， 因为面 面面 所以， 所以， 所以，， 因为面 面 所以面， 又因为面， 所以， 所以，所以， 所以为三棱锥的外接球的圆心,半径， 所以球的表面积为， 三棱锥的体积为， 故. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎可使用的最远路程（单位:103km）. A类轮胎:； B类轮胎:. 根据以上数据估计这两类轮胎的总体情况，下列说法正确的是（　　） A. A类轮胎行驶的最远路程的众数大于B类轮胎行驶的最远路程的众数 B. A类轮胎行驶的最远路程的极差小于B类轮胎行驶的最远路程的极差 C. A类轮胎行驶的最远路程的平均数大于B类轮胎行驶的最远路程的平均数 D. A类轮胎的性能更加稳定 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据众数、极差、平均数和方差的定义以及计算公式即可求解. 【详解】对A：A类轮胎行驶的最远里程的众数为99， B类轮胎行驶的最远里程的众数为95，选项A正确； 对B：A类轮胎行驶的最远里程的极差为， B类轮胎行驶的最远里程的极差为，选项B正确． 对C：A类轮胎行驶的最远里程的平均数为， B类轮胎行驶的最远里程的平均数为，选项C错误． 对D：A类轮胎行驶的最远里程的方差为， B类轮胎行驶的最远里程的方差为， 故A类轮胎的性能更加稳定，选项D正确． 故选：ABD. 10. 若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（ ） A. 圆与圆内切 B. C. 公切线l的方程为 D. 公切线l的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项，由圆心在圆内可知两圆内切；B项，由两圆内切条件建立关于的方程求解即可；CD项，法一由两圆心连线斜率求出切线斜率，再求出切点可得方程，法二由两圆方程作差化简即得公切线方程. 【详解】圆与圆有且仅有一条公切线l，两圆相切. 圆：的圆心为，半径为， 圆：（）， 即，圆心，半径为. A项，将代入方程左边得， 则圆心在圆内，故两圆不可能外切，所以与内切，故A正确； B项，圆， 由圆与内切，所以， 由，即，解得，故B正确； CD项， ，得，则公切线斜率为， 法一：联立方程和，解得， 所以切点的坐标为， 故所求公切线的方程为，即． 法二： ①；②， 两圆方程作差得，即． 设两圆切点，则点的坐标适合方程①②，则也适合方程， 又直线斜率为，即与两圆圆心连线垂直， 故直线是过点且垂直于的直线，即为两圆公切线. 故C错误，D正确． 故选：ABD． 11. 函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先化简函数，再根据函数的图象求函数的解析式，结合三角函数的性质，即可判断A，B；利用图象平移求函数的解析式，再结合函数的性质，即可判断C，D. 【详解】函数，当， 此时，， 因为，所以，所以，故A正确； ，所以关于点对称，故B正确； 函数图象向左平移个单位长度后得到， ，当时，，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误； ，当时，， 所以函数在上单调递减，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S.若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形面积公式结合余弦定理化简即可求解. 【详解】，， 且， ，则. 又，. 13. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的一般式方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据条件求出，进而可求得，再用点斜式写出切线方程，化简转换即可得到一般式方程． 【详解】把代入，解得，即， 由的斜率为2，得到， ， ，即所求切线的斜率为6， 又，即所求直线与的切点坐标为， 则所求切线的方程为，即． 14. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求出点的横坐标，设，利用求出点坐标，再根据两点距离公式求出进而求的面积即可. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 点为抛物线上的点，且， 设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得， 将代入抛物线方程，解得， 由对称性不妨取，设， 则，， 因为，则，解得，即， 所以， 所以的面积， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系消去得到数列递推式，构造等比数列，即可求得数列通项； （2）依题求出的通项，利用错位相减法即可求得. 【小问1详解】 已知，当时，，故 当时，，，则 又 数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 故得，整理得 【小问2详解】 由（1）知，，． ① ② 由①②得 ． 16. 同学参加学校举办的数学比赛活动，比赛规则是：该同学每轮比赛都需要回答2道“圆锥曲线”和2道“导数”相关的题目.在每一轮比赛中，若答对题数不少于3题，则可以晋级一次，已知该同学答对每道“圆锥曲线”和“导数”题的概率分别为，且每道题答对与否相互独立. （1）若，则在第一轮比赛中，求同学能晋级的概率； （2）若，且每轮比赛互不影响，如果同学在此次数学比赛活动中要想晋级9次，那么理论上至少要进行多少轮比赛？ 【答案】（1） （2）至少要进行16轮比赛 【解析】 【分析】（1）分答对题为3道或4道两类情况，结合概率乘法公式即可求解； （2）通过，结合，求出同学在第一轮比赛中晋级的概率的最大值，再结合二项分布即可求解. 【小问1详解】 第一轮比赛中同学能晋级有两种情况：答对题为3道或4道， 概率为：. 【小问2详解】 同学在第一轮比赛中晋级的概率为 . ， 由于， 因此，故. 令，则， 当时，可得， 同学在轮比赛中晋级的次数， 由，知， 即要想晋级9次，那么理论上至少要进行16轮比赛. 17. 如图，在三棱柱中，与相交于点O，G为的中点. （1）求证：平面. （2）若O为点C在平面内的射影，，求二面角的余弦值. 【答案】（1）在三棱柱中，取的中点M，连接，在中，，， 由G为的中点，得，，因此，， 四边形为平行四边形，则，又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点M，利用线面平行的判定推理得证. （2）以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由O为点C在平面内的射影得平面，而平面， 则，由得平行四边形为菱形，则， 以O为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，故，， 设平面的一个法向量， 则，取，得， 显然为平面的一个法向量， 设二面角的大小为，显然为锐角， 因此， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知右焦点为的椭圆过点. （1）求的方程； （2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值； （3）过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在 【解析】 【分析】（1）由求解； （2）利用两点间距离公式将距离问题转化为函数求最值即可； （3）由题意得直线的斜率不为0，故设的方程为，将直线方程分别与椭圆方程和抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得 解得，所以的方程为. 【小问2详解】 设，由题意知， 所以， 因为，所以当时，， 所以. 【小问3详解】 由题意得直线的斜率不为0， 故设的方程为 联立直线与的方程，得消去并整理，得， 所以. 所以. 联立直线与抛物线的方程， 得消去并整理， 得， 所以， 所以， 所以， 若为定值，则，即， 所以存在，使得为定值. 19. 函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. （1）请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； （2）若函数是“自导函数”，且满足，求证：； （3）若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 【答案】（1）当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”；理由： 对求导，根据复合函数求导公式， 令，则. 若是“自导函数”，则，即， 因为，所以. 故当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”. （2） 因为函数是“自导函数”，所以，同时， 记，求导得， 由题干条件可知，（实数为常数），又， 所以，故，于是. （3） 设， 由复合函数求导公式可得， 因为函数与是“共轭互导函数”，所以且， 于是，故（实数为常数）， 而，所以. 下证且： 首先容易验证和是一对满足条件的“共轭互导函数”， 接着证明满足条件的函数只有和，采用反证法， 假设除了和外，还存在满足条件的一对“共轭互导函数”和， 即且，同时满足， 令， 则， 于是（实数为常数），又，所以，即①， 同理可令，则， 于是于是（实数为常数），又，所以，即②， 由①②可得，由此，满足条件的“共轭互导函数”只有一对， 所以且. 【解析】 【分析】（1）根据复合函数求导后利用函数新定义分析即可； （2）利用自导函数的定义构造函数，再求导即可推理得证. （3）由共轭互导函数的定义对进行求导运算可证明，并确定的一个解，再证明唯一性即可.. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $