精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第二中学2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试卷

第二中学2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学 【满分：150分】 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐照.如需改动，用橡皮擦干净后，再选徐其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结東后，将本试巻和答题卡一并收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，根据对数函数的性质求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得或， 所以或， 所以，又， 所以. 故选：C 2. 在中，为的重心，满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案. 【详解】设相交于点，为的重心， 可得为中点，， ， 所以， 所以. 故选：C. 3. 第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由进位制的换算方法代入计算，再由二项式展开式代入计算，即可得到结果. 【详解】由进位制的换算方法可知，八进制换算成十进制得： ， 因为是10的倍数， 所以，换算后这个数的末位数字即为的末尾数字， 由可得，末尾数字为5. 故选：C 4. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的函数的图象关于原点对称，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，利用函数的对称性可求得的表达式，即可得出结果. 【详解】由图可得，函数的最小正周期为，则， 因为，可得， 因为且函数在附近单调递增，故，所以，， 将函数的图象向右平移个单位长度后，可得到函数的图象， 则， 因为函数的图象关于原点对称，则，解得， 当时，， 故选：B. 5. 已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A，B，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由切线长定理可知，根据得，设点，由根据的范围可得答案. 【详解】连接、、，则，， 由切线长定理可知，，又因为， 所以，，所以，， 则， 设点，则，且，所以， ， 所以，，故. 故选：B. 6. 已知函数的图象在点处的切线方程为.若函数至少有两个不同的零点，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求，再求函数的极大值和极小值，根据零点的个数，列不等式，即可求解. 【详解】由题意，得，，，.令，得，. 当或时，，在，上单调递增； 当时，，在上单调递减 当时，有极大值；当时，有极小值. 若要使至少有两个不同的零点，只需（等号不同时成立），解得. 故选：B 7. 已知A，B，C，D四点都在表面积为的球O的表面上，若球O的直径，且，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设△ABC的外接圆半径为r，圆心为，根据正弦定理可求r，根据几何关系可求D到平面ABC的距离为定值，当△ABC面积最大时，三棱锥A－BCD体积最大，利用余弦定理、基本不等式、三角形面积公式可求△ABC面积的最大值，即得. 【详解】设球O的半径为R，因为球O的表面积为，故，即， ∵，，设△ABC的外接圆半径为r，圆心为， ∴根据正弦定理知，，即， ∴， ∵AD是直径，O是AD中点，故D到平面ABC的距离为， 在△ABC中，根据余弦定理得，， 即， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴△ABC面积的最大值为， ∴三棱锥A－BCD体积的最大值. 故选：D. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对不等式作等价变形，构造函数并探讨函数的性质，利用性质解不等式作答. 【详解】函数，则， 因，则不等式成立必有，即， 令，求导得，当时，，当时，， 因此，函数在上单调递减，在上单调递增，又， 当时，，于是得，即，令， 当时，，函数在上单调递减，，，因此，无解， 当时，，于是得，即，此时， 函数在上单调递增，，，不等式解集为， 所以不等式的解集为. 故选：B 【点睛】思路点睛：求某些函数不等式解集，将不等式等价转化，利用同构思想，构造新函数，借助函数的单调性分析求解. 二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个命题中的真命题为（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则 C. 若复数，满足，则 D. 若复数，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，设，，根据得到，从而；BC选项，可举出反例；D选项，由，得到，D正确. 【详解】A选项，设，，则，故， 则，故A为真命题； B选项，复数满足，但，故命题B为假命题； C选项，若复数，满足，但，故命题C为假命题； D选项，若复数，则，故D为真命题. 故选：AD 10. 已知函数与的定义域均为，，且为偶函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A．利用偶函数的性质，结合赋值法即可得解；B．利用赋值法即可得解；CD．利用抽象函数的奇偶性、对称性与周期性得到与的周期均为4，进而求得与，从而得解． 【详解】A．为偶函数，， 即有，则的图象关于对称，A正确，符合题意； B．，令，可得， 又，，B正确，符合题意； C．，，， ①，②， 将①②式分别与联立，化简得： ，， ，， ，，即与的周期均为4， ，， ，， 又函数的图象关于对称， ，， ，C错误，不符合题意； D．又， ，， ，，， ，D正确，符合题意． 故选：ABD． 11. 已知抛物线过点，则（ ） A. 拋物线的标准方程可能为 B. 抛物线的标准方程可能为 C. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意设出抛物线的方程，利用点在抛物线上及直线与抛物线的位置关系即可求解. 【详解】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为，将代入抛物线中得，则拋物线的方程为，故A正确； 对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为，将代入拋物线中得，则抛物线为，故B正确； 对于C、D选项，过点与对称轴平行的直线，以及抛物线在点处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____. 【答案】112 【解析】 【分析】由题意可得，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值． 【详解】的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，， 通项公式为，令，求得， 可得二项展开式常数项等于， 故答案为112． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 13. 已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由分析可知，当时，取得最小值，由点到直线的距离公式结合勾股定理即可得出答案. 【详解】将圆化为标准方程为：， 所以圆的圆心为，半径为，因为， 所以， 所以当时，取得最小值， 因为圆心到直线的距离， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 某同学次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，，，.已知这组数据的平均数为，标准差为，则的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数和方差的计算方法可列出关于和的方程组，解之即可． 【详解】平均数为，即①， 方差为， 即②， 由①②解得，或，， 所以当，时，；当，， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15. 为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据40个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表： （1）补全下面的列联表（单位：只）； 药物 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 7 服用 8 19 合计 （2）依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性. 参考公式：，其中. 参考附表： 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 【答案】（1）列联表见解析 （2）药物A对预防疾病B无效 【解析】 【分析】（1）根据题意和表中的数据填写即可； （2）根据公式计算，然后根据临界值表分析判断即可. 【小问1详解】 解：列联表如下： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 14 7 21 服用 8 11 19 合计 22 18 40 【小问2详解】解：零假设为：药物对疾病无效. 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断不成立， 所以可以认为成立，即认为药物对预防疾病无效. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）平面平面，且两平面交于，又， 平面. 在中，，，. 且，是等腰直角三角形， ，. ，， 又，为等腰直角三角形，. ，， 又，所以，平面,平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形边角关系可证明相似，即可得,即可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面，且，所以建立如图所示空间直角坐标系. 可得，，， 即，. 设平面的法向量为，则， 解得. 平面的法向量为. 设二面角为，所以， 则. 17. 在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，． （1）求椭圆的方程； （2）不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标． 【答案】（1） ； （2）设直线的方程为，，． 直线不过点，因此． 由 ，得， 时，，， ∴ ， 由，可得，即， 故的方程为，恒过定点． 【解析】 【分析】（1）写出的坐标，求出向量坐标，根据向量的关系即可列出方程组，求得和椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，，．联立直线与椭圆方程， 根据韦达定理得到根与系数的关系，求出，根据即可求得和 的关系，即可证明直线过定点并求出该定点． 【小问1详解】 由题意知，，，， ∵，， ∴，解得，从而， ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 略． 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性并求极值. （2）设函数（为的导函数），若函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出，然后可得单调性和极值； （2），然后求出当时的单调性，要使函数在内有两个不同的零点，则有，解出，然后证明即可. 【小问1详解】 因为在上单调递增， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 因为， 所以， 当时，， 所以当或时，在上单调，至多只有一个零点，不满足题意， 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以要使函数在内有两个不同的零点，则有， 由可得，下面证明当时， 令，则， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以当时， 综上：实数的取值范围为. 19. 已知函数（，）在一个周期内的图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象． （1）求的单调递增区间； （2）在中，若，，，求． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）由函数的图象，求得，再由三角函数的图象变换，得到，结合三角函数的性质，即可求解； （2）因为，求得或，结合余弦定理和勾股定理，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数的图象，可得，即，所以， 又由最高点是，所以，即， 因为，所以，可得，所以， 将的图象向左平移个单位长度得到的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到函数的图象． 令，所以， 故的单调递增区间为． 【小问2详解】 解：因为，所以． 又因为，所以，所以或， 所以或， 当时，由余弦定理得，所以； 当时，由勾股定理，得，所以． 故边的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二中学2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学 【满分：150分】 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐照.如需改动，用橡皮擦干净后，再选徐其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结東后，将本试巻和答题卡一并收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，为的重心，满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 3. 第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 4. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的函数的图象关于原点对称，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A，B，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象在点处的切线方程为.若函数至少有两个不同的零点，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知A，B，C，D四点都在表面积为的球O的表面上，若球O的直径，且，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个命题中的真命题为（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则 C. 若复数，满足，则 D. 若复数，则 10. 已知函数与的定义域均为，，且为偶函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. C. D. 11. 已知抛物线过点，则（ ） A. 拋物线的标准方程可能为 B. 抛物线的标准方程可能为 C. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____. 13. 已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为____________. 14. 某同学次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，，，.已知这组数据的平均数为，标准差为，则的值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15. 为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据40个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表： （1）补全下面的列联表（单位：只）； 药物 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 7 服用 8 19 合计 （2）依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性. 参考公式：，其中. 参考附表： 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 17. 在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，． （1）求椭圆的方程； （2）不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标． 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性并求极值. （2）设函数（为的导函数），若函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围. 19. 已知函数（，）在一个周期内的图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象． （1）求的单调递增区间； （2）在中，若，，，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $