2.1认识一元二次方程（1）教学设计 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“认识一元二次方程”第1课时，核心为概念、一般形式及实际问题转化。通过地毯铺设、连续整数平方和、梯子滑动三个情境导入，引导学生从具体问题抽象方程，再观察共同特征归纳定义，搭建“实际问题—方程建立—概念形成”的学习支架。 特色在于以核心素养为导向，通过数学抽象从生活问题提炼方程，逻辑推理归纳定义，直观想象借助图形理解边长关系。如梯子滑动问题用勾股定理建模，培养数学眼光与思维。助力学生掌握建模方法，提升符号意识，为教师提供结构化教学流程与典型例题，提高课堂效率。

2.1 认识一元二次方程（第1课时） 核心素养目标 1. 数学抽象：从地毯铺设、连续整数平方和、梯子滑动等实际问题中抽象出一元二次方程的概念，经历从具体到抽象的数学化过程。 1. 逻辑推理：通过观察三个不同情境导出的方程的共同特征，归纳、概括出一元二次方程的定义及其一般形式。 1. 数学建模：掌握将实际生活中的面积问题、数字问题、几何问题转化为一元二次方程模型的基本方法。 1. 直观想象：借助图形直观理解地毯问题中的边长关系和梯子滑动问题中的直角三角形边长变化，培养数形结合思想。 教学重难点 重点：一元二次方程的概念及其一般形式。 难点：将实际问题准确转化为一元二次方程模型；将方程化为一般形式后准确识别各项系数（特别是符号问题）。 教学过程设计 环节一：情境导入——地毯铺设问题 教师引导：同学们，幼儿园准备在某教室矩形地面的正中间铺设一块地毯。已知教室地面的长为8m，宽为5m，要求铺设的地毯面积为18m²，且四周未铺地毯的条形区域的宽度都相等。大家能求出这个宽度吗？ 学生活动：观察图形，思考如何表示地毯的长和宽。 推导过程： 1. 设所求的四周宽度为 x m。 2. 因为四周都有宽度为 x 的条形区域，所以地毯的长为 (8 - 2x) m，宽为 (5 - 2x) m。 3. 根据“长 × 宽 = 面积”，列出方程：(8 - 2x)(5 - 2x) = 18。 4. 教师带领学生化简：展开左边得 40 - 16x - 10x + 4x² = 18，移项并合并同类项整理得 4x² - 26x + 22 = 0，两边同除以2，最终得到 2x² - 13x + 11 = 0。 环节二：观察·思考——连续整数平方和问题 教师引导：请大家观察等式 10² + 11² + 12² = 13² + 14²。你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果将这五个连续整数中的第一个数设为 x，怎样表示其余四个数？ 学生活动：尝试用代数式表示连续整数，并列出等式。 推导过程： 1. 设第一个数为 x，则其余四个连续整数依次为 x+1, x+2, x+3, x+4。 2. 根据“前三个数的平方和等于后两个数的平方和”，列出方程：x² + (x+1)² + (x+2)² = (x+3)² + (x+4)²。 3. 教师引导学生展开并化简： 左边 = x² + (x² + 2x + 1) + (x² + 4x + 4) = 3x² + 6x + 5 右边 = (x² + 6x + 9) + (x² + 8x + 16) = 2x² + 14x + 25 移项整理得：3x² + 6x + 5 - 2x² - 14x - 25 = 0，即 x² - 8x - 20 = 0。 环节三：尝试·思考——梯子滑动问题 教师引导：如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，那么梯子底端滑动多少米？ 学生活动：利用勾股定理计算滑动前的距离，再分析滑动后直角三角形边长关系。 推导过程： 1. 滑动前，根据勾股定理，梯子底端到墙的距离为 √(10² - 8²) = √36 = 6 m。 2. 设梯子底端滑动 x m，则滑动后底端距墙为 (6 + x) m；顶端下滑1m后，距地面为 8 - 1 = 7 m。 3. 根据勾股定理，列出方程：(x + 6)² + 7² = 10²。 4. 展开并化简：x² + 12x + 36 + 49 = 100，移项整理得 x² + 12x - 15 = 0。 环节四：观察·交流——归纳定义 教师引导：我们将刚才三个问题得到的方程放在一起：2x² - 13x + 11 = 0，x² - 8x - 20 = 0，x² + 12x - 15 = 0。它们有什么共同特点？ 学生活动：小组讨论，归纳方程的特征。 知识生成： 1. 定义：上面的方程都是只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化成 ax² + bx + c = 0（a, b, c为常数，a ≠ 0）的形式，这样的方程叫作一元二次方程。 2. 一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。 3. 各部分名称：ax² 称为二次项，bx 称为一次项，c 称为常数项；a 称为二次项系数，b 称为一次项系数。 强调：必须注意 a ≠ 0 这一前提条件，否则就不是二次方程。 环节五：随堂练习 练习1：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长。 - 解题过程：设中间边长为 x，则三边分别为 x-1, x, x+1。根据勾股定理，斜边最长，故斜边为 x+1。列方程：(x-1)² + x² = (x+1)²。展开得 x² - 2x + 1 + x² = x² + 2x + 1，移项合并同类项，化简得 x² - 4x = 0，解得x=4,所以直角三角形三边长分别为3,4,5. 练习2：把方程 (3x+2)² = 4(x-3)² 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 解题过程：左边展开得 9x² + 12x + 4，右边展开得 4(x² - 6x + 9) = 4x² - 24x + 36。移项整理得 9x² - 4x² + 12x + 24x + 4 - 36 = 0，即 5x² + 36x - 32 = 0。 - 答案：二次项系数为 5，一次项系数为 36，常数项为 -32。 环节六：拓展练习（知识点拓展） 拓展题1：判断与参数讨论 - 题目：关于 x 的方程 (m-2)x² + 3x + 1 = 0 是一元二次方程，求 m 的取值范围。 - 解题过程：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0。因此 m - 2 ≠ 0，解得 m ≠ 2。 - 答案：m 的取值范围是 m ≠ 2。 拓展题2：化简与识别系数（含分数） - 题目：将方程 1/2 x² - 3x = 2/3 x + 1 化为一元二次方程的一般形式，并指出各项系数。 - 解题过程：为了消除分母，方程两边同乘6，得 3x² - 18x = 4x + 6。移项整理得 3x² - 22x - 6 = 0。 - 答案：一般形式为 3x² - 22x - 6 = 0；二次项系数为 3，一次项系数为 -22，常数项为 -6。 环节七：课堂小结 1. 一元二次方程的三个条件：① 只含一个未知数；② 未知数的最高次数是2；③ 是整式方程。 1. 一般形式及各部分名称：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），明确二次项、一次项、常数项及对应系数，强调系数包含前面的符号。 1. 列方程的关键步骤：审清题意 → 设未知数 → 找等量关系 → 列方程 → 化为一般形式。 作业设计 · 基础题：课本习题2.1第1、2题。 · 提高题：已知方程 (k+1)x² - 3x + k² - 1 = 0 是一元二次方程，且常数项为0，求 k 的值。（答案：k = 1） 板书设计 左侧：概念与定义 右侧：例题与练习 2.1 认识一元二次方程1. 定义只含一个未知数、最高次为2的整式方程。2. 一般形式ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)3. 各项名称ax²：二次项，a：二次项系数bx：一次项，b：一次项系数c：常数项 例题化简过程1. (8-2x)(5-2x)=18 → 2x²-13x+11=02. x²+(x+1)²+(x+2)²=… → x²-8x-20=03. (x+6)²+7²=10² → x²+12x-15=0随堂练习25x²+36x-32=0 a=5, b=36, c=-32 教学反思 成功之处：通过三个贴近生活的实际问题引入，有效激发了学生的学习兴趣；在化简方程的过程中，让学生亲自动手计算，加深了对一般形式及各项系数的理解。 不足之处：部分学生在去括号、移项变号时容易出现符号错误，导致一般形式写错；在识别系数时，容易漏掉负号。 改进措施：在后续课程中增加“找错”环节，展示典型的符号错误案例让学生辨析；在作业布置中强化化简与识别系数的专项训练，要求学生写出完整的化简步骤。 学科网（北京）股份有限公司 $