第二十五章 一元二次方程 单元检测卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 九年级《一元二次方程》单元检测卷，满分100分，90分钟，覆盖全章核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，适配单元复习，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|配方（1）、根的判别式（6）、根与系数关系（3）|结合函数值表（4）、新定义运算（5）| |填空题|4/12|参数取值范围（11）、规律探究（13）、几何面积（14）|跨情境迁移（12）、图形规律（13）| |解答题|8/58|方程求解（15）、证明（16）、实际应用（17、22）、新定义（20）、数学文化（21）|分层设计，综合考查模型意识（17、22）、创新意识（20、21）|

第二十五章《一元二次方程》单元检测卷 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时90分钟完成。数学满分100分。 2.考试范围：九年级数学第二十五章 第一部分 选择题(共30分) 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（    ） A．1 B．5 C．16 D．17 【答案】D 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 通过完成平方将方程化为的形式，直接计算n的值即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴． 故选D． 2．若关于的一元二次方程有一个实数根为1，则（　　） A． B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义、因式分解法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、解的定义和解一元二次方程，熟练掌握方程的根就是能使方程左右两边相等的未知数的值，二次项系数不等于0，是解题的关键． 先把代入方程得到，根据，即可求出k的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个实数根为1， ∴， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．已知方程的两个根分别为，则的值为（   ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求出和的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程的两个根分别为， ∴， ∴， 故选：A． 4．如下表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（　　） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格可得，当或时，，据此即可求解． 【详解】解：由表格可得，当或时，， ∴关于的方程的实数根是，． 故选：B． 5．定义一种运算“☆”为：☆，则☆的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】根据运算定义，将方程转化为代数式，得到一元二次方程，然后因式分解求解． 【详解】∵ ☆ ∴ ☆ ∴ ☆ ∴ ∴ 或 ∴ 或 故方程的解为， 故选：D． 6．定义新运算：．例如：．则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先根据新定义得到，再把方程化为一般式为，然后计算根的判别式的值，再根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：方程化为， 一元二次方程化为一般式为， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 7．用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【知识点】公式法解一元二次方程、化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式与求根公式，通过对比题干给出的根的表达式，反推方程的二次项系数、一次项系数和常数项即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其求根公式为， 又∵题干中方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴此一元二次方程的一般形式为， ∴此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，， 故选：． 8．对于一元二次方程，根据求根公式为（其中），可以推导两根之差的绝对值的表达式．若有两个实数根，．则能够满足的m的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】公式法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】先推导一元二次方程两根之差的绝对值公式，再结合题目条件列出关于的方程，同时根据方程有两个实数根确定判别式的取值范围，求解后得到符合条件的的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由求根公式，得 ， ∵方程有两个实数根，． ． 由，得 解得， ，符合条件． 9．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点，前行的点数和不可能是以下哪个结果（   ） A．210 B．100 C．78 D．45 【答案】B 【知识点】图形类规律探索、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，先求出前行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为210、100、78、45时的值，判断即可得解．熟练掌握一元二次方方程的应用是关键． 【详解】解：第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点， 前行的点数和， A、若和为210，则，解得或（舍去），即前20行的点数之和为，故A不符合题意； B、若和为100，则，解得，不是整数，即不存在前行的点数之和为100，故B符合题意； C、若和为78，则，解得或（舍去），即前12行的点数之和为78，故C不符合题意； D、若和为45，则，解得或（舍去），即前9行的点数之和为45，故D不符合题意； 故选：B． 10．如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、利用平行四边形的性质求解 【分析】设AP＝xcm，则PB＝（8−x）cm，求出∠A＝45°，∠APR＝90°，得到PR＝PA＝xcm，然后根据▱PQCR的面积为△ABC面积的一半列方程求解即可． 【详解】解：设AP＝xcm，则PB＝（8−x）cm， ∵∠B＝90°，AB＝BC＝8cm， ∴∠A＝45°， ∵PRBC， ∴∠APR＝90°， ∴PR＝PA＝xcm， ∵▱PQCR的面积为△ABC面积的一半， ∴， 解得：， ∴点P移动的路程为4cm． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，一元二次方程的应用，根据几何图形的性质得出方程是解题的关键． 第二部分 非选择题 (共70分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 11．一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是_____． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程的定义得到二次项系数不为，再结合方程有两个实数根可得根的判别式大于等于，求解两个不等式的公共部分即可得到的取值范围． 【详解】解：∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 解得， 对于一元二次方程，根的判别式为： ∵方程有两个实数根， ∴ ∴ ∴且 12．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 13．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，第___个图案中黑色三角形的个数为300． 【答案】24 【知识点】图形类规律探索、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】据图形的变化规律总结出第n个图形黑色三角的个数为n（n+1），根据题意列方程即可求解． 【详解】解：由图形的变化规律知，第ⓝ团中黑三角的个数为1+2+3+4+…+n＝n（n+1）， 由题意得，n（n+1）＝300， 解得， ∵n＞0， ∴n＝24． 故答案为：24 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，一元二次方程的应用等知识，归纳出第n个图形黑色三角的个数为n（n+1）是解题的关键． 14．一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为_____________． 【答案】/8平方厘米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设矩形的长为，宽为，根据图①和图②的阴影面积列出方程组，求出的值，再求图③的面积求解即可． 【详解】解：设矩形的长为，宽为，由题意，得： ， 整理，得：， 把②代入①得：③， 把③代入①得：， 整理，得：， 解得：， 当时，， 当时，（不合题意，舍去）； ∴长方形的长为cm，宽为cm， ∴图③中的阴影面积为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．正确的识图，找准等量关系，列出方程，是解题的关键． 三、解答题（共58分） 15．解下列方程． (1)x（3x＋2）＝6（3x＋2） (2)3x2－2x－4＝0 【答案】(1)， (2)， 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得：，； （2）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 16．已知关于x的一元二次方程． 求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根． 【答案】 证明：∵，， ∴ ； ∵不论m为何值， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根． 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 计算一元二次方程根的判别式，通过配方法得出判别式大于等于0即可求解． 【详解】略 17．某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数． 【答案】这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 18．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】(1)解：等腰三角形，理由如下： 把代入方程得：， ∴， ∴为等腰三角形； (2) 解：直角三角形，理由如下： 根据题意得， 即， 所以为直角三角形； (3)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、等边三角形的性质、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）把代入方程得，整理得，从而可判断三角形的形状； （2）根据判别式的意义得，即，然后根据勾股定理可判断三角形的形状； （3）利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：为等边三角形， ， 方程化为， 解得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的判定，勾股定理逆定理等知识． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)； 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，求出的值，再解方程即可. 【详解】（1）略； （2）解：把代入方程，得， 解得， ∴方程化为， ∴， ∴； 故方程的另一个根为. 20．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 【答案】(1)不是邻根方程，计算如下： ， ， 解得：， ， ∴一元二次方程不是邻根方程； (2)或0 (3)或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）解方程，根据题意即可判断； （2）解方程，根据题意列方程即可解答； （3）设方程的根为，根据根与系数的关系得到关于的方程，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 或， ∵方程（m是常数）是“邻根方程”， 或， 或0； （3）解：设方程的根为，且， 则，， 将代入得， 化简得， ，， ， ，即， 即， 解得． 21．阅读下列材料，并完成相应学习任务： 古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数． 所有的三角形数都具有如图2所示的规律． 学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题： (1)请判断78是第几个三角形数？写出判断过程． (2)若相邻两个三角形数的和是121，求这两个三角形数． 【答案】(1)78是第12个三角形数，理由见解析 (2)55和66 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据题意易得第n个三角形数可以表示为，则有，然后求解即可； （2）设较小的三角形数是，则较大的三角形数是，由题意可知，，进而求解即可． 【详解】（1）解：根据材料可知，第n个三角形数可以表示为 当时，得， 解得， 因为n是正整数，所以舍去． ∴78是第12个三角形数． （2）解：设较小的三角形数是，则较大的三角形数是 由题意可知，． 解得，（舍去） 当时，；． 所以这两个三角形数是55和66． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法及理解题意是解题的关键． 22．西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)该品牌头盔销售量的月增长率是______； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应上涨多少钱？ 【答案】(1) (2)该品牌头盔每个售价应上涨10元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润=（售价−进价）×销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意得， 整理得， 解得，， 因为尽可能让顾客得到实惠， 所以不合题意，舍去． 所以，元． 答：该品牌头盔每个售价应上涨10元． 23．对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 【答案】(1)和 (2)代数式没有镜像值， 理由：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， ， 计算根的判别式， 方程没有实数根， 代数式没有镜像值． (3)正整数的值为 【知识点】公式法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）根据定义列一元二次方程求解即可得到镜像值； （2）根据定义列一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实根，即可得到结论； （3）根据定义整理方程，推导出两个镜像值差的表达式，结合差为整数，a为正整数的条件求解即可． 【详解】（1）解：设代数式的镜像值为，根据定义得， 整理得， 解得， 即代数式的镜像值是和． （2）略 （3）解：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， 为正整数，代数式有两个镜像值， ，方程是一元二次方程，且， 方程的两个根为， 则两个根差的绝对值为， 两个镜像值的差为整数，是正整数， 是正整数， 为正整数， ， 即， 满足条件的整数平方只有，即， 得，符合要求 正整数的值为． 24．小明运用所学的一元二次方程的根与系数的关系，对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征进行了探究.定义： 倍根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个相等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 【答案】(1) (2)这个方程的根是是2和4，或和 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了阅读理解类题目，一元二次方程根与系数的关系的应用． （1）设方程的两个根是，根据定义可设，再根据根与系数的关系求出答案； （2）设方程的两个根是，根据题意可知或，列出方程求出解即可． 【详解】（1）设方程的两个根为， 一元二次方程是“倍根方程”， 不妨设， ， ， ，， ； （2）设一元二次方程的两个实数根分别为、， 这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， 不妨设， ①当时，即，解得或（舍去）， ， ②当时，即， 解得或（舍去）， 这个方程的根是2和4，或和． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章《一元二次方程》单元检测卷 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时90分钟完成。数学满分100分。 2.考试范围：九年级数学第二十五章 第一部分 选择题(共30分) 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（    ） A．1 B．5 C．16 D．17 2．若关于的一元二次方程有一个实数根为1，则（　　） A． B． C．或 D． 3．已知方程的两个根分别为，则的值为（   ） A．2 B．6 C． D． 4．如下表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（　　） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 5．定义一种运算“☆”为：☆，则☆的解是（   ） A． B． C． D． 6．定义新运算：．例如：．则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 7．用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．对于一元二次方程，根据求根公式为（其中），可以推导两根之差的绝对值的表达式．若有两个实数根，．则能够满足的m的值为（   ） A． B．1 C． D．2 9．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点，前行的点数和不可能是以下哪个结果（   ） A．210 B．100 C．78 D．45 10．如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（    ） A． B． C． D． 第二部分 非选择题 (共70分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 11．一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是_____． 12．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 13．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，第___个图案中黑色三角形的个数为300． 14．一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为_____________． 三、解答题（共58分） 15．解下列方程． (1)x（3x＋2）＝6（3x＋2） (2)3x2－2x－4＝0 16．已知关于x的一元二次方程． 求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根． 17．某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数． 18．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 20．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 21．阅读下列材料，并完成相应学习任务： 古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数． 所有的三角形数都具有如图2所示的规律． 学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题： (1)请判断78是第几个三角形数？写出判断过程． (2)若相邻两个三角形数的和是121，求这两个三角形数． 22．西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)该品牌头盔销售量的月增长率是______； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应上涨多少钱？ 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $