25.2.1 第2课时 配方法（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

 第25章  一元二次方程

25.2 降次—解一元二次方程

25.2.1  第 2 课时   配方法

【学习目标】

1.了解配方法的概念.

2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.

3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是 1 的一元二次方程.

4.通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神，会用数学的眼光观察世界.

学习重点：掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.

学习难点：探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.

【复习导入】

1.用直接开平方法解下列方程.

(1)9x2=1                (2)(x－2)2=2.

 

 

2.   你还记得完全平方公式吗？填一填：

(1) a2+2ab+b2=(      )2；

(2) a2－2ab+b2=(      )2.

 

                      

【合作探究】

探究点：用配方法解方程

填一填 

填上适当的数或式，使下列各等式成立.

(1)x2+4x+     = ( x +     )2；

(2)x2－6x+     = ( x－     )2；

(3)x2+8x+     = ( x+     )2；

(4)x2－x+     = ( x－     )2.

你发现了什么规律？

 

 

 

想一想   怎样解方程 x2 + 6x + 4 = 0 ？

问题：能不能将方程 x2 + 6x + 4 = 0 变成 (x + n)2 = p 的形式呢？

 

 

 

 

 

知识要点：

定义：像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.

归纳总结：配方的关键是把握二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方.

 

 

填一填： x2+px+(    )2=(x+   )2

 

 

 

典例精析

例1  解下列方程：

(1) x2－8x+1=0；         (2) 2x2+1=3x；         (3) 3x2－6x+4=0.

 

 

 

 

 

 

归纳总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p（Ⅱ）.

①当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根，；

②当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1=x2=－n；

③当p<0时，因为对任意实数x，都有 (x + n)2≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根.

 

 

练一练

1. 解方程： x2 - 2x - 5 = 0.

 

 

 

 

2. 解下列方程：

(1) x2 + 4x - 9 = 2x - 11；   (2) x(x + 4) = 8x + 12；

(3) 4x2 - 6x - 3 = 0；              (4) 3x2 + 6x - 9 = 0.

 

 

 

 

 

3. 已知代数式 x2 + 1 的值与代数式 2x + 4 的值相等，求 x 的值.