第二十六章 二次函数 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级数学二次函数单元卷，覆盖定义、图像性质及实际应用，通过基础题与综合应用题梯度设计，培养抽象能力、模型意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、对称轴、图像与系数关系|基础巩固，考查抽象能力与几何直观| |填空题|5/15|交点坐标、平移变换、函数值比较|能力提升，强化符号意识与推理能力| |解答题|5/75|解析式求解、矩形面积优化、小球运动轨迹|创新应用，体现模型观念与应用意识|

· 第二十六章 二次函数 同步练习 · 2026-2027学年人教版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．直线的抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．若二次函数的图象过点则a的值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 5．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 6．二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（     ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 8．函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 9．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 10．如图，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．二次函数的图象与轴交点坐标是________． 12．将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为______． 13．二次函数，若点，是它图象上的两点，则______．（填<、>、=） 14．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 15．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 三．解答题（本大题共5小题，共75分） 16．已知抛物线与x轴交于点，对称轴是直线，且过点，求抛物线的解析式． 17．已知二次函数（是常数）． (1)若该函数的图像的对称轴为直线，求的值． (2)求证：不论为何值，该函数图像与轴没有公共点． 18．如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 19．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． (1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ (2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 20．如图，一小球M（看成一个点）从斜坡上的O点处抛出，球的运动路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)小球落点为A，求A点的坐标； (3)在斜坡上的B点有一棵树（看成线段且垂直于x轴），B点的横坐标为2，树高为，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由， 试卷第2页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B A C C D C B 1．C 【分析】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，从而完成求解．根据二次函数的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】解∶A．当时，不是二次函数，故不符题意； B． 不是二次函数，故不符题意； C． 是二次函数，故符符合题意； D．不是二次函数，故不符题意； 故选∶C． 2．A 【分析】根据对称轴公式，可得答案． 本题考查了对称轴公式的应用，关键找到抛物线中a和b的值，再进行代入求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据待定系数法，可得函数解析式． 【详解】解：将代入函数解析式，得：， 解得：． 故选：B． 4．B 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴且， ∴． 5．A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 6．C 【分析】本题将两点坐标代入二次函数解析式得到和的表达式，结合的条件即可比较大小． 【详解】解：∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， ∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 7．C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴位于轴的右侧， ∴， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故A选项错误． 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∴， ∵， ∴， 即，故B选项错误． 由图象可得，当时，， ∴①， 当时，②， ∴得，， ∴，故C选项正确． 由图象可得，当时，，故D选项错误． 综上所述，结论正确的是C选项． 8．D 【分析】根据二次函数的定义求出的值，再根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 9．C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴有图象可得，它的解集是． 10．B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子的符号，根据二次函数图象确定相应方程根的情况，数形结合是解题的关键；由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点可判定①；由抛物线与x轴的交点可判定②；由对称轴可判定③；由图象知，当时函数值为负，即可判定④，最后可确定答案． 【详解】解：由图象知，抛物线开口向下，则， 抛物线的对称轴为直线，即， ∴ ∴， 抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，则， ∴，故①错误； 由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，即有两个不相等的实数解， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 由图象知，当时，即，故④正确； 综上，正确的有3个， 故选：B． 11． 【分析】二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为，代入函数解析式即可求出纵坐标得到交点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为， ∴ 令，代入二次函数解析式， 得， ∴ 二次函数的图象与轴交点坐标是． 12． 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为． 13．> 【分析】将A、B两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出和的值，再比较两个值的大小得到结果． 【详解】解：将代入得：， 将代入得：， ∵， ∴． 14． 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 15．①③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 16． 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求解，准确计算是解题的关键．根据已知条件求出与x轴的两个交点，设出交点式进行求解即可． 【详解】解：抛物线与x轴交于点，对称轴是 抛物线与x轴的另一个交点是 设抛物线解析式为 把代入解析式中，得解得 抛物线解析式为即． 17．(1) (2) 证明：∵二次函数 ∴ ∴不论为何值，该函数图像与轴没有公共点． 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握判别式与函数图像与轴交点的关系是解题的关键． （1）根据题意得到对称轴为，即可求出m的值； （2）根据题意计算判别式，即可证明． 【详解】（1）∵二次函数，对称轴为直线， ∴对称轴为， 解得； （2）略 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）抛物线经过点，可得，求解即可得到答案； （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知当时，随的增大而减小，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线经过点，可得 ． 解得：． 所以，抛物线的解析式为． （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知 当时，随的增大而减小． 当时，． 当时，． 所以，当时， 的取值范围为． 19．(1)当时，花园面积最大，为100平方米； (2)当花园面积最大时，的长为8米． 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式是解题关键． （1）利用矩形的面积公式列出关系式，然后化为顶点式即可求解； （2）根据题意，求出的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴当时，花园面积最大，为100平方米； （2）由题意，得， 解得； ∵， ∴时，随着的增大而增大， ∴当时，有最大值， ∴当花园面积最大时，的长为8米． 20．(1) (2) (3) 解：小球M不能飞过这棵树，理由如下： 时，， 当时，， ∵， ∴小球M不能飞过这棵树． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）联立两解析式，可求出交点A的坐标； （3）把分别代入和，即可得到答案； 【详解】（1）解：∵小球到达的最高的点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：令， 解得：，， 当时，， ∴； （3）略 【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 答案第10页，共10页 答案第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $