山西太原师范学院附属中学2026-2027学年第一学期9月初三数学学情导航

太原师院附中2026―2027第一学期9月 初三年级数学学情导航 班级：___________姓名：___________ 一、选择题（共10小题） 1．已知是的相反数，且，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．2025年10月，我国紧凑型聚变能实验装置（BEST）建设取得关键突破，项目主体工程建设步入新阶段．该项目总投资约248300万元，将数据248300用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 3．下列国产AI软件图标属于轴对称图形的是（ ） A．Deepseek B．Kimi C．米可智能 D．千问 4．下列运算中，计算错误的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，与是的两条高，点是的中点，连接．若，则的长为（ ） A． B． C． D． 6．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A． B． C． D． 7．将一副三角板按如图所示的方式摆放，已知，，，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 8．正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角相等 D．邻边相等 9．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（单位：）与无人机上升的时间（单位：）之间的关系如图所示，时，两架无人机的高度差为（ ） A． B． C． D． 10．某学习小组将两块含角的全等三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究（如图1），其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2），下列关于四边形说法正确的个数有（ ） ①一直是平行四边形；②平移后是矩形； ③平移后是菱形；④在平移的过程中，依次会出现矩形、菱形、正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共5小题） 11．分解因式：________． 12．函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集为________． 13．足球表面是由正六边形和正五边形拼接而成的．如图是足球表面有公共顶点的3个多边形展平后的平面图形，则的大小为________． 14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为________． 15．如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，点在上，沿折叠，使点落在上的点，若，则的长为________． 三、解答题（共8小题） 16．（1）计算： （2）下面是小红化简分式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务： ①上述解答过程中，第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是______________（请用字母表示）； ②上述解答过程从第______________步开始出现错误； ③请直接写出该分式化简后的正确结果． 17．解方程：． 18．如图，在中，，，是的角平分线． （1）过点作，垂足为点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，在（1）的条件下，的长为______________． 19．如图，在菱形中，点，在对角线上，且，分别连接，，，，判定四边形的形状，并说明理由． 20．第二十届中国国际文化产业博览会上，山西展区的文化非遗展品与文化创意产品精彩亮相，赢得众多参观者赞誉．游客小李计划购买“长治堆锦”版画和“应县木塔”模型两款产品，已知购买2个“长治堆锦”版画比购买1个“应县木塔”模型多60元，购买3个“长治堆锦”版画和2个“应县木塔”模型共花费1000元． （1）求“长治堆锦”版画和“应县木塔”模型的单价分别为多少元． （2）游客小王计划用不超过2000元购买“长治堆锦”版画和“应县木塔”模型共10个送给亲友，则小王最多可以购买“应县木塔”模型多少个？ 21．某学校为了改进全校师生的饮水质量，需要安装型净水器与型净水器，已知每台型净水器比型净水器售价贵2000元，且安装型净水器的数量是型净水器数量的，学校分别购买型与型净水器的费用都是20万元．求每台型净水器和每台型净水器的售价分别为多少元？ 22．阅读与理解 下面是王宇同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探 正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务，如：构造线段上的特殊点或与线段相关的特殊角等．如图1，在正方形网格中，已知线段和的端点均为格点，利用无刻度的直尺解决下面的问题． 类型一：构造特殊点 问题1：求作线段的中点． 思路：如图2，第一步：延长到； 第二步：利用网格构造线段，满足且； 第三步：连接、、．与相交于点． 则四边形是平行四边形（依据1）所以，点即为线段中点．（依据2） 类型二：构造角平分线 问题2：求作的平分线． 思路：如图3，延长到使得，利用网格构造线段，满足且， 连接、，则为的平分线． 任务： （1）问题1中“依据1”的内容是_______________________； “依据2”的内容是：_______________________； （2）请用无刻度的直尺在图1中参照问题1的思路，作线段的中点（保留作图痕迹）； （3）请用无刻度的直尺在图4中参照问题2的思路，作的平分线（保留作图痕迹）． 23．综合与实践 问题情境：如图1，在等腰直角中，，．以为边，在外部作等边三角形．将绕点逆时针旋转，得到，设旋转角为（），点的对应点是点，点的对应点是点． 初步分析：（1）如图2，当时，证明：垂直平分； 操作探究：（2）将绕点逆时针旋转过程中，线段交线段于点，且点不与点重合，如图3，猜想线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）将绕点逆时针旋转（），直线交直线于点．问：是否存在某个旋转角，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $