第二十六章 二次函数 单元练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册二次函数单元提高卷，通过定义辨析、图像变换及桥梁设计等现实情境问题，系统考查二次函数概念、性质、应用及数学建模能力，适配单元复习与核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|二次函数定义（第1题）、性质（第2题）、图像平移（第3题）|基础概念辨析，结合几何直观| |填空题|6题|增减性（11题）、最值（12题）、参数范围（14题）|梯度设计，考查推理意识| |解答题|7题|综合应用（20题面积最值）、跨学科情境（23题桥梁抛物线）|现实问题建模，体现应用意识与创新思维|

第二十六章 二次函数 单元提高练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册 一、选择题 1．若y＝(a＋3)x|a|－1－x＋1是关于x的二次函数，则a的值是(　　) A．－3 B．2 C．3 D．－3或3 2．对于二次函数y＝3(x－1)2＋3的性质，下列描述正确的是(　　) A．开口向下 B．对称轴是直线x＝－1 C．顶点坐标是(3，1) D．二次函数y＝3(x－1)2＋3有最小值 3．抛物线y＝x2＋6x＋7可由抛物线y＝x2平移得到，平移的方法可以是(　　) A．向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．向左平移6个单位，再向上平移7个单位 C．向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D．向右平移3个单位，再向上平移2个单位 4．若抛物线与x轴没有交点，则c的值可以是（　　） A． B． C．4 D．8 5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为(　　) A．x1＝－3，x2＝0 B．x1＝－3，x2＝－1 C．x1＝x2＝－3 D．x1＝－3，x2＝1 6．已知二次函数的图象经过点，两点，若，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 7．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个负解的范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知二次函数 (a为常数，且a<0)的图象经过点(-1，2)，则下列结论正确的是(　　) A．ac>0 B． C．3a+c=2 D．a-2c>0 9．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．如图1，在中，，动点从点出发以1个单位/秒速度向点做匀速运动，设，点运动时间为（秒）（），且关于的函数图象如图2所示，点和在函数图象上，且，则下列选项中正确的是（　　） A． B．当时，则点运动时间为2秒或8秒 C．点在函数图象上 D．当时，函数有最小值7 二、填空题 11．已知二次函数 ，当x＞0时，y随x的增大而　 　（填“增大”或“减小”） 12．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与小球的运动时间之间的关系式为，则小球的最大高度为　 　． 13．关于x的二次函数y=ax2－4ax+b中，当1≤x≤4时，-3≤y≤5. 则b-4a的值为　 　 14．已知关于x的方程，在的范围内，该方程有2个不同的实数根，则t的取值范围是　 　． 15．在平面直角坐标系中，若点，，，则的最小值为　 　． 16．已知二次函数，一次函数，当自变量取相同值时，我们把的值称为这两个函数的“绝美值”．若仅存在一个整数，使得这两个函数的“绝美值”不超过，则的取值范围为　 　． 三、解答题 17．已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），求A，B两点的坐标． 18．已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出x的取值范围． 19．已知二次函数 (是常数)的图象是抛物线． （1）若图象经过点，求的值和图象的顶点坐标． （2）若抛物线的顶点在轴上，则　 　； （3）若点，在抛物线上，且，则的取值范围是　 　． 20．如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． （1）用含的式子表示的长为　 　； （2）的长的取值范围是　 　； （3）求修建的矩形停车场的面积的最大值． 21．如图，抛物线 与x轴交于点A(-2，0)和点 B，与y轴交于点C(0，8)，点 P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线 BC 与抛物线的对称轴l交于点E. （1）求抛物线的表达式； （2）求直线 BC 的表达式； （3）求△BCP 面积的最大值. 22．已知抛物线（为常数，）． （1）求该抛物线的对称轴． （2）若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在原点的左侧），． ①求的值； ②将此抛物线向左平移个单位，设平移中抛物线与轴的交点为，令的最大值和最小值分别为，，若，求的值． 23．综合与实践 【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥。 如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬空的玉如意。主拱和副拱轮廓近似抛物线。 综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱。这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成和谐的视觉平衡。 （1）【模型建立】 如图1，实践小组记主拱所在抛物线为副拱所在抛物线为以它们的对称中心为原点O建立平面直角坐标系，它们的交点所在直线为x轴，即和关于原点中心对称。通过测量得知和的顶点间距离为32米，和的左右交点A、B间距离为米，则的顶点D的坐标为（0，　 　，左交点A的坐标为　 　，0），抛物线的解析式为　 　，抛物线的解析式为　 　； （2）【模型应用】 实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱不变的情况下，改成两条关于y轴对称的副拱和如图2，和所在抛物线关于点P（m，0）对称，且恰好经过C1的顶点D，请求出左副拱所在抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索EF，所在直线为y=x+n，如图3，要求斜拉索EF和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线y=x+n至少要与和各有一个交点，求出n的取值范围. 参考答案 1．C 2．D 3．A 4．D 5．D 6．C 7．D 8．C 9．D 10．D 11．增大 12．20 13．-3或5 14． 15．54 16． 17．点A的坐标为，点B的坐标为． 18．（1）解：； （2）解：列表如下： x …… 0 1 2 3 …… y …… 0 0 …… 如图， （3） 19．（1）二次函数的解析式为，顶点坐标为 （2）或 （3） 20．（1） （2） （3）解：， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下， ∴当时，取得最大值． 答：该矩形停车场的最大面积为． 21．（1）解：将A（－2，0），C（0，8）的坐标代入y＝ax2＋3x＋c（a≠0），得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋3x＋8. （2）解：令y＝0，则－x2＋3x＋8＝0， 解得x1＝－2，x2＝8， ∴B（8，0），且C（0，8），设直线BC的表达式为y＝kx＋b， ∴解得 ∴直线BC的表达式为y＝－x＋8. （3）解：如图，过点P作PG∥y轴交BC于点G， 设P（t，－t2＋3t＋8），则G（t，－t＋8）， ∴PG＝－t2＋3t＋8－（－t＋8）＝－t2＋4t， ∴S△CBP＝×8×（－t2＋4t）＝－2t2＋16t＝－2（t－4）2＋32， ∴当t＝4时，△BCP的面积有最大值，最大值为32， ∴△BCP面积的最大值为32. 22．（1） （2）①；② 23．（1）16；；； （2）解：设C3所在抛物线为 ∵C1和C3所在抛物线关于点P（m，0）对称， 且C3的顶点（h，k）的C1顶点D（0，16）也关于点P对称，即k=-16 ∵C3恰好经过C1的顶点D（0，16）， 即 解得h=±48， ∵C3在y轴左侧，∴h=-48 ∴C3所在抛物线为 （3）∵C4（x≥0）和直线y=x+n至少要有一个交点， ∴直线y=x+n与C4最高可交于点D（0，16） ∴n≤16 ∵C1和直线y=x+n的交点坐标满足方程组： 消y得即 当n≤16时，， ∴， ∴当n≤16时，C1和直线y=x+n的必有交点 ∵C3和直线y=x+n的交点坐标满足方程组： 消y得即 ∵ ∴ ∴n的取值范围为14≤n≤16. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $