精品解析：四川省泸县第五中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

高2025级高一上学期第一学月考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2．考生必须保持答题卡的整洁. 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举法表示集合，可得解. 【详解】，该集合中的元素有个， 故选：B. 2. 已知集合，下列不是集合A的真子集的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合的真子集，即可判断. 【详解】根据题意，集合的真子集为： 所以不是集合A的真子集的是. 故选：C 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求解. 【详解】， 故选：A 4. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图示分析阴影部分与集合A,B关系，再根据集合的运算可得结果. 【详解】由图可知，阴影部分包含于集合，与集合的交集为空集， 所以阴影部分表示的集合是集合与集合的交集. 因为全集，集合，所以或. 因为集合，所以. 故选：D. 5. “是矩形”是“是正方形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由是矩形得不到是正方形，故充分性不成立； 由是正方形一定可以得到是矩形，故必要性成立， 所以“是矩形”是“是正方形”的必要不充分条件. 故选：B 6. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“，有”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是：，有. 故选：B 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式性质，结合作差法比较大小逐项判断. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 8. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分离常数后整理化简转化为求的最小值，由,利用“乘1法”转换变形后，利用基本不等式可得. 【详解】由正实数，满足，所以，. ， 当且仅当，结合已知求解得当，时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列各组中表示不同集合的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故. 故选：ABD. 10. 若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据必要不充分条件列不等式，由此求得的取值范围，进而确定正确答案. 【详解】依题意，“或”是“”的必要不充分条件， 所以或，解得或， 所以ACD选项正确，B选项错误. 故选：ACD 11. 已知不等式解集中的整数恰有个，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用不等式性质，整理不等式为一元二次不等式，结合分类讨论思想，可得答案. 【详解】由，则，， 易知，可得， 当时，解得， 由，则， 可得，解得； 当时，解得，由，则， 可得，解得. 故选：BD. 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 已知集合，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合交集的运算直接求解即可． 【详解】， ． 故答案为：． 13. 《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有63人、观看了《浪浪山小妖怪》的有89人，观看了《长安的荔枝》的有47人，三部电影都观看了的有24人，观看了其中两部电影的有46人，这三部电影都未观看的有15人．则接受调查的市民共有________人 【答案】 【解析】 【分析】根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式计算出结果. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合表示， 则， 不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为， 观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为， 观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为， 则， 由三个集合的容斥关系公式得， ， 解得，故接受调查的市民共有人． 故答案为：. 14. 不等式对于恒成立，则m的取值范围______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意不等式对于恒成立，故只需结合基本不等式求得的最小值即可. 【详解】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，， 等号成立当且仅当，所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合， （1）； （2）. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】(1)根据交集和并集的定义运算即可； (2)利用补集和交集的定义运算即可. 【小问1详解】 ， 则； 【小问2详解】 或，则. 16. 已知集合，集合. （1）若，求实数m的取值范围; （2）若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）讨论，两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； （2）由p是q成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围． 【小问1详解】 由，得 ①若，即时，，符合题意； ②若，即时，需或，解得． 综上，实数的取值范围为． 【小问2详解】 ∵p是q的充分不必要条件， ∴， ∴是的真子集． 则不同时取等号，解得． 实数的取值范围为． 17. 菏泽市某高中为了更好的开展高一社团活动，现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为. （1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸（单位：），能使整个矩形海报面积最小，并求最小值； （2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的倍，那么怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸（单位：），能使整个矩形海报面积最小，并求最小值. 【答案】（1）矩形栏目的高为，宽为时可使矩形海报的面积最小为 （2）矩形栏目的高为，宽为，可使矩形海报的面积最小为 【解析】 【分析】（1）设矩形栏目的高为，宽为，根据题意可知，矩形海报的面积，然后再根据基本不等式，即可求出矩形海报的面积最小； （2）由题意可知，，，可得，由（1）可得，再根据函数的单调性即可求出结果. 【小问1详解】 解：设矩形栏目的高为，宽为， 则，矩形海报的高为，宽为（其中，），矩形海报的面积， 当且仅当，即，时取等号， 所以矩形栏目的高为，宽为时可使矩形海报的面积最小为. 【小问2详解】 解：由题意得，，，解得， 由（1）可得， 令，易知函数在上单调递减， 所以当时，矩形海报面积最小为. 故当矩形栏目的高为，宽为，可使矩形海报的面积最小为. 18. 已知关于的不等式的解集构成集合A，其中. （1）若，求A； （2）若A中有4个整数，求a的取值范围； （3）若，解关于x的不等式. 【答案】（1）或 （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据含参一元二次不等式的解法分情况讨论求出集合A，再结合A中有4个整数求解即可； （3）由可得或，进而分情况讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，不等式为， 即，所以， 所以或. 【小问2详解】 当时，该不等式可化为，即，不满足题意； 当时，该不等式可化为， 所以，则或， 因为，所以，，， 若A中有4个整数，则这4个整数分别为1，2，，， 则； 同理可得时，或， 因为，所以，，， 若A中有4个整数，则这4个整数分别为1，2，，， 则，即. 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 因为，，所以，解得或. 不等式，可化为， 该不等式等价于， 当时，，该不等式等价于， 因为，则， 所以原不等式的解集为； 当时，，，解不等式得或， 所以原不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 已知集合，且，，其中，且．若，且对集合中的任意两个元素都有，则称集合有性质． （1）判断集合是否具有性质； （2）若集合具有性质． ①求证：的最大值大于等于； ②求的元素个数的最大值． 【答案】（1）该集合不具有性质 （2）10 【解析】 【分析】（1）由即可求解. （2）①设中元素，由，即可解决；②要使的元素个数的最大，由中的元素满足，根据①中结论得，然后逐个讨论的值即可解决. 【小问1详解】 由题知，集合， ， 该集合不具有性质 【小问2详解】 ①证明：，不妨设 ，则， 故， 故的最大值大于等于. ②对任意正整数，，与①类似可得， 又显然，， 所以， 故， 所以， 又，且k为正整数，当或5时，， 所以的最小值为11， 所以，即． 又集合符合性质P， 且A中含10个元素，所以n的最大值为10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2025级高一上学期第一学月考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2．考生必须保持答题卡的整洁. 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合中的元素个数为（ ） A B. C. D. 2. 已知集合，下列不是集合A的真子集的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 5. “是矩形”是“是正方形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列各组中表示不同集合的是（ ） A. ， B ， C. ， D. ， 10. 若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 11. 已知不等式解集中的整数恰有个，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则___________． 13. 《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有63人、观看了《浪浪山小妖怪》的有89人，观看了《长安的荔枝》的有47人，三部电影都观看了的有24人，观看了其中两部电影的有46人，这三部电影都未观看的有15人．则接受调查的市民共有________人 14. 不等式对于恒成立，则m的取值范围______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合， （1）； （2）. 16. 已知集合，集合. （1）若，求实数m的取值范围; （2）若，，p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围 17. 菏泽市某高中为了更好的开展高一社团活动，现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为. （1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸（单位：），能使整个矩形海报面积最小，并求最小值； （2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的倍，那么怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸（单位：），能使整个矩形海报面积最小，并求最小值. 18. 已知关于的不等式的解集构成集合A，其中. （1）若，求A； （2）若A中有4个整数，求a的取值范围； （3）若，解关于x的不等式. 19. 已知集合，且，，其中，且．若，且对集合中任意两个元素都有，则称集合有性质． （1）判断集合否具有性质； （2）若集合具有性质． ①求证：的最大值大于等于； ②求的元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $