25.2.2 降次解一元二次方程 导学案 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程解法，涵盖公式法和因式分解法。先通过知识详解梳理公式法的前提、步骤及根的判别式，再过渡到因式分解法的原理与形式，结合解法选择技巧构建递进式学习支架。 资料以典例分析和变式训练为特色，通过多样习题培养学生运算能力与推理意识，方法选择技巧引导学生用数学思维优化解题策略，助力形成有条理的思维品质，提升应用意识与问题解决能力。

§ 第二十五章 一元二次方程 课时3 降次解一元二次方程2 【知识详解三】一元二次方程的解法3--公式法 的实数根可写为 综上可知，当 b2－4ac≥0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的形式，这个式子 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式． 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 用公式法解一元二次方程的前提： 1.必须化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)． 2. b2−4ac≥0． 用公式法解一元二次方程的步骤： 1.整理方程：将方程整理为 ax2+bx+c=0(a≠0) 的形式，找到公式中的 a，b，c，要注意 a，b，c 的符号． 2.计算根的判别式：将 a，b，c 的值代入 Δ=b2-4ac 计算，并判断 Δ 的符号． 3.求根：当Δ=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，即 当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，即 当Δ=b2-4ac<0时，方程无实数根. 【典例分析】 【例5】下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（  D  ） A． B． C． D． 【例6】．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（  D   ） A． B． C．且 D．且 【例7】解方程 【变式训练】 1．关于x的一元二次方程根的情况是（  A   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 2．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（  A  ） A．且 B． C．且 D． 3．当时，关于x的方程的根的情况是（   C  ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 4．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是____a≥-1,且a≠0___． 5.下列一元二次方程的根是的是（  D ） A． B． C． D． 6. 用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3) (3) 7．已知的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)当k为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 【知识详解四】一元二次方程的解法4--因式分解 把方程变形为一般形式，把左边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元 一次方程所得到的根， 就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 x x1 x x2 0 x x1或x x2 ※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”， ※方程形式：如ax m2 bx n2 ，x ax b x ax c ※分解方法:提公因式，利用平方差与完全平方公式，十字相乘法. 【典例分析】【例1】 解方程：x(x－2)＋x－2＝0. 【变式训练】 1. 用十字相乘法解一元二次方程，变形正确的是（   C  ） A． B． C． D． 2.．一元二次方程的根是（  A ） A．， B．， C．， D．， 4. 解方程：（1）． (2)． (3) (2x-3)2=(3x-2)2; (3) 【总结】 例 用适当的方法解方程： (1) 3x(x + 5)= 5(x + 5) (2) (5x + 1)2=1； (3)x2 - 12x = 4； (4)3x2 = 4x + 1. 解一元二次方程的方法的选择技巧： 若一元二次方程可化为 (mx+n)2=p(m≠0，p≥0) 的形式，则宜选用直接开平方法； 若一元二次方程的二次项系数为 1，一次项系数为偶数，则宜选用配方法； 若一元二次方程整理后右边为 0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法； 若直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便，则宜选用公式法. 例：① x2-3x+1=0； ② 3x2-1=0； ③ -3t2+t=0； ④ x2-4x=2； ⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8； ⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0； ⑨ (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ② ⑥ ； 适合运用因式分解法 ③ ⑤ ⑨ ； 适合运用公式法 ① ⑦ ； 适合运用配方法 ④ ⑧ . 【课后练习】用合适的方法解下列方程： (1)； (2)． （3） (4) (5) (6)； (7) (8) (9)； (10)． （11）． (12)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． (3)解：， 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． （4）解：原方程为， 移项得， 提取公因式得， 化简得， 可得或， 解得，； （5）解：原方程为， 移项得， 因式分解得， 解得． （6）解： （7）解： 或， （8）解：， ， ， ， ， ； （9）解： ； （10）解： ； (11)解：， ， ， 或， ，． （12）解： ∴或 解得，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ § 第二十五章 一元二次方程 课时3 降次解一元二次方程2 【知识详解三】一元二次方程的解法3--公式法 的实数根可写为 综上可知，当 b2－4ac≥0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的形式，这个式子 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式． 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 用公式法解一元二次方程的前提： 1.必须化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)． 2. b2−4ac≥0． 用公式法解一元二次方程的步骤： 1.整理方程：将方程整理为 ax2+bx+c=0(a≠0) 的形式，找到公式中的 a，b，c，要注意 a，b，c 的符号． 2.计算根的判别式：将 a，b，c 的值代入 Δ=b2-4ac 计算，并判断 Δ 的符号． 3.求根：当Δ=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，即 当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，即 当Δ=b2-4ac<0时，方程无实数根. 【典例分析】 【例5】下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【例6】．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【例7】解方程 【变式训练】 1．下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 4．当时，关于x的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 5．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是_______． 6.下列一元二次方程的根是的是（   ） A． B． C． D． 7. 用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3) 8．已知的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)当k为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 【知识详解四】一元二次方程的解法4--因式分解 把方程变形为一般形式，把左边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元 一次方程所得到的根， 就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 x x1 x x2 0 x x1或x x2 ※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”， ※方程形式：如ax m2 bx n2 ，x ax b x ax c ※分解方法:提公因式，利用平方差与完全平方公式，十字相乘法. 【典例分析】【例1】 解方程：x(x－2)＋x－2＝0. 【变式训练】 1. 用十字相乘法解一元二次方程，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2.．一元二次方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 4. 解方程：（1）． (2)． (3) (2x-3)2=(3x-2)2; 例 用适当的方法解方程： (1) 3x(x + 5)= 5(x + 5) (2) (5x + 1)2=1； (3)x2 - 12x = 4； (4)3x2 = 4x + 1. 解一元二次方程的方法的选择技巧： 若一元二次方程可化为 (mx+n)2=p(m≠0，p≥0) 的形式，则宜选用直接开平方法； 若一元二次方程的二次项系数为 1，一次项系数为偶数，则宜选用配方法； 若一元二次方程整理后右边为 0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法； 若直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便，则宜选用公式法. 例：① x2-3x+1=0； ② 3x2-1=0； ③ -3t2+t=0； ④ x2-4x=2； ⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8； ⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0； ⑨ (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . 用合适的方法解下列方程： (1)； (2)． （3） (4) (5) (6)； (7) (8) (9)； (10)． （11）． (12)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $