25.2.1 第2课时 配方法（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“配方法解一元二次方程”，课堂导入通过复习直接开平方法和完全平方公式，搭建从已知到新知的学习支架，帮助学生衔接前后知识，为配方法学习奠定基础。 资料通过合作探究中的规律发现培养抽象能力，典例精析与步骤归纳强化推理意识，分层练习和书写通关设计提升运算能力，注重数学思维与应用意识的培养，助力学生掌握配方法并形成严谨的解题习惯。

第25章 一元二次方程 25.2 降次—解一元二次方程 25.2.1 第 2 课时 配方法 【学习目标】 1.了解配方法的概念. 2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤. 3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是 1 的一元二次方程. 4.通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神，会用数学的眼光观察世界. 学习重点：掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. 学习难点：探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系. 【复习导入】 1.用直接开平方法解下列方程. (1)9x2=1 (2)(x－2)2=2. 2. 你还记得完全平方公式吗？填一填： (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2－2ab+b2=( )2. 【合作探究】 探究点：用配方法解方程 填一填 填上适当的数或式，使下列各等式成立. (1)x2+4x+ = ( x + )2； (2)x2－6x+ = ( x－ )2； (3)x2+8x+ = ( x+ )2； (4)x2－x+ = ( x－ )2. 你发现了什么规律？ 想一想 怎样解方程 x2 + 6x + 4 = 0 ？ 问题：能不能将方程 x2 + 6x + 4 = 0 变成 (x + n)2 = p 的形式呢？ 知识要点： 定义：像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 归纳总结：配方的关键是把握二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方. 填一填： x2+px+( )2=(x+ )2 典例精析 例1 解下列方程： (1) x2－8x+1=0； (2) 2x2+1=3x； (3) 3x2－6x+4=0. 归纳总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p（Ⅱ）. ①当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根，； ②当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1=x2=－n； ③当p<0时，因为对任意实数x，都有 (x + n)2≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根. 练一练 1. 解方程： x2 - 2x - 5 = 0. 2. 解下列方程： (1) x2 + 4x - 9 = 2x - 11； (2) x(x + 4) = 8x + 12； (3) 4x2 - 6x - 3 = 0； (4) 3x2 + 6x - 9 = 0. 3. 已知代数式 x2 + 1 的值与代数式 2x + 4 的值相等，求 x 的值. 归纳总结 用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①移常数项且二次项系数化为 1； ②配成完全平方公式[配上]； ③写成(x+n)2=p； ④直接开平方法解方程. 当堂反馈 1.填空： (1)x2＋2x＋　　＝(x＋　　)2； (2)x2－6x＋　　＝(x－　　)2； (3)x2－10x＋10＝(x－　　)2－　　； (4)2x2＋4x＋1＝2(　　)＋1＝2(　　)2－　　. 2.一元二次方程x2－18x＋80＝0可化为(x－n)2＝1，则n的值是(　　) A.－9 B.－3 C.3 D.9 3.[典型运用]对任意实数x，多项式－x2＋4x－10的值是一个(　　) A.正数 B.负数 C.非负数 D.无法确定 4.用配方法解方程： (1)x2－12x＋27＝0； 书写通关 解：移项，得　 　. 配方，得　 　. 即(　　 　　)2＝　　. 开平方，得　 　或　 　. 解得x1＝　　，x2＝　　. (2)x2＋x－＝0； (3)2x2－4x－3＝0； (4)2x(x＋2)＝8x－5. 参考答案 【复习导入】1.解：(1) (2) 2.a+b a-b 【合作探究】 探究点：用配方法解方程 填一填1 (1)22 2 (2)32 3 (3)42 4 (4) 规律：对于二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方时，可以进行配方. 典例精析 例1 解：(1)移项，得x2－8x=－1，配方，得x2－8x+42=－1+42，即(x-4)2=15.直接开平方，得，∴. (2)移项，得2x2－3x=－1，二次项系数化为1，得，配方，得，即.直接开平方，得，∴. (3)移项，得3x2－6x=－4，二次项系数化为1，得，配方，得，即.因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根． 练一练 1.解：x2 - 2x -5 = 0，移项，得 x2 - 2x = 5. 配方，得 (x - 1)2 = 6. 由此可得， ∴ 2. 解：(1)移项，得 x2 + 2x + 2 = 0，配方，得 (x + 1)2 = -1. ∴ 此方程无解. (2) 整理移项，得 x2 - 4x - 12 = 0，配方，得 (x - 2)2 = 16. 由此可得 x - 2 = ±4，∴x1 = 6， x2 = -2. (3)移项，得 4x2 - 6x = 3，二次项系数化为1，得，配方，得，. 由此可得，∴. (4)移项，得 3x2 + 6x = 9，二次项系数化为1，得x2 + 2x = 3，配方，得 (x + 1)2 = 4. 由此可得 x + 1 = ±2，∴x1 = -3， x2 = 1. 3.解：根据题意，得 x2 + 1 = 2x + 4. 整理，得 x2 − 2x = 3. 配方，得 (x − 1)2 = 4. 解得 x1 = −1，x2 = 3. 当堂反馈 1.填空： (1)　1　　1　；(2)　9　＝　3　；(3)　5　15　；(4)　x2＋2x　　x＋1　　1　. 2.　D 3.　B　 4. (1) 书写通关 解：移项，得　x2－12x＝－27　. 配方，得　x2－12x＋36＝9　. 即(　　x－6　　)2＝　9　. 开平方，得　x－6＝3　或　x－6＝－3　. 解得x1＝　9　，x2＝　3　. (2)解：x1＝，x2＝－1. (3)解：x1＝1＋，x2＝1－. (4)解：无实数根. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $