2.5.2 圆与圆的位置关系教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“圆与圆的位置关系”，通过水波纹扩散动画导入，引导学生直观感知相交、相切、相离现象。基于直线与圆位置关系的已有经验，搭建从几何直观到代数推理的学习支架。 特色在于任务驱动式探究与核心素养融合，通过分组讨论归纳位置关系，对比代数法与几何法培养数学思维，轨迹方程探求环节强化数学语言表达。例题变式与练习设计提升学生抽象能力，为教师提供清晰教学流程与评价方法。

数学 教学设计-2026-2027学年 高二 2.5.2 圆与圆的位置关系 选择性必修第一册 人教A版 课标要求 科 目 数学 年 级 高二 主备教师 课 型 数学 高二 选择性必修第一册 第二章 2.5.2 教师 新授课 1. 能根据具体问题情境直观感知两圆的相交、相切与相离现象，结合代数方程组解的个数与圆心距公式，准确判断圆与圆的位置关系。 2. 在动点轨迹方程的探求过程中，体会坐标法的核心思想，能够运用轨迹方程研究动点轨迹并判断其与圆的位置关系。 教材分析 本节课选自人教A版选择性必修第一册第二章2.5.2。教材在此前已经系统讲解了直线与圆的位置关系，为本节探讨圆与圆的位置关系奠定了方法基础。教材首先从几何直观出发，明确两圆相交、相切、相离的三种位置关系，随后提出两种判断方法：一是联立两圆方程组判定解的个数，二是将方程化为标准形式后比较圆心距 与两半径之和 、两半径之差的绝对值 的大小。这两种方法分别体现了代数与几何的双重维度，是坐标法思想的具体应用。本节知识不仅是对圆的方程的深化运用，也为后续学习圆锥曲线及空间几何提供了重要的方法论支撑。 学情分析 高二学生已经掌握了圆的标准方程与一般方程，并具备了运用代数方法研究直线与圆位置关系的经验。对于利用圆心距与半径的关系判断两圆位置关系，学生在直观认知上难度不大；但在实际操作中，面对非标准形式的圆方程时，容易在配方化简环节出现计算失误。同时，对于内切与外切、内含与外离的严格区分，部分学生容易混淆等号与不等号的方向。在动点轨迹方程的探求环节，学生往往缺乏将几何条件代数化的系统经验，需要教师通过任务驱动逐步引导。 单元教学重点 1. 重点：用圆心距 与两半径 ， 的关系判断两圆的位置关系。 2. 难点：内切与外切、内含与外离的区分，以及动点轨迹方程的探求。 课时学习评价 1. 任务表现评价：观察学生能否在探究环节准确求出圆心坐标与半径，并正确比较 与 、 的大小关系。 2. 练习准确度评价：通过课堂巩固练习，检查学生联立方程组后计算判别式 的准确率，以及结合图形判断内切与外切的能力。 教学过程 1. 创设情境，引入新知 教师活动：展示水波纹扩散的动画图片，提问当两个石子同时投入水面形成两组同心圆波纹时，两组波纹在扩散过程中会出现怎样的位置关系？引导学生从直观图形中抽象出圆与圆的位置关系。 学生活动：观察动画，发现两组波纹在扩散过程中会出现没有交点、有一个交点、有两个交点等不同状态，尝试用几何语言描述这些状态。 2. 任务驱动，探究两圆位置关系 教师活动：布置任务一，要求学生阅读教材，归纳两圆的三种位置关系。提问：两个圆之间存在哪几种位置关系？相切和相离分别包含哪些情况？ 学生活动：梳理教材内容，得出结论：两个圆之间存在以下三种位置关系：两圆相交，有两个公共点；两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；两圆相离，包括外离与内含，没有公共点。 教师活动：布置任务二，探究判断方法。提问：如何判断圆 与圆 的位置关系？能否类比直线与圆的判断方法，从代数和几何两个角度思考？ 学生活动：分组讨论后提出两种思路。思路一是联立两圆方程，由方程组解的个数判断；思路二是把两圆方程化成标准方程，求出圆心距 ，与两半径之和 、两半径之差的绝对值 比较。 教师活动：引导学生完善方法二的代数条件，板书结论：当 时两圆相交；当 时两圆外切；当 时两圆内切；当 时两圆外离；当 时两圆内含。同时指出联立方程组中，当 时相切，需结合图形判断内切还是外切，当 时相离。 3. 例题精讲，深化理解 教师活动：出示例题：已知圆 的方程为 ，圆 的方程为 ，试判断圆 与圆 的位置关系。提问：这道题你打算用哪种方法判断？为什么？ 学生活动：选择几何方法。将圆 配方得 ，圆心 ，半径 ；将圆 配方得 ，圆心 ，半径 。计算圆心距 。比较得 ，所以两圆外切。 教师活动：追问：如果将圆 的方程改为 ，位置关系如何变化？ 学生活动：重新配方得 ，此时半径 。圆心距仍为 ，计算 ，。由于 ，即 ，所以两圆相交。 4. 轨迹探求，综合应用 教师活动：出示任务：已知点 与定点 的距离等于它到定直线 的距离，探求点 的轨迹方程，并判断轨迹与圆 的位置关系。提问：点 满足的几何条件是什么？如何将这一条件转化为代数方程？ 学生活动：设 ，由条件得 ，即 。两边平方得 ，展开化简得 ，即 。所以点 的轨迹方程为 。 教师活动：追问：轨迹 表示什么曲线？如何判断它与圆 的位置关系？ 学生活动：将 代入圆方程 ，得 。计算判别式 ，方程有两个不相等的实数根。由于交点必须满足 ，而两根之积为 ，说明两根一正一负，其中正根对应一个交点。因此轨迹与圆 相交，且只有一个公共点，即相切。 5. 巩固练习，强化技能 教师活动：布置课堂练习：判断圆 ： 与圆 ： 的位置关系。巡视指导，关注学生配方计算的准确性。 学生活动：圆 化为 ，圆心 ，半径 ；圆 化为 ，圆心 ，半径 。圆心距 。因为 ，即 ，所以两圆相交。答案：两圆相交。 6. 归纳小结，布置作业 教师活动：提问：本节课学习了哪几种判断圆与圆位置关系的方法？它们各有什么优劣？如何区分内切与外切？ 学生活动：回顾总结：代数法通过联立方程组解的个数判断，适用面广但计算量大；几何法通过比较圆心距与半径和差判断，计算简便但需要先化为标准方程。区分内切与外切的关键在于圆心距等于半径差还是半径和。 课堂小结 1. 两圆的三种位置关系：相交（两个公共点）、相切（外切与内切，一个公共点）、相离（外离与内含，没有公共点）。 2. 判断方法：代数法联立方程组由解的个数判断， 时相切（需结合图形判断内切还是外切）， 时相离；几何法由圆心距 与两半径 ， 的关系判断。 3. 用轨迹方程研究动点轨迹并判断其与圆的位置关系，体现了坐标法的核心思想。 板书设计 1. 三种位置关系：相交、相切（外切、内切）、相离（外离、内含） 2. 判断方法：代数法（联立方程组， 判断）与几何法（ 与 、 比较） 3. 例题精讲与轨迹探求过程演示 教学反思 本节课以水波纹的现实情境切入，有效激发了学生的探究兴趣，任务驱动式教学使学生在归纳位置关系与探究判断方法的过程中保持了较高的参与度。例题选取由浅入深，从直接套用几何法到变式训练，再到轨迹方程的综合应用，层次分明。但课堂中也发现，部分学生在配方化简时仍显生疏，导致计算圆心距和半径时出错，后续需加强一般方程化为标准方程的专项训练。此外，在轨迹与圆位置关系的判断中，学生容易忽略定义域的限制，在后续教学中应强化代入后对解的合理性检验。 学科网（北京）股份有限公司 $