四川省泸县第二中学、泸县二中实验学校2024-2025学年高一上学期期末模拟考试数学试题

**基本信息** 以企业交易数据建模、折扇文化情境及“弱奇偶性”新定义为载体，考查数学建模、创新意识与数据分析，实现基础巩固与能力提升统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（单选+多选）|11/58|集合、函数性质、充要条件|第7题结合物体冷却公式，考查实际应用| |填空|3/15|指数函数定点、扇形面积、函数最值|第13题以折扇文化为背景，渗透文化传承| |解答|5/77|三角函数、函数单调性、数学建模|第18题企业交易数据拟合，第19题“弱奇偶性”新定义，体现创新应用|

泸县二中、二实高2027届2024年秋期期末模拟考试 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1页至2页，第Ⅱ卷3页至4页。共150分。考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1、已知集合，，则（ ） A、 B、 C、 D、 2、命题“，”的否定是（ ） A、， B、， C、， D、， 3、已知，则“”是“”的（ ） A、充要条件 B、充分不必要条件 C、既不充分也不必要条件 D、必要不充分条件 4、已知幂函数的图象经过点，则等于（ ） A、 B、 C、 D、 5、函数的零点所在区间为（ ） A、 B、 C、 D、 6、已知，，，则（ ） A、 B、 C、 D、 7、把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得．若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过（ ）（取：） A、 B、 C、 D、 8、若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9、下列函数是偶函数的是（ ） A、 B、 C、 D、 10、函数，则下列结论正确的是（ ） A、函数的图象关于直线对称 B、函数的图象关于点对称 C、函数在上单调递增 D、函数在上恰有个零点 11、已知函数的定义域为，满足，，则（ ） A、 B、 C、是偶函数 D、 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效。 （2）本部分共8个小题，共92分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12、函数（且）的图象恒过定点____________。 13、如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是____________。 14、若，，则的最大值是_____________。（注：表示中的较小值。） 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、(本小题满分13分) 已知全集，集合，。 （Ⅰ）求； （Ⅱ）设非空集合，若，求实数的取值范围。 16、(本小题满分15分) 在平面直角坐标系中，角，的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为，。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值。 17、(本小题满分15分) 已知函数（为常数）是奇函数 （Ⅰ）求的值与函数的定义域； （Ⅱ）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； （Ⅲ）若当时，恒成立，求实数的取值范围。 18、(本小题满分17分) 国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计天，包括第天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第天 （万件） （Ⅰ）给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数。请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； （Ⅱ）若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（Ⅰ）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的。 19、(本小题满分17分) 对于函数，若在定义域内存在实数，且，满足，则称为“弱偶函数”。若在定义域内存在实数，满足，则称为“弱奇函数” （Ⅰ）判断函数是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论）； （Ⅱ）已知函数，试判断是否为其定义域上的“弱奇函数”，若是，求出所有满足的的值，若不是，请说明理由； （Ⅲ）若为其定义域上的“弱奇函数”。求实数取值范围。 泸县二中、二实高2027届2024年秋期期末模拟考试数学试题 参考答案 一、单选题：1-8:CBDB CDAC 二、多选题： 9.AD 10.BC 11.ABD 三、填空题：12. 13. 14. 1. 【答案】C【详解】因为，，所以 2. 【答案】B 【详解】命题“”的否定是“”.故选：B 3.【答案】D【解析】由，得，当时，得不到；由，得，所以.故选择D. 4. 【答案】B【详解】由题意得，且，解得，所以.故选：B 5.【答案】C【解析】（方法一）作出函数和函数的图象（图略），判断交点的横坐标.（方法二），由零点存在定理，可知零点所在区间为.故选择. 6. 【答案】D【详解】函数在R上单调递增，故，在R上单调递减，，在上单调递减，。 7. 【答案】A【详解】的物块经过后的温度，的物块经过后的温度.要使得两块物体的温度之差不超过，则，即，解得.故选：A. 8. 【答案】C【详解】当时，函数单调递增，则函数在上至多一个零点，当时，函数至多两个零点，因为函数有三个零点，则函数在上有一个零点，在上有两个零点，当时，令，可得，必有，解得，所以，，解得；当时，由，可得或，所以，，解得.综上所述，实数的取值范围为.故选：C. 9. 【答案】AD【详解】由题意，A项，在中，,，为偶函数；B项，在中，,，为奇函数；C项，在中，,，为奇函数；D项，在中，,，为偶函数； 10．【答案】BC【详解】，对于A,当时，，故A错误；对于B,当时故B 正确；对于C,当时，，故函数在该区间上单调递增，故C正确；对于D,令，解得，当时，，正好有4个零点，故D错误．故选：BC. 11． 【答案】AB【详解】对A，令，得，即，故A正确；对B，令，得，即，故，故B正确；对C，令，则，由B，，故，用替代，即，再令，由得，即.若，则，为偶函数，取，得，由，令有，为偶函数有，故，即.取，得，与矛盾，故，此时，即为奇函数，故C错误.对D，由为奇函数可得，所以，故周期为4，，，，，所以，，故D正确.故选；ABD 12. 【答案】【解析】【详解】试题分析：时，，图象恒过点． 13. 【答案】【详解】由题设，，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积.故答案为： 14. 【答案】【详解】令，，于是，，则，当且仅当时取等号，而，当且仅当，即时取等号，因此当，且，即时，，所以的最大值为.故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15. （13分）【详解】（Ⅰ）因为，......................2分 ，。......................4分 所以，则；......................7分 （Ⅱ）因为非空集合，且，所以或， 解得或，即实数的取值范围是.......................13分 16．（15分）【解析】（1）根据题意可知，又，所以，则；............................................5分 （2）根据题意可知，又，所以，9分 根据诱导公式可知.......................15分 17.（15分）【解析】（1）因为函数是奇函数，所以，所以，即，所以，令，解得或，所以函数的定义域为或；............................................5分 （2）函数在区间上是减函数，证明略......................10分 （3），当时，所以，所以.因为，恒成立，所以，所以的取值范围是..............15分 18.（17分）【解析】（1）由给出数据可知：随着自变量增大，函数值在变小，同时函数模型①是递增的指数型函数，又模型②为递减的反比型函数，故选择模型②，观察表格中的4组数据，从数据简洁并且易于计算的角度，理应选择中间两组数据，即，解得，可以检验相对合理， 从而；............................................6分 （2） 由（1）可得 ，......................8分 （3） 当时，由基本不等式得，当且仅当时取到最小值，......................13分 当时，，由单调性的性质可得在上单调递减，故在时，有最小值，最小值为万元，......................16分 又，综上所述，当时取得最小值.......................17分 19. （17分）【解析】（1）当时，则，若，无实数解，舍去； 若，解得（正舍），当时，则，若，无实数解，舍去； 若，解得（负舍），则存实数，满足， 则是“弱奇函数”，............................................5分 （2）假设为其定义域上的“弱奇函数”，则， 若，则，则，舍去； 若，则，则，舍去； 若，则，则，舍去； 从而无解，所以不是其定义域上的“弱奇函数”.......................5分 （3）由在上恒成立，转化为在上恒成立，即. 因为为其定义域上的“弱奇函数”，所以存在实数使得， 当时，则，所以，即， 所以，，即在有解可保证是“弱奇函数"，所以，又因为，所以； 当时，，此时，不成立； 当时，则，所以，则， 即，即在有解可保证是“弱奇函数”， 所以，由可知；综上所述，实数的取值范围为. ............................................17分 数学 第 6 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $