四川省泸州高级中学校2024-2025学年高一上学期第三次月考数学试题

**基本信息** 以“心理学平台会员增长”等现实情境为载体，分层考查集合、函数、三角函数等核心知识，通过基础运算与综合应用结合，适配高一阶段性检测，体现数学建模与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、不等式性质、函数奇偶性|基础概念辨析，如第4题结合图像判断奇函数解析式| |多选题|3/18|充分必要条件、函数性质|逻辑推理，如第9题综合考查命题否定与条件关系| |填空题|3/15|扇形弧长、函数定点、抽象函数|空间观念与符号意识，如第14题抽象函数不等式求解| |解答题|5/77|指数对数运算、集合应用、函数模型、三角函数综合、函数单调性证明|应用意识，如17题用函数模型拟合会员增长数据；创新意识，如18题三角函数最值与存在性问题综合|

泸州高中2024年秋期高2024级第3次月考 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.若，则下列不等式中正确的是(     ) A. B. C. D. 3.已知，则( ) A. B. C. D. 4.如图，已知函数的图象关于原点对称，则的解析式可能是（    ）   A． B． C． D． 5. α为三角形内角，且，则=（ ） A. B. C. D. 6.已知，，且恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数与函数互为反函数，则的单调递减区间是(  ) A. B. C. D. 8.设函数不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9．以下说法正确的有(　　) A．“－2<x<4”是“”的必要不充分条件 B．命题“∃x>1，ln (x－1)0”的否定是“∀x1，ln (x－1)<0” C．“ln a>ln b”是“a2>b2”的充分不必要条件 D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 10.以下说法正确的有(　　) A. B.若，则 C.若，则 D.若，则 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 的周期为4 B. C. 的所有零点之和为16 D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长为 . 13.若函数(0<a<1)的图象恒过定点，则的取值范围是_________. 14.设函数满足对，且时.则不等式 的解集是 . 四、解答题：共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）计算下列式子的值： （1）； （2）. 16.（本小题15分）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 17. （本小题15分）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： ( 建立平台第 年 1 2 3 4 会员个数 （千人） 14 20 29 43 ) （1）依据表中数据，从下列两种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，② （2）为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值. 18.（本小题17分）已知函数相邻两条对称轴的距离为． (1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； (2)若为偶函数，设，求的单调递增区间； (3)设，过点.已知实数，若存在，当任意时，使得成立，这样的实数是否存在？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由. 19.已知函数是偶函数，是奇函数． (1)实数的值； (2)用定义法证明函数在R上是增函数； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 参考答案 1-8. ABCDA CCD 9-11. CD BD ABD 12. 13._ 14. 15.解：(1)原式=………………………………………………6分 (2)原式=……………………………………………………………………………7分 16.解：(1)当时，,………………………………………………3分 所以………………………………………………………………………………………………2分 ,…………………………………………………………………………………………2分 (2)①若，即，则,…………………………………………………………………2分 ②若，则解得,…………………………………………………………………4分 综上:.…………………………………………………………………………………………………………2分 17.解：(1)从表格数据可以得知，函数是一个增函数，且函数增长的速度越来越快，     选择②（且）………………………………………………………………2分 代入表格中的三个点可得：，解得：，.…………5分 (2)由（1）可知：，故不等式对恒成立， 对恒成立，……………………………………2分 令，则，    ，， 在单调递增，则，    .……………………6分 18. 解：(1)由题知，. 的最大值为1，此时……5分 (2) 若为偶函数，， ，增区间为：…5分 (3)，令则.易知. ，由题意知，只需 所以……………………………………………………………………7分 19.解：(1)由题知函数定义域均为∵是偶函数 ∴ 即整理得即…………………………3分 此时经检验，符合题意. ∵是奇函数 ∴ 此时经检验，符合题意. ……………………………………………………………………2分 (2)设，，因为，所以，所以，所以函数在R上是增函数.…………………………………………5分 (3) 在上单调递增，故有对恒成立 又 ∴对恒成立. 令由知. 则有对恒成立. 即对恒成立. 令只需即可.又对称轴为，………………………………3分 1 当即时，在上单调递增，只需即可. ∴ 2 当即时，在上单调递减，在上单调递增. ∴解得∴ 综上所述，的取值范围为 …………………………………………………4分 ( 第 5 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $