第25章 一元二次方程 培优测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册第二十五章一元二次方程培优测试卷，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，考查抽象能力、运算能力与模型意识，适配单元复习的知识整合与素养提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|定义、解法、判别式等|如第1题考定义，第4题考配方法，突出基础巩固| |填空题|6题/18分|方程求解、实际问题|如第13题连续奇数问题，强化知识迁移| |解答题|6题/52分|解法应用、根与系数关系、实际建模|如第21题几何运动问题，体现模型意识与运算能力，契合真题趋势|

第章 一元二次方程 培优测试卷 —学年人教版九年级数学上册 （范围：第二十五章 一元二次方程　　时长：分钟　　满分：分） 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） ．　　．　　．　　． ．将方程 化成一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项的和为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　　． ．方程 的解是（　　） ．　　．　　．　　． ．用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　） ．　　．　　．　　． ．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．某校计划组织足球邀请赛，采取单循环赛制（每两支球队之间都比赛一场），共需比赛 场．设参赛球队有 支，则可列方程为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．乡村振兴战略实施以来，某乡镇居民人均可支配收入连续增长． 年、 年该乡镇人均可支配收入如下表所示．设年平均增长率为 ，由题意可列方程为（　　） 年份 年 年 年 人均可支配收入/万元 ？ ．　　．　　．　　． ．对于任意两个实数 ，定义新运算 *．例如：*．则方程 ** 的根的情况是（　　） ．没有实数根　　．有两个相等的实数根　　．只有一个实数根　　．有两个不相等的实数根 ．已知 ，关于 的方程 的根的情况是（　　） ．有两个相等的实数根　　．没有实数根 ．两根异号，且正根的绝对值较大　　．两根异号，且负根的绝对值较大 ．定义：若关于 的一元二次方程的两个根中，一个根是另一个根的 倍，则称这个方程为“倍根方程”．若关于 的方程 是倍根方程，则 的值为（　　） ．　　　　．　　　　．或　　　　．或 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．方程 的解为． ．若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 ． ．两个连续正奇数的积为 ，则这两个奇数的和为． ．某流感患者经过两轮传染后，共有 人患流感．设每轮传染中平均一个人传染 个人，则 ． ．如图，用长为 的篱笆围成矩形菜园 ，一边 靠墙（墙的可用长度为 ，篱笆只围另外三边），与墙垂直的边 的长为 ．若菜园的面积为 ，则 的值为． ．已知 是方程 的一个根，则代数式 的值为． 三、解答题（本大题共小题，共分） ．（分）解下列方程： （因式分解法）；（公式法）． ．（分）已知关于 的方程 的一个根为 ，求 的值及方程的另一个根． ．（分）已知关于 的一元二次方程 ． 求证：当 时，该方程没有实数根； 设方程的两个实数根为 ，若 ，求 的值． ．（分）某书店销售一种文创笔记本，进价为 元/本．当售价为 元/本时，每天可售出 本．市场调查发现：售价每降低 元，每天可多售出 本．设售价降低 元，每天的销量如下表（部分）： 降价 元 … 每天销量/本 … 用含 的代数式表示每天的销售量； 若书店每天销售该笔记本的利润为 元，且要求尽量让利于顾客，求该笔记本的售价． ．（分）如图，在矩形 中， ．点 从点 出发沿 向点 以 cm/s 的速度匀速运动，同时点 从点 出发沿 向点 以 cm/s 的速度匀速运动，当点 到达点 时， 同时停止运动．设运动时间为 ． 当 为何值时， 的面积等于 ？ 在运动过程中，是否存在时刻 ，使得 两点间的距离为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． ．（分）已知关于 的一元二次方程 ． 求证：无论 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； 若 的两边 的长是该方程的两个实数根，第三边 ．当 为等腰三角形时，求 的值及 的周长； 设该方程的两个根为 ，求 的值，并说明它与 的取值无关． 第章 一元二次方程 培优测试卷 —学年人教版九年级数学上册（参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ．　【分析】按定义逐项判断：只含一个未知数、未知数最高次数为 的整式方程． 【详解】 是一元一次方程； 含分式 ，是分式方程； 化为 ，符合定义； 含两个未知数．故选 ． ．　【分析】先化为一般形式，再确定各系数（注意符号）． 【详解】 展开得 ，即 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ，和为 ．故选 ． ．　【分析】直接开平方，注意 的平方根有两个． 【详解】，解得 ．故选 ． ．　【分析】配方需加上一次项系数一半的平方． 【详解】，移项得 ，两边加 ，得 ，即 ．故选 ． ．　【分析】由根的判别式 求解． 【详解】．由 得 ，解得 ．故选 ． ．　【分析】 支球队单循环比赛，总场数为 ． 【详解】由题意得 ．故选 ．（ 均未除以 ； 的方程解不为正整数，与 场不符．） ．　【分析】设年平均增长率为 年收入为 年为 ． 【详解】由 年人均可支配收入为 万元，得 ．故选 ．（ 按“每年增长 ”计算，错误； 误认为增长 ； 把增长写成下降．） ．　【分析】按新运算把方程两边分别展开，再化为一般形式并用判别式判断． 【详解】**，方程即 ，整理得 ，即 ，方程有两个不相等的实数根 ．故选 ． ．　【分析】先算判别式，再用根与系数的关系判断两根的符号与大小． 【详解】，方程有两个不相等的实数根， 错误；又 ，两根异号；（），说明正根的绝对值较大， 正确， 错误．故选 ． ．　【分析】方程的两根为 和 ，分“ 是 的 倍”与“ 是 的 倍”两类讨论． 【详解】由 得两根为 和 ．若 ，则 是 的 倍；若 ，则 是 的 倍．所以 或 ．故选 ． 二、填空题（每小题分，共分） ．　【分析】先移项，再提取公因式 ． 【详解】，移项得 ，即 ． ．　【分析】两根相等 ⇔ ． 【详解】，解得 ．（此时方程为 ，两根均为 ．） ．　【分析】设较小奇数为 ，则较大奇数为 ，列方程求解． 【详解】，整理得 ，因式分解得 ，解得 或 （舍去），故两奇数为 ，和为 ． ．　【分析】每轮传染后患病人数变为原来的 倍，两轮后为 倍． 【详解】由题意得 或 （舍去），故 ． ． 或 　【分析】平行于墙的边 ，列面积方程，注意两解都要检验是否满足“墙长不超过 ”． 【详解】由题意得 ，整理得 ，因式分解得 ，解得 ．当 时，；当 时，，均符合题意． 或 ． ．　【分析】由 是方程的根得 ，利用它对 降次． 【详解】 ． ，故 ． 三、解答题（共分） ．； 【分析】十字相乘因式分解；确定 ，先算 再代入求根公式． 【详解】，因式分解得 ． ， ， ． 【评分标准】因式分解正确得 分，写出两根得 分；写出 及 的值得 分，代入求根公式得 分（共 分）． ．，方程的另一个根为 【分析】把 代入方程求 ，注意一元二次方程的二次项系数不为 ；再把 代回方程解出另一个根． 【详解】把 代入方程，得 ，解得 或 ． 当 时，二次项系数 ，方程不是一元二次方程，舍去； ． 此时方程为 ，即 ，解得 （已知根），． ，方程的另一个根为 ． 【评分标准】代入求得 得 分；排除 得 分；求出另一个根得 分（共 分）． ．见详解，； 【分析】计算 并配方判断符号；用根与系数的关系把 用 表示，解方程后由 取舍． 【详解】． 当 时， ，方程没有实数根． 由根与系数的关系得 ． ． 由 ，得 ，即 ，解得 或 ． 由知方程有实数根需 ，即 舍去，． 【评分标准】正确计算 得 分，说明 得 分；用根与系数的关系表示 得 分，解得 或 得 分，由 舍去 得 分（共 分）． ．每天的销售量为 本；售价应定为 元/本 【分析】由表格规律：降价每增加 元，销量增加 本；每件利润为 元，列一元二次方程，两解中取降价多者． 【详解】由表格可知，降价 元时每天的销售量为 本． 设售价降低 元，则每本的利润为 元， 由题意得 ， 整理得 ，因式分解得 ，解得 ． 要求尽量让利于顾客，即降价越多越好， 取 ，此时售价为 （元）． 答：该笔记本的售价应定为 元/本． 【评分标准】写出销量 得 分；列出方程得 分，解得 或 得 分，按“让利于顾客”取 并求出售价 元得 分（共 分）． ．；存在， 或 【分析】用 表示 （）：列面积方程并注意取舍；在 中用勾股定理列方程，注意两解都要检验 的范围． 【详解】由题意，，其中 ． ． 由 ，得 ，解得 ． ，而 ，舍去， ． 即当 为 时， 的面积等于 ． 存在．在 中，， 由勾股定理得 ． 由 ，得 ，整理得 ， 因式分解得 ，解得 ． 经检验， 与 均满足 ，均符合题意． 当 为 或 时， 两点间的距离为 ． 【评分标准】用 表示 得 分，列出面积方程得 分，解方程得 分，由 舍去另一根得 分；用勾股定理列出方程得 分，解得 或 得 分，检验说明两解均符合得 分（共 分）． ．，总有两个不相等的实数根；，周长为 ；或 ，周长为 ；，与 无关 【分析】计算判别式；把左边因式分解得两根为 ，由 及“两根不相等”分两类讨论；用根与系数的关系展开． 【详解】， 无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根． ， 方程的两根为 和 （ 时均为正数）． 两根不相等， 等腰只能是腰长为 ，即两根中有一个等于 ． 若 ，则两根为 ，三边为 ，能构成三角形，周长为 ； 若 ，即 ，则两根为 ，三边为 ，能构成三角形，周长为 ． 时周长为 ； 时周长为 ． 由根与系数的关系，， ， ，为定值，与 的取值无关． 【评分标准】正确计算 并说明大于 得 分；因式分解求出两根得 分，每分类求出 并验证三角形得 分、写出周长得 分（共 分）；用根与系数的关系展开化简得 分，得出定值 并说明与 无关得 分（共 分）． 学科网（北京）股份有限公司 $