第26章 二次函数 学情评估-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

B-- 第二十六章学情评估 评估内容：二次函数 (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列y关于x的函数中，属于二次函数的是 A.y=ax2+bx+c B.y=x2+1 C.y=4(x-1)2 D.y=(x+1)2-x2 2.(朔州月考)二次函数y=x2+c的图象如图所示，则c的取 值范围是 ( A.c>0 B.c=0 C.c<0 D.c≤0 密 尔 0 第2题图 第6题图 3.宁宁同学在将某条抛物线解析式化为y=a(x十m)2十n形 式时，他给出的结果是y=(2x十4)2十4，那么这条抛物线 封 的顶点坐标为 ( A.（-4,4) B.(-4,-4) C.(-2,4) D.(-2,-4) 4.如果将抛物线y=a.x2+bx+c(a≠0)向下平移若干个单位 长度，那么下列结论中错误的是 () A.顶点坐标不变 B.开口方向不变 线 C.对称轴不变 D.y随x的变化情况不变 5.（舟山期末)若二次函数y=ax2十bx十c(ab<0,c>0),则这 个函数图象可能是 ◆ . ◆ 6.如图，四边形OABC是边长为2√2的正方形，OC与x轴正 ◆ 半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2(a<0)的图象上， ◆ 则a的值为 ( A. 6 B.一 D.- 2 7.(晋城月考)山西吕梁生产的沙棘汁以其口感独特、营养丰 富而广受消费者欢迎.某超市销售一种产自吕梁的沙棘汁， 当售价为每瓶10元时，平均每天能售出60瓶，若售价每瓶 每降低0.5元，平均每天多售出5瓶，则超市销售该种沙棘 汁能获得的最大销售收入为 () A.640元 B.605元 C.600元 D.560元 8.(中考·福建)已知二次函数y=一2(x一k)(x一k一6)的图 象与其向下平移m个单位长度所得的图象都与x轴有两 个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则m 的值为 () A.18 B.16 C.20 D.24 9.(中考·广州)在平面直角坐标系中，两点A(x1,y1),B(x2, y2)在抛物线y=ax2一2ax(a>0)上，则下列结论中正确的 是 () A.当x1<0且y1·y2<0时，则0<x2<2 B.当x1<x2<1时，则y1<y2 C.当x1<0且y·y2>0时，则0<x2<2 D.当x1>x2>1时，则y1<y2 10.(中考·广元)已知抛物线y=a.x2十bx十c(a,b,c是常数 且a≠0)的自变量x与函数y的部分对应值如下表： 其中0<m<2.以下结论：①abc<0;②若抛物线经过点 (-2,y1),(7,y2)则y2>y1;③关于x的方程|ax2+bx十c| 十1一5=0有两个不相等的实数根：④-1<s十n<一4； 3 ⑤当m=1,t≤x≤t十2时，y的最小值是1，则t=2或4. 其中正确的结论有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.二次函数y=a.x2+bx+c的部分图象如图所示，写出关于 x的不等式ax2十bx十c>0的解集为 y米 O1 2 x/米 第11题图 第14题图 一探究在线·九年级数学（上）一 12.(周口月考)已知二次函数y=(x-m)2十1，当x<2时，y 随着x的增大而减小，请写出一个符合条件的m的值： .(写出一个即可) 13.已知点（一2，y1),(3,y2)在二次函数y=x2一2x+m的图 象上，则y y2.(填“>”“<”或“=”) 14.(邯郸月考)每一次投篮，篮球在空中划出的轨迹都是一条 优美的抛物线.如图，这是一次投篮时篮球的运动轨迹，它 满足二次函数y=一0.15x2+1.19x十2，其中y(米)代表 篮球飞行的高度，x(米)代表篮球飞行的水平距离，则这次 投篮时，篮球出手点的高度为米 15.用200m的栅栏材料按如图所示的方式修建3间鸡舍，则 鸡舍的总面积最大是 m2. x2+ 3_2-1 01234 0 第15题图 第17题图 第18题图 16.(苏州期中)二次函数y=ax2十bx+c(其中a,b,c为常数， 且a≠0)的图象过点A(一1,20)，B(1,m),C(5,m),D(6, 13)(其中m为常数)，则关于x的方程ax2+bx+c=13的 方程的解为 17.(芜湖期中)如图为函数y=22十1和y=)2的图象， 则图中阴影部分的面积为 18.（石家庄月考)已知二次函数y=x2一2x一3，将该二次函数 在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部 分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线y=一x 十m与新图象有3个交点时，m的值为 三、解答题（共66分） 19.(8分)（朝阳期末）已知抛物线y=a(x-h)2十上部分点 的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： -101 0 -3 -4 -3 (1)求该抛物线的解析式； (2)在平面直角坐标系中画出该抛物线，并直接写出当 03 0≤x≤4时y的取值范围. y 5 4 3 5-4321■O12345x 1 3 - 5 20.(8分)（永州月考）在综合实践活动中，某小组想借助如图 所示的直角墙角搭建一个矩形场地，已知DM=15cm, DN=20cm,现有28cm的板材围成矩形ABCD.(墙面不 需要板材) (1)若围成面积为192cm2,求AB的长； (2)矩形ABCD的面积能否为240cm？若能，求出AB 的长；若不能，请说明理由. y 7777777777n7TN 21.(10分)如图，已知抛物线y=x2十bx十c的对称轴为直线 1:x=一1，且与y轴的交点坐标为(0，一1)，直线1与x轴 交于点C. (1)该抛物线的解析式为 (2)如图，P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P 作PA⊥x轴，PB⊥L,垂足分别为A,B.设点P的横坐标 为m.当四边形APBC为正方形时，求m的值. 04 22.(12分)（中考·连云港）已知二次函数y=x2十2(a十1)x 十3a2-2a+3,a为常数. (1)若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，求a 的取值范围； (2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值； (3)求证：该二次函数的图象不经过原点. 23.(14分)（武汉期末）如图①为某宴会服务中心，其中间及 两边的拱形建筑的轮廓可近似看成抛物线.若这些抛物线 形状相同，中间大拱高16米，底部宽6米，两边小拱高 4米，以大拱拱顶正下方地面为原点，建立如图②所示的 平面直角坐标系，AB为屋顶，大拱两侧的六个小拱从左 向右标号依次为①至⑥， (1)中间大拱抛物线的解析式为 (2)双节期间该中心承接了某大型活动.需在中间大拱抛 物线上找一对对称点M,N拉上一根水平的铁丝，以便挂 上写有欢迎词的横幅，若点M离水平地面的高为4米，求 铁丝MN的长（两边接头忽略不计）； (3)如图②，小拱①和小拱⑥与地面的一个交点分别为C, D.请直接写出CD的长. D文 图① 图② 一探究在线·九年级数学（上）一 24.(14分)（北京市密云区二模）在平面直角坐标系xOy中， 已知抛物线y=ax2一2ax(a≠0). (1)若点A(1,一1)在抛物线上， ①求a的值； ②过点P(0,t)且与y轴垂直的直线交抛物线于E,F两 点，且点E为线段PF的中点，求t的值； (2)点B(1一2a,y1),C(一1，y2)是抛物线上的两点，且y1 >y2.若抛物线在点B,C之间的部分（含点B,C)上存在 两点M(x1,m),N(x2,n)(点M,N不重合)，使得m=n, 求a的取值范围.由(1)知，∠BAD=∠CAD, ∴.BD=CD,即BD=CD..BD=ID=CD. 3z十2=6yx=5:3,两式联立，解得x=8 点B,I,C在以点D为圆心，BD为半径的圆上，即点D 答：窗户框架的宽AB为号m 是△BCI的外心. 10.30°11.127.5°12.√/13-1 【方案二】由题意，设窗户框架的长AD为am,则宽AB为 13.(1)如图①，连接F0, 6g20m,S=6g20.a,即S=-号a2+2a 3 3 .正六边形ABCDEF为 ⊙O的内接正六边形， ∴.要使窗户框架的面积最大，则a= =1.5, .∠AOF=60°. 2×(-) ∠ADF=Z∠A0F=3 于是宽为2-6-2X1.5-1. 3 (2)123 此时窗户框架的面积为1.5×1=1.5(m). (3)△AFM与△CDM的面积之和为18√3. 