25.2.1 第2课时 配方法 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“配方法解一元二次方程”，通过“知识链接”回顾完全平方式填空与直接开方法，搭建旧知到新知的学习支架，明确移项、配方、开平方的基本步骤及算理。 以分层探究（a=1且b为偶/奇数、a≠1）引导学生逐步掌握配方技巧，结合综合题、证明题等多样化习题，提升运算能力与推理意识，培养用数学语言表达和解决问题的应用意识，助力学生深化对“转化”“降次”思想的理解。

第二十五章　一元二次方程　25.2 解一元二次方程（第2课时）——配方法 【学习目标】 ① 知道配方法的概念，掌握用配方法解数字系数一元二次方程的基本步骤（移项、配方、开平方）； ② 能根据方程特点将方程化为 （x＋p＝q 的形式再开平方求解，体会“转化”与“降次”的思想； ③ 理解配方时“加上一次项系数一半的平方”的算理，提高运算的准确性。 【学习重难点】 重点：用配方法解一元二次方程（移项、配方、开平方）。 难点：确定配方时加上的常数项（一次项系数一半的平方）；当二次项系数不为1时先化为1。 【知识链接】（旧知回顾，直接填空） 1. 完全平方式填空（加上“一次项系数一半的平方”）： （1）＋10x＋________＝(x＋________)²； （2）－12x＋________＝(x－________)²； （3）＋5x＋________＝(x＋________)²； （4）－x＋________＝(x－________)²。 2. 用直接开方法解方程 （x－1＝4，则 x－1＝±2，解得 x₁＝________，x₂＝________。 【自主探究】 ◆ 探究1　配方的基础——完全平方公式 （1）＋2px＋＝(x＋________)²；－2px＋＝(x－________)²。 （2）上述公式中，所加常数项就是“一次项系数的____的平方”。请完成知识链接第1题(1)～(4)的填空，并在本行写下依据：________________。 ◆ 探究2　形如 ＋bx＋c＝0（a＝1，b 为偶数）——知识点1 例1　用配方法解一元二次方程： （1）＋10x＋9＝0，解：移项得 ＋10x＝________；配方：两边加()²＝________，得 ＋10x＋25＝________，即(x＋5)²＝________；开平方得 x＋5＝±________，∴x₁＝________，x₂＝________。 （2）－8x＋1＝0，解：移项得 －8x＝________；配方：两边加(________)²＝________，得(x－4)²＝________；开平方得 x－4＝±________，∴x₁＝________，x₂＝________。 变式1　用配方法解一元二次方程： （1）－4x＋3＝0，配方得(x－________)²＝________，开平方得 x－2＝±________，∴x₁＝________，x₂＝________； （2）＋6x＋4＝0，配方得(x＋________)²＝________，∴x₁＝________，x₂＝________。 ◆ 探究3　形如 ＋bx＋c＝0（a＝1，b 为奇数）——知识点2 例2　解方程 －x－＝0，解：移项得 －x＝________；配方：两边加(________)²＝________，得(x－)²＝________；开平方得 x－＝±________，∴x₁＝________，x₂＝________。 变式2　解方程 －3x＋2＝0，配方：两边加(________)²＝________，得(x－)²＝________；开平方得 x－＝±________，∴x₁＝________，x₂＝________。 ◆ 探究4　形如 a＋bx＋c＝0（a≠1）——知识点3 例3　解方程 2＋1＝3x，解：化为一般式 2－3x＋1＝0；两边同除以2，得 －________x＋________＝0；配方：两边加(________)²＝________，得(x－)²＝________；开平方得 x－＝±________，∴x₁＝________，x₂＝________。 变式3　解方程 3＋8x－3＝0，解：两边同除以3，得 ＋________x＝________；配方：两边加(________)²＝________，得(x＋)²＝________；开平方得 x＋＝±________，∴x₁＝________，x₂＝________。 【合作交流】（请完整写出解题过程，完成后对照文末参考答案） 例1　解方程 ＋6x＋4＝0： 解：________________ ________________ 例2　解方程 2＋1＝3x： 解：________________ ________________ 【当堂检测】 1.（填空题）将一元二次方程 －2x－＝0 化成 （x－a＝b 的形式，则 ab＝________。 2. 用配方法解下列方程： （1）x（x＋4）＝8x＋12；　（2）（y＋3）（y－1）－12＝0。 解：（1）________　（2）________ 3.（综合题）已知一个三角形的两边长分别是3和4，第三边长是一元二次方程 －8x＋15＝0 的一个根，请用配方法解此方程，并判断此三角形的形状。 　 　 4.（证明题）求证：无论 x 取任何实数，代数式 ＋10x＋30 的值总大于0。（提示：配方成 （x＋a＋k 的形式） 　 　 【学习小结】（补全填空） 1. 解一元二次方程的基本思路：通过________（填“降次”或“升次”），将一元二次方程转化为________方程来解。 2. 配方法的一般步骤： （1）________：把常数项移到方程的右边； （2）________：方程两边同时加上“一次项系数的____的一半的平方”； （3）用________解方程（把左边写成完全平方式，右边开平方）。 3. 当二次项系数不为1时，要先________，把方程化为 a＝1 的情形再配方。 【拓展延伸】 用配方法求代数式 －4x＋7 的最小值，并说明当 x 取何值时取得。试试看！ 　 　 【参考答案与解析】 【知识链接】 1.（1）25，5；（2）36，6；（3），；（4），。　2. 3，－1。 【自主探究】 探究1：（1）p，p；（2）一次项系数一半。 探究2·例1：（1）移项得 x²＋10x＝－9；加()²＝25，得(x＋5)²＝16；x＋5＝±4，x₁＝－1，x₂＝－9； （2）移项得 x²－8x＝－1；加()²＝16，得(x－4)²＝15；x－4＝±，x₁＝4＋，x₂＝4－。 变式1：（1）(x－2)²＝1，x－2＝±1，x₁＝3，x₂＝1；（2）(x＋3)²＝5，x＋3＝±，x₁＝－3＋，x₂＝－3－。 探究3·例2：－x＝；加()²＝，得(x－)²＝2；x－＝±，x₁＝＋，x₂＝－。 变式2：加()²＝，得(x－)²＝；x－＝±，x₁＝2，x₂＝1。 探究4·例3：化为2－3x＋1＝0；除以2得 －x＋＝0；加()²＝，得(x－)²＝；x－＝±，x₁＝1，x₂＝。 变式3：除以3得 ＋x＝1；加()²＝，得(x＋)²＝；x＋＝±，x₁＝，x₂＝－3。 【合作交流】 例1　＋6x＋4＝0，移项得 x²＋6x＝－4；加()²＝9，得(x＋3)²＝5；x＋3＝±，∴x₁＝－3＋，x₂＝－3－。 例2　2＋1＝3x，化为 2－3x＋1＝0；除以2得 －x＋＝0；加得(x－)²＝；x－＝±，∴x₁＝1，x₂＝。 【当堂检测】 1. ab＝（配方：x²－2x＝，x²－2x＋1＝，(x－1)²＝，故 a＝1，b＝）。 2.（1）x（x＋4）＝8x＋12，展开得 x²＋4x＝8x＋12，移项 x²－4x＝12；加4得(x－2)²＝16，x－2＝±4，x₁＝6，x₂＝－2； （2）（y＋3）（y－1）－12＝0，展开得 y²＋2y－3－12＝0，即 y²＋2y＝15；加1得(y＋1)²＝16，y＋1＝±4，y₁＝3，y₂＝－5。 3. 解：－8x＋15＝0，移项得 x²－8x＝－15；加16得(x－4)²＝1，x－4＝±1，∴x₁＝5，x₂＝3。 　当 x₁＝5 时，三边长为3、4、5，满足 3²＋4²＝5²，是直角三角形；当 x₂＝3 时，三边长为3、4、3，是等腰三角形。综上，三角形的形状是直角三角形或等腰三角形。 4. 证明：＋10x＋30＝x²＋10x＋25＋5＝(x＋5)²＋5。∵(x＋5)²≥0，∴(x＋5)²＋5≥5＞0。故无论 x 取何实数，该代数式的值总大于0。 【学习小结】 1. 降次，一元一次； 2.（1）移项；（2）配方，一次项系数；（3）直接开平方法； 3. 方程两边同除以二次项系数，化为 a＝1。 【拓展延伸】 －4x＋7＝x²－4x＋4＋3＝(x－2)²＋3。∵(x－2)²≥0，∴(x－2)²＋3≥3，当 x＝2 时取等号。∴该代数式的最小值为 3，当 x＝2 时取得。 学科网（北京）股份有限公司 $