3.2.1 双曲线及其标准方程教案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

《双曲线及其标准方程》教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 秋季 课题 双曲线及其标准方程 教学目标 教学目标： 1.掌握双曲线的定义，类比椭圆的定义，得出双曲线的定义，蕴含了数学研究的重要思想方法：类比. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法，初步掌握在解析几何中是怎样用代数手段研究曲线方程的方法，逐步领会坐标法，发展数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算素养. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题，发展数学建模素养. 教学重点：双曲线的定义及其标准方程. 教学难点：双曲线的标准方程的推导，利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题． 教学过程 一、创设情境 复习导入 和椭圆一样，双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂双曲线型自然通风冷却塔，声音、信号时差测定位等都要用到双曲线的性质.本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线有关的问题. 问题1：类比椭圆的研究过程，我们应按怎样的路径研究双曲线呢？ 预设答案： 可以遵循：现实背景→概念→方程→性质→应用的套路来研究双曲线. 问题2：复习 椭圆的定义是什么？ 预设答案： 通过现实背景“笔尖下的椭圆”抽象生产了椭圆的定义： 平面内与两个定点F1，F2的距离的和为常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆. 二、新知探究 信息技术探究： 信息技术下的椭圆 在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以点F2为圆心、线段PB为半径作圆. 当点P在线段AB上运动时，如果||PA|-|PB||<|F1F2|<|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆.（动画见PPT） 信息技术下的双曲线 探究1：如图，在|AB|<|F1F2|<|PA|+|PB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？两圆的交点M的轨迹是什么形状？ 预设答案： 因为|AB|为定长，不妨记|AB|=2a，由||PA|-|PB|| = 2a，得动点M满足的几何条件：||MF1|-|MF2||=2a (0<2a <|F1F2|). 预设答案： 探究1.1：当点P在点B的右侧运动时，动点M满足|MF1|-|MF2|=2a(0<2a<|F1F2|).两圆的交点M的轨迹是靠近点F2的一支曲线. （动画见PPT） 探究1.2：当点P在点A的左侧运动时，动点M满足：|MF2|-|MF1|=2a(0<2a<|F1F2|).两圆的交点M的轨迹是靠近点F1的一支曲线. （动画见PPT） 探究1：两圆的交点M的轨迹是双曲线. （动画见PPT） 三、概念生成 双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 问题3：定义中需要注意什么? 定义辨析：改变定义中的条件，点M的轨迹是什么？ 预设答案： (1)定义中去掉绝对值，点M的轨迹是双曲线的一支. (2)若常数2a=0，点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. (3)若常数2a=|F1F2|，点M的轨迹是以F1、F2为端点向外的两条射线. (4)若常数2a>|F1F2|，点M的轨迹不存在. 设计意图：通过实际问题，引导学生类比思考，引出双曲线的定义.发展学生数学抽象、直观想象的核心素养. 通过强化双曲线概念的抽象和建立过程，提高学生思维的严谨性与语言表达能力；同时让学生获得焦点、焦距等概念． 四、方程推导 探究2：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？ 基本步骤是：①建系、设点 ②列式、化简 ③检验：曲线与方程的等价性. 观察双曲线的几何特征：对称性. 预设答案： ①建系、设点 如图，取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy. 设M(x，y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，则焦点坐标为F1(-c，0)， F2(c，0). ②列式、化简 由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合 . 因为 ， ， 所以 ①. 类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 ， 两边同除以，得 . 由双曲线得定义知，，即，所以， 类比椭圆标准方程的建立过程，令，其中,代入上式，得 . ② ③检验：方程与曲线的等价性. 从上述过程可以看到，双曲线上任意一点得坐标都是方程②的解；以方程②的解为坐标的点与双曲线的两个焦点，的距离之差的绝对值为，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上．我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程．它表示焦点在轴上，焦点分别是，的双曲线，这里． 焦点在轴上的双曲线的标准方程：. 教师追问 问题4：你能在y轴上找到一点B，使|OB|=b吗？ 预设答案： 能，此时B的坐标为(0,b)或(0,-b). 问题5：类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？ 预设答案： 双曲线的焦距为2c，焦点分别是F1（0，-c），F2（0，c）．a，b的意义同上，这时焦点在y轴上的双曲线的标准方程是：. 教师追问：比较双曲线的标椎方程 双曲线的标准方程是由焦点位置分为两类：焦点在x轴上的双曲线方程，的系数为正；焦点在y轴上的双曲线方程，的系数为正.焦点坐标发生变化，但a，b，c的关系仍是. 设计意图：类比椭圆的标准方程推导，运用双曲线定义推导其标准方程，发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养. 问题6：你能结合椭圆与双曲线的定义和标椎方程，找到它们有哪些相同和不同吗？ 预设答案： 右边都是1，左边椭圆用加号连接，双曲线用减号连接. 问题7：焦点位置怎样确定？ 预设答案： 椭圆看大小：x、y谁的分母大，焦点就在哪个轴上. 双曲线看符号：x、y谁的系数为正，焦点就在哪个轴上. 设计意图：与椭圆的标准方程进行比较，并加以区分,发展类比的思想方法. 师生活动：下面我们一起来看看双曲线及其标准方程的简单应用. 五、例题讲解 例1：已知双曲线的两个焦点分别F1(-5,0)，F2(5,0)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 问题8： 求双曲线的标准方程需要注意什么？ 预设答案： 1.先用几何的眼光观察：定焦点位置，设方程. 2.再用代数的方法解决：求基本量，写方程. 解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 . 由，，得，又，因此. 所以，双曲线的标准方程为 . 反思感悟：待定系数法求双曲线的标准方程的步骤: 1.定位置:确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论). 2.设方程:设出双曲线的标准方程. 3.求参数:求出a，b，c. 4.写方程:写出双曲线的标准方程. 设计意图：通过典例解析，帮助学生形成求解双曲线标准方程的基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法，使学生尽快掌握求双曲线的标准方程的方法，检测学生的计算能力. 师生活动：下面我们用数学的方法解决声音、信号时差测定位这个实际问题. 例2：已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 问题9：如何求炮弹爆炸点的轨迹方程？ 预设答案： 先用几何的眼光观察：由题意炮弹爆炸点与A、B两地的距离之差是680m为定值，知炮弹爆炸点的轨迹是靠近B地的一支双曲线． 解：如图，建立平面直角坐标系xOy，使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合. 设炮弹爆炸点P的坐标为，则 , 即，. 又，所以，，． 因为，所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此. 所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为 ． 设计意图：通过例题，实现用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题的教学目标.提升学生数学建模能力，发展直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养． 双曲线的一个重要应用 问题10：作为查勘员的你，如何及时找到炮弹爆炸点前去勘察呢？ 利用两个不同的观测点A，B测得同一点P发出信号的时间差，可以确定点P所在双曲线方程.如果再增设一个观测点C，利用B，C(或A，C)两处测得的点P发出信号时间差，就可以确定点P所在另一双曲线方程.解这两个方程组成的方程组，就能确定P点的精确位置，这是双曲线的一个重要应用. 六、课堂小结 总结回顾，感悟思想方法 请对本节课的所学内容进行回顾与反思.（引导见PPT） （1）你学到了哪些数学知识? 预设答案：双曲线及其标准方程. （2）你掌握了哪些数学思想方法? 预设答案 数学思想方法：坐标法、待定系数法、数形结合、类比思想、分类讨论思想. （3）数学学科核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模. 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力，提高学生的数学运算能力和逻辑推理素养能力. 七、自主探究与学习评价 自主探究 动手实践：请同学们借助“笔尖下的双曲线”探究双曲线的相关问题，并对本节课的所学内容进行回顾与反思. 将细绳的两端分别固定在图板的两点处，在绳子的非中点处打个结，翻转细绳，形成一个交叉点，将笔尖放在交叉点上方，拉紧绳子打结处，移动笔尖，画出图形.交换细绳的两端，同样再画出图形. 学习评价 基础巩固：教材第121页练习第1、2题； 能力提升：教材第121页习第3、4题； 拓展探究： 如图3.2-6，设A , B两点坐标分别(-5, 0)， (5, 0)，直线AM , BM相交于点M ,且它们的斜率之积是，试求点M 的轨迹方程，并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状，与3.1 例 3 比较，你有什么发现？ 学科网（北京）股份有限公司 $