当该窗的AB,AD边分别为1m、1.5m时，窗户框架的面 新课标·新情境·新题型 积最大，最大值为1.5m. 1.y=一x2十x十2（答案不唯一） 第二十五章学情评估 1.C2.B3.B4.C5.D6.A7.A8.B9.B 2.3a3.24.告x-25 10.B11.1=1,x2=-212.202613.5 5.(1)①t=2时，1≤x≤3， 14.x2-2√5x+4=015.016.5 y=2025x,y随x的增大而增大. ∴.x=1时，N=2025,x=3时，M=3X2025=6075. 17.x(Ξ-1=22018.3 h=M与V=2025. 19.(1)x1=-6,x2=2. 2 ②.y=kx+b,t-1≤x≤t+1, 3w36 (2)x1=3+6 3 ∴当>0时，y随x的增大而增大 17 x=t-1时，N=k(t-1)+b,x=t+1时，M=k(t+1)+b, (3)x1=5,x2=3 h=M二N=k. 20.,AB,AC的长是关于x的方程x2-10x十m=0的两个 2 整数根， 当<0时，y随x的增大而减小， .AB+AC=10. ∴.x=t一1时，M=(t-1)+b,x=t+1时，N=k(t+1)+ .△ABC的周长为AB+AC+BC=16. b..h=一k. 21..mx2+2mhx+k=-mh2, ∴.m(x+h)2十k=0. 综上，h= ∫k(k>0), 一(k<0). ,关于x的方程m(x十h)2十=0的解是=-3，m2=2, (2)存在.：y=一x2+4x一=-(x-2)2十4-k, 方程m(x十h-3)2十k=0可变形为m[(x-3)十h]十k ∴x=2时，P=yax=4-k. =0. ①当t十1≤2，即≤1时， x-3=-3或x-3=2.解得x=0或5. ,t-1≤x≤t+1≤2， 即方程m(x十h-3)2+k=0的解分别是0或5. ∴.x=t+1时，M=-(t-1)2+4-k. 22.(1)b=c+3, x=t-1时，N=-(t-3)2+4-k, .△=2-4ac=(c+3)2-4c=2+2c+9=(c+1)2+8>0. 六h=M与V=4-2.t=1时，hm=2. 因此，该方程总有两个不相等的实数根 2 (2)根据根与系数的关系，得十x2=一b,c1x2=c, ②当t一1≥2，即t≥3时， .2≤t-1≤x≤t+1, =22十x=-6解得=一台 ∴.x=t-1时，M=-(t-3)2+4-k. x=t+1时，N=-(t-1)2+4-k, 则=2×(-)=-0-0·(-)= :h=MV=21-4 即2b=9c. 2 23.(1)甲和乙 ∴.t=3时，hmin=2. (2)由题意，得n(n+1)+(n+1)=120, ③当1<t≤2时，x=2,M=4-k, 整理，得(n十1)2=120， x=t-1时，N=-(t-3)2+4-k, 解得n=-1+2√30或n=-1-2√30<0（舍去）. h=合-32.1=2时，hm=日 又.n是正整数， ④当2<t<3时，x=2,M=4一k, .n=-1+2√30不符合题意. x=t+1时，N=-(t-1)2+4-k, 丙的说法不正确. h=含-1.号<h<2. 24.(1)设采茶基地的宽为x米，则长为(x+10)米， 由题意，得x(x十10)=600，解得x1=一30<0（不合题 1 意，舍去)，x2=20. :2>2…最小值为2P=4-k=2 则x+10=20+10=30. “k=子符合题意， 答：采茶基地的长为30米，宽为20米. (2)由题意可知，观光园区的长为30米，宽为20米， 6.D7.x 设四周小路的宽度为y米，则中间小路的宽度为2y米， 8.【方案一】由题意，设窗户框架的宽AB(横向边长)为xm, 由题意，得 AD长（纵向边长）为ym,由题意，得 (30-y-y-2y)(20-y-y)=468, 30 一探究在线·九 整理，得2y2-35y十33=0，解得y1=16.5,y2=1. 综上所述，m的值为0或1. 当y=16.5时，20-y-y=20-16.5-16.5=-13<0, 22.(1)令x2+2(a+1)x+3a2-2a+3=2a2,即x2+2(a+ 不符合题意，舍去； 1)x+a2-2a十3=0，由题意知，A=[2(a十1)]2-4(a2 当y=1时，30-y-y-2y=26,20-y-y=18,符合题意. 答：四周小路的宽度为1米 2a+3)>0,解得e>2 25.(1)-3-5 (2):二次函数的图象与x轴有交点， (2)由题意，方程x一 =2√的两个解分别为m,n, .△=4(a+1)2-4×1×(3a2-2a+3)=-8a2+16a-8 x =-8(a-1)2≥0..8(a-1)2≤0. 则m十n=2√6，mn=-4, 又8(a-1)2≥0，.8(a-1)2=0,解得a=1. .m2+n2=(m十n)2-2mn=(2√6)2-2X(-4)=32. (3)证明：当x=0时y=3a-2a+3=3(a-号)‘+8>0， 小品+器6+弧-6 32 2mn -6=2×(-4) 该二次函数的图象不经过原点， -6=-10. 23.(1)y= (3)x-5t4t2 9x+16 2年=5t-6x+1+450-51-5. x+1 (2②)由题意，得-9x+16=4,解得 即x十1+45》=计4红-5. x+1 x-士33 A .x1+1=t,x2+1=4t-5或x+1=4t-5,x2+1=t. 2 D .x1=t-1,x2=4t-6或x1=4t-6,x2=t-1. .2+x2=2(t-1)+4t-6=6t-8或2x1+x2=2(4L --(-9） =3√3（米）， 6)+t-1=9t-13. 即铁丝MN的长为3√3米， 又2m+=-合6-8=-合或9-13= (3)CD的长为24米. 21 24.(1)①：'点A(1,-1)在抛物线y=ax2-2ax(a≠0)上， =或 ∴.-1=a-2a,∴.a=1. ②由①可得抛物线的解析式为y=x2一2x, 又=时，西+1=红-5=0，不合题意=号合去 当>0时，如图①，点E不在线段P℉上，故不成立； 当t=0时，点E与点P重合，也不成立； 综上所述，=8 5 当t<0时，如图②， 第二十六章学情评估 点E为线段PF的中点，且P(O,t), 1.C2.A3.C4.A5.D6.A7.A8.B9.A .设E(x0,t),则F(2x0,t),.x一2xo=(2xo)2一2X 10.C11.1<x<312.3(答案不唯一) 2x0, 13.>14.215.125016.x=0或x=6 解得x= 17.418.3或头 号或=0（含去） =()-2x= 19.（1)由表格可知对称轴为x=1,所以 可设抛物线的解析式为y=a(x 1)2一4， :x=0时，y=-3,.-3=a×(0 -1)2-4.解得a=1,.抛物线的 解析式为y=(x-1)2一4=x2一 图① 图② 图③ 图④ 2x-3. (2):y=a.x2一2ax(a≠0)，.对称轴为x=1, (2)描点、连线，函数图象如图所示，当0≤x≤4时， (1)当a>0时，抛物线开口向上，当x<1时，y随x的 -4≤y≤5 增大而减小. 20.(1)设AB=xcm,则BC=(28一x)cm,由题意，得 此时，1-2a<1, x(28-x)=192,解得x1=12,x2=16, ∴.点B(1一2a,y1)在对称轴左侧， .DM=15cm,且x≤DM, 一1<1，∴.点C(一1，y2)在对称轴左侧，如图③， .x2=16舍去..AB=12cm. y1>y2,∴.1-2a<-1,∴.a>1. (2)矩形ABCD的面积不能为240cm.理由如下： 此时，抛物线在点B,C之间的部分（含点B,C)上不存在 设AB=xcm,矩形ABCD的面积为Scm2, 两点M(x1,m),N(x2,n),使得m=n; 由题意，得S=x(28-x)=-(x-14)2+196, (i)当a<0时，抛物线开口向下，当x<1时，y随x的 .当x=14时，S取最大值196. 增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小. '.矩形ABCD的面积不能为240cm2 此时，1一2a>1,∴.点B(1-2a,y)在对称轴右侧， 21.(1)y=x2+2x-1 一1<1，∴点C(一1，y2)在对称轴左侧，如图④， (2)直线l:x=一1与x轴相交于点C 点C关于对称轴的对称点C(3,y2)在对称轴右侧， .点C(-1,0). y1>y2,.1-2a<3..a>-1. ,PA⊥x轴，PB⊥l,垂足分别为A,B.点P的横坐标为m. 此时，抛物线在点B,C之间的部分（含点B,C)上存在两 .P(m,m2+2m-1),A(m,0),m>-1. 点M(x1,m),N(x2,n),使得m=n. '.AC=m-(-1)=m+1,PA=m2+2m-1|: 综上所述，a的取值范围为一l<a<0. ,四边形APBC为正方形，∴PA=AC. 第二十七章学情评估 .m+1=|m2+2m-1l. 1.B2.D3.D4.C5.C6.D7.B8.D9.C 解得m=-2(舍去)或m=1或m=-3(舍去)或m=0, 10.A11.-112.(-1,-1)13.>14.1(答案不唯-) 年级数学（上）一