2.5.2 圆与圆的位置关系（教学设计）数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦圆与圆的五种位置关系，通过几何法（圆心距与半径和差关系）和代数法（联立方程解的个数）展开探究。课堂导入采用“父母生活圈”等生活化情境，承接直线与圆位置关系，为圆锥曲线学习铺垫，构建知识支架。 资料亮点在于情境化与数形结合，动态课件演示两圆位置变化助学生几何直观（数学眼光），类比直线与圆关系引导自主归纳判定方法培养推理意识（数学思维），结合城市立交等实际问题提升应用能力（数学语言）。帮助学生建立数形联系，教师易操作，提升教学效率。

2.5.2 圆与圆的位置关系（教学设计） 教学内容 本节课围绕人教 A 版（2019）选择性必修第一册 2.5.2 “圆与圆的位置关系” 展开，先回顾圆的标准方程与一般方程，再通过几何直观（图形观察）和代数运算（方程联立）两种方法，探究圆与圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含；明确几何判断依据为两圆半径之和 / 差与圆心距的大小关系（设两圆半径为，圆心距为，外离⇨，外切⇨，相交⇨，内切⇨，内含⇨），代数判断依据为两圆方程联立方程组的解的个数（无解对应外离 / 内含，唯一解对应外切 / 内切，两解对应相交）；最后结合实例讲解位置关系的判定与应用，帮助学生掌握两种判定方法，建立几何与代数的联系，提升数形结合能力. (1) 内容解析 本节课是人教 A 版（2019）选择性必修第一册第二章 “直线与圆的方程” 的延伸，承接 “直线与圆的位置关系”，是解析几何中 “用代数方法研究几何问题” 思想的进一步深化，为后续学习圆锥曲线位置关系奠定基础，在知识体系中起承上启下作用.学生已掌握圆的方程、两点间距离公式及直线与圆位置关系的判定方法，具备一定几何直观与代数运算能力，但对 “几何特征与代数表达式的对应关系” 理解需强化，尤其在区分内切与内含、外切与外离的代数判定差异上可能存在困难.通过几何直观与代数运算的结合，帮助学生建立 “形” 与 “数” 的对应关系，不仅能掌握圆与圆位置关系的判定方法，更能提升数形结合思想的应用能力，培养逻辑推理与数学运算的核心素养. 本节课以圆的标准方程与一般方程为基础，通过两种路径探究圆与圆的五种位置关系：一是几何法，依据两圆半径（）与圆心距（）的大小关系，明确外离（）、外切（）、相交（）、内切（d=）、内含（）的判定标准；二是代数法，通过联立两圆方程，根据方程组解的个数（无解对应外离 / 内含、唯一解对应外切 / 内切、两解对应相交）进行判定.课堂中结合实例演示两种方法的应用，引导学生对比两种方法的优劣，重点强化几何特征与代数表达式的对应逻辑，帮助学生构建完整的知识框架，提升运用数形结合思想解决问题的能力. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握圆与圆五种位置关系的几何与代数判定方法，理解数形对应逻辑. 教学目标 （1）理解圆与圆外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系的定义，能准确区分它们的几何特征。 （2）掌握用几何法（比较圆心距与半径的和差）判断圆与圆位置关系的方法，能熟练运用。 （3）掌握用代数法（联立方程、判别式）判断圆与圆位置关系的方法，理解其局限性。 （4）能解决圆与圆相交时的公共弦方程与弦长问题，能根据位置关系判断公切线条数。 （5）在类比直线与圆位置关系研究圆与圆位置关系的过程中，感悟类比迁移与数形结合的数学思想。 目标解析 （1）该目标是认知基础。从初中几何的直观认知上升到解析几何的精确描述，学生需从“公共点个数”和“圆心距与半径关系”两个维度理解五种位置关系。 （2）该目标是核心技能。几何法是判断两圆位置关系的首选方法，其完备性（能区分全部五种）优于代数法。学生需熟练掌握“求圆心→算距离→比较大小”的操作流程。 （3）该目标是代数法应用。学生需理解联立方程消元后 的符号与公共点个数的对应，同时明确其不能区分“外切/内切”和“外离/内含”的局限性。 （4）该目标是综合应用。公共弦问题是解析几何的经典问题，涉及“方程相减得公共弦方程”和“弦长公式”两个知识点的综合运用。 （5）该目标贯穿全程。通过“类比直线与圆→研究圆与圆”的教学路径，让学生体验知识迁移的过程，培养自主学习能力。 达成上述目标的标志是： 1. 能准确判断：给出两圆方程，能迅速用几何法判断出位置关系，并写出关键步骤。 1. 能规范求解公共弦：能正确求出两圆相交时的公共弦所在直线方程和公共弦长，步骤完整，计算正确率不低于80%。 1. 能完成含参问题：已知两圆含参数，能根据位置关系要求建立关于参数的方程或不等式，并准确求解。 1. 能说理辨析：能口头说明“为什么代数法判断两圆位置关系时， 无法区分内切和外切”。 学生已学圆的标准方程、一般方程，能根据方程求出圆心和半径，掌握两点间距离公式，可计算圆心距；此前学习过直线与圆的位置关系，对 “几何特征与代数运算结合” 有初步认知.多数学生能熟练计算圆心、半径及圆心距，但对 “通过代数运算（联立方程）推导位置关系” 的逻辑理解较浅，部分学生易混淆半径和与差的计算.​ 教学中可能遇到的困难​ 1. 难以精准区分内切与内含、外切与外离的几何条件，易忽略 “半径差取绝对值” 的细节.​ 2. 联立两圆方程后，对 “判别式与位置关系的对应逻辑” 理解模糊，无法将代数结果转化为几何意义.​ 3. 综合应用时，难以快速选择合适判定方法（几何法或代数法），尤其在复杂问题中易思路混乱.​ 解决方法： 1. 用动态几何课件演示两圆位置变化，对比呈现半径和差与圆心距的关系，强化细节记忆.​ 2. 分步推导联立方程的过程，结合判别式取值，对应讲解不同解的个数所代表的几何意义，建立 “数” 与 “形” 的关联.​ 3. 通过典型例题对比两种方法的适用场景，引导学生总结选择策略，再通过变式练习巩固应用. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：精准区分圆与圆位置关系的几何条件，及联立方程后代数结果与几何意义的转化. 知识点一　圆与圆的位置关系 (1)两圆相交，有两个公共点； (2)两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点； (3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点． 知识点二　圆与圆位置关系的判断方法 (1)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 (2)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 课堂引入1：城市交通——双层环形立交与圆形隧道 某城市在两条主干道交汇处修建了一座双层环形立交桥：上层圆形匝道 的圆心为 ，半径 （单位：百米）；下层圆形隧道 的圆心为 ，半径 。施工前需要评估两个圆形结构之间的空间关系： 问题1：上层匝道和下层隧道在垂直投影上是否重叠？（即两圆是否相交？）如果重叠，重叠部分的宽度是多少？（即公共弦长） 问题2：如果上层匝道要向外扩建，半径扩大到 ，此时两圆的位置关系发生了怎样的变化？是否会出现一个完全包含另一个的情况？ 设计意图：将“判断圆与圆位置关系” “求公共弦长” “内含/外离辨析”融入城市立交桥施工情境，让学生体会空间位置关系评估在土木工程中的实际意义。 课堂引入2：机械传动——齿轮咬合与轴承设计 某机械设备中有两个圆形齿轮，大齿轮中心 ，半径 cm；小齿轮中心 ，半径 cm。两个齿轮需要通过皮带进行联动： 问题1：两个齿轮外轮廓之间的最短距离是多少？是否需要加装张紧轮？（涉及两圆外离时距离计算） 问题2：如果两个齿轮需要外切传动（恰好接触），小齿轮中心 应该移动到什么位置？（涉及两圆外切条件的逆向应用） 设计意图：将“外离距离计算” “外切条件逆向应用”融入机械传动情境，让学生理解圆与圆位置关系在工业设计中的精确计算需求。 这里有一个完美的爱情故事：黑色的代表你妈妈的生活圈，黄色的代表你爸爸的生活圈. 这也是我们今天要学习的两圆之间的五大位置关系. 设计意图：以生活中熟悉的 “父母生活圈” 爱情故事为载体，将抽象的圆与圆位置关系具象化，快速激发学生兴趣，自然引出五大位置关系，降低知识理解门槛. 教学建议：讲解时可配合动态图示展示对应位置关系，故事后引导学生举例身边类似圆的位置场景，强化对五大位置关系的初步感知，为后续深入学习铺垫. 思考：之前根据直线与圆的公共点个数来确定不同位置关系，类比，根据圆与圆的公共点个数来确定，有哪几种位置关系？ 学生：两个圆之间存在以下三种位置关系： (1) 两圆相交，有两个公共点； (2) 两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点； (3) 两圆相离，包括外离与内含，没有公共点． 设计意图：通过具体的情景，帮助学生回顾初中几何中已学的圆与圆的位置关系. 探究：如何利用两圆的半径和圆心距的关系判定圆与圆的位置关系？ 师生：共同分析可以类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，探究圆与圆的位置关系 师生活动： （1）学生回顾初中所学圆与圆的位置关系的判定方法，类比直线与圆的位置关系的判定方法，自主归纳圆与圆的位置关系的判定方法. （2）教师巡视全班并展示部分学生的做法： 预设：圆 , 圆 , 两圆的圆心距 , 则有 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1， r2的关系 探究：类比直线与圆的位置关系的判断，是否可以用代数法判断呢？ 又如何利用代数法判断两圆的位置关系呢？ 预设：代数法:圆 , 圆 , 两圆的方程联立得方程组,则有 方程组解的情况 2组 1组 0组 两圆的公共点 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 设计意图：类比直线与圆的位置关系的研究圆与圆的位置关系. 例5 已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 师生：共同分析：思路1：圆与圆的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定； 思路2：借助图形，可以依据连心线的长与两半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系，判断两圆的位置关系． 预设：解法1：将圆与圆的方程联立，得到方程组 ，得 ③ 由③，得 ． 把上式代入①，并整理，得 ④ 方程④的根的判别式 ， 所以，方程④有两个不相等的实数根，． 把，分别代入方程③，得到，． 因此圆与圆有两个公共点，，这两个圆相交． 解法2：把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径． 把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径，圆与圆的连心线的长为． 圆与圆的两半径之和，两半径长之差． 因为，即，所以圆与圆相交（图2.5-6），它们有两个公共点，． 思考：画出圆与圆以及方程③表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？ 学生：回顾解题过程，并总结答案 预设：当两圆相交时，两圆方程相减，所得二元一次方程是两圆公共弦所在直线的方程. 师生总结：求两相交圆的公共弦所在直线方程方法： 将两圆的方程相减，消去与得二元一次方程即为所求. 思考：为什么不需要把圆与圆的两个公共点，的具体坐标求出来？ 学生：思考、交流、讨论，体会设而不求的重要数学思想； 预设：本题只要判断圆与圆是否有公共点，并不需要求出公共点的坐标，因此不必解方程④，具体求出两个实数根． 思考：在解法1中，如果两圆方程联立消元后得到的方程的，它说明什么? 你能据此确定两圆是内切还是外切吗? 如何判断两圆是内切还是外切呢? 当时，两圆是什么位置关系? 学生：与同桌讨论和思考，尝试着得出答案. 预设：当时，它说明两个圆只有一个公共点，两圆相切但无法确定是内切，还是外切； 当时，它说明两个圆没有公共点，两个圆相离，但无法确定是外离，还是内含. 追问：如何判断两圆是内切还是外切（是外离还是内含）？ 学生：几何法 例6 已知圆的直径，动点与点的距离是它与点的距离的倍． 试探究点的轨迹，并判断该轨迹与圆的位置关系． 师生：共同分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系． 师生： 给出题目后，教师通过以下问题引导学生思考： （1）如何建立平面直角坐标系？有哪些几何对象需要用坐标表示？ （2）问题中的几何对象之间有哪些关系，如何用坐标进行表示？ （3）说说你对动点M的轨迹及轨迹方程的理解？ 预设：如图 2. 5-7， 以线段的中点为原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．由，得，． 设点的坐标为，由，得， 化简，得，即． 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的一个圆（图 2.5-7)． 因为两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，， 又，所以点的轨迹与圆相交． 题型一：判断两圆的位置关系 例题：（1）代数法判断圆 与圆的位置关系 预设：由,可得，即， 代入，解得或，故得或, 所以两圆位置关系为相交，的交点坐标为和 （2）几何法判断圆的位置关系 预设：将两圆的方程化为标准方程，分别为，， 由此可知圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 因此两圆的圆心距， 又因为，所以，所以两圆内切． 题型二：求两圆相交时的公共弦长 例题1 （1）求圆与圆的公共弦长． 预设：依题意，联立方程组，将两方程相减并化简得， 把代入第一个方程得到，解得，， 从而，．所以圆与相交于两点与, 所以圆与的公共弦长为. 方法总结：代数法求公共弦长 联立两圆方程，解方程组，得出两交点的坐标，然后利用两点间的距离公式即可求得公共弦长. （2）求圆与圆的公共弦长. 预设：变形为，圆心为，半径为， 与相减得到公共弦所在直线方程， 即，整理得：， 圆心到直线的距离为， 故公共弦长为. 方法总结：几何法求公共弦长 先利用两圆方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后转化为求直线被圆截的弦长，经典直角三角形法. 题型三：公切线条数问题 例题2 （1）已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则4a2＋b2＝ ． 预设：因为两圆只有一条公切线，所以两圆位置关系为内切， 圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4，圆C2：x2＋(y－b)2＝1，|C1C2|＝. 所以|C1C2|＝2－1＝1，所以4a2＋b2＝1. （2）已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的公切线条数是 ． 预设：圆的圆心坐标为，半径为2， 圆的圆心坐标为，半径为3， 则两圆的圆心距为， 两圆外切 两圆公切线的条数为3条． 方法总结: 两圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． (1) 两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； (2) 两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； (3) 两圆相交时，只有2条外公切线； (4) 两圆内切时，只有1条外公切线； (5) 两圆内含时，无公切线． 由圆与圆的位置关系，可以确定公切线的条数， 由公切线的条数，可以判断圆与圆的位置关系. 题型四：根据圆与圆的位置关系求参数范围 例题3 已知圆，圆． 试求为何值时，两圆：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 预设：（1）由圆方程知：圆心，半径； 由圆方程知：圆心，半径； 若两圆内切，则，即，又，； 若两圆外切，则，即，又，； 若两圆相切，则或. （2）若两圆相交，则，即， 又，，即当时，两圆相交. （3）若两圆外离，则，即    ， 又，，即当时，两圆外离. （4）若两圆内含，则，即， 又，，即当时，两圆内含. 方法总结：根据两圆方程可确定圆心和半径，根据两圆位置关系可得圆心距和两圆半径之间的关系（几何法），由此可构造方程或不等式求得结果. 1.（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【答案】 【知识点】相交圆的公共弦方程 【详解】因为两点坐标同时满足圆与圆的方程， 所以将圆与圆两式相减，可得直线的方程为 2.（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【知识点】圆的公切线长、判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、圆的公切线条数 【分析】利用之间的数量关系确定判断圆与圆的位置关系可判断A；通过两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程即判断B；由结合勾股定理求解可判断C;根据两圆位置关系结合半径大小可知公切线，由此判断D. 【详解】解：由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误; 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误; 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误; 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P， 即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确; 故选：D. 3.（2026·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、相交圆的公共弦方程、求点到直线的距离、圆的弧长、面积、圆心角等计算 【分析】联立方程组求出公共直线的方程，计算原点到直线的距离，根据圆心角与弦心距、半径的关系求出的大小. 【详解】 联立方程组，可得直线的方程， 原点到直线的距离为， 在中，过作的垂线，垂足为，则为的中点， ， 在中，， 所以， 所以.故选：C. 4.（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两圆的公共弦长 【分析】两圆方程相减，求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式求出到直线AB的距离，根据几何法求弦长即可. 【详解】由两圆方程相减即得， 此为公共弦AB所在的直线方程. 圆的圆心，半径. 到直线AB的距离为， 故公共弦长.故选：B. 5.（2026高三下·四川成都·专题练习）已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 【答案】 【知识点】两圆的公共弦长、判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、圆的弦长与中点弦 【分析】先用两圆方程相减得到公共弦方程，再用点到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后用勾股定理即可求解. 【详解】圆 ，圆心为，半径为； 圆 ，圆心为，半径为； 圆心距， 因为，所以两圆相交. 两圆方程相减得公共弦方程为：，即， 故圆心到公共弦的距离， 公共弦长为：. 6.（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【知识点】两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可. 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 7.（24-25高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【知识点】圆的公切线长 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 8.（2026·河北保定·二模）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】判断圆与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径、圆的公切线条数 【详解】，则，半径， 因为关于直线对称， 所以在上，则有，解得，则， ，则，半径， ，，，故与相交， 则与的公切线的数量为，故选项B正确. 9.（2026·江苏南京·模拟预测）（多选题）已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 【答案】BCD 【知识点】两圆的公共弦长、判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、由标准方程确定圆心和半径 【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误； 由圆：得圆心，半径，所以，故B正确； 又，所以，所以圆与圆相交，故C正确； 由，两式相减得：， 由圆心到直线的距离为：， 所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确. 10.（25-26高二下·福建厦门·期中）（多选题）记圆：，圆：，则（   ） A． B．若坐标原点在圆上，则点在圆上 C．若圆与圆内切，则 D．当时，圆与圆的相交弦方程为 【答案】BD 【知识点】点与圆的位置关系求参数、相交圆的公共弦方程、由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围 【详解】对A：易知，，所以，故A错误； 对B：因为坐标原点在圆上，所以，所以圆：，由，所以点在圆上，故B正确； 对C：若圆与圆内切，则，故C错误； 对D：当时，圆：，圆：，两圆相交， 所以圆与圆的相交弦方程为， 化简得，故D正确. 1.（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】圆的公切线长、由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线方程 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点，又圆的半径为1，所以切线长为，故选：C． 2.（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【知识点】求平面两点间的距离、判断圆与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而， 所以圆与圆内切.故选：D． 3.（24-25高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【分析】通过点关于直线对称求圆的圆心和半径来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为. 所以圆的半径为，设圆心为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：A 4.（2026·山西太原·二模）已知圆与圆有且仅有三条公切线，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数 【分析】根据公切线条数判断两圆的位置关系，再根据圆心距列式求解. 【详解】∵圆的标准方程为，∴圆的圆心为，半径为. 又圆的圆心为，半径为. ∴两圆的圆心距为.∵两圆有且仅有三条公切线，∴两圆外切， ，解得.故选：C. 判断方法选择策略 问题类型 推荐方法 理由 仅判断位置关系（不需分类） 几何法 直观、完备，能区分五种位置关系 需要求出公共点坐标 代数法 联立方程解出具体坐标 求公共弦方程 代数法 两圆方程相减即得 求公共弦长 几何法 先求公共弦方程，再用 $ 含参数的位置关系 几何法 列 与 、 的不等式或方程 1. 知识清单 1. 五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含。 1. 两种判断方法： 1. 几何法： 与 、 比较（完备，推荐优先使用）。 1. 代数法：联立方程， 判断（能判断相交/相切/相离，但不能细分）。 1. 两个重要结论： 2. 两圆相交时，方程相减得公共弦方程。 2. 公切线条数与位置关系一一对应。 2. 方法归纳 优先几何法，代数法辅助。判断位置关系 → 几何法（直观完备）求公共弦方程 → 代数法（相减即得）求公共弦长 → 几何法（）含参问题 → 几何法列不等式 3. 易错提醒 易错点 正确做法 混淆外切与内切 外切：；内切： 混淆外离与内含 外离：；内含： 代数法 直接说“相切” 应说“外切或内切”，再用几何法区分 求公共弦方程时忘记验证 两圆必须相交才能相减得公共弦，否则无意义 基础作业：教材P98 练习第1、2、3题。 提升作业：完成配套辅导资料《圆与圆的位置关系》A组题。 2.5.2 圆与圆的位置关系 1. 判断方法：代数法、几何法 2. 相交圆的公共弦方程及弦长： 3. 公切线条数： 4. 例题区：（学生板演区域） 本节课通过 “父母生活圈” 情境引入，有效激发学生兴趣，顺利引出圆与圆的五大位置关系.在几何法教学中，借助动态课件演示圆心距与半径的关系，多数学生能快速掌握判定标准；但代数法教学时，部分学生对 “联立方程判别式与位置关系的对应逻辑” 理解较慢，虽通过分步推导和例题讲解有所改善，仍有少数学生存在困惑.课堂练习环节，学生运用几何法判定的正确率较高，但综合应用问题时，部分学生选择方法不够灵活.后续教学需加强代数法的分层指导，设计更多变式练习，帮助学生熟练掌握两种判定方法的应用场景，同时关注学困生的学习进度，确保全体学生都能有效提升数形结合能力. 学科网（北京）股份有限公司 $