2.1 认识一元二次方程 第2课时 一元二次方程的解及其估算 教案 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程的解及估算，通过乡村振兴种植园规划、教室地毯铺设等生活情境导入，回顾方程解的定义衔接旧知，搭建从实际问题抽象数学模型的学习支架。 资料特色在于以情境化问题培养数学眼光（抽象能力），通过验证解、求参数、逆向找根训练数学思维（推理意识），估算环节用表格逐步逼近培养运算能力。例题变式覆盖基础与综合题型，助力学生构建知识体系，提升解决问题能力，为教师提供分层教学参考。

同步练习 2.1 认识一元二次方程 第2课时 一元二次方程的解及其估算 夯实基础 1．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（　　） A． B． C． D． 2．若是方程的一个根，则的值为（　　） A．3 B． C．2 D． 3.关于的一元二次方程的常数项被墨迹覆盖，已知是该方程的一个解，则被墨迹覆盖的常数为（　　） A． B． C．0 D．1 4．根据下列表格的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 由此可判断方程必有一个根满足（　　） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程有一个根为，则关于的一元二次方程必有一个根为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A． B．2 C．2或 D．或2 能力提升 7．已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（　　） A． B． C． D． 8．已知是方程的一个解，则一次函数的图象不经过第 　　象限． 9．关于的方程的根是，，，，均为常数，，则关于的方程的根是　　 ． 10．已知为方程的一个根，求代数式的值． 思维拓展 11．已知是关于的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 12．定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 答案详解 1．解：由题知， 当时， ， 所以选项不符合题意； ， 所以选项不符合题意； ， 所以选项不符合题意； ， 所以选项符合题意， 故选：． 2.解：将代入原方程得：， 解得：， 的值为． 故选：． 3．解：关于的一元二次方程的常数项被墨迹覆盖， 设常数项为，将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 4．解：时，， 时，， 时，， 即方程必有一个解满足， 故选：． 5．解：对于一元二次方程即， 设， 所以， 而关于的一元二次方程有一根为， 所以有一个根为， 则， 解得， 所以一元二次方程必有一根为． 故选：． 6．解：由条件可得：，解得， 已知方程是一元二次方程， ，即， ． 故选：． 7．解：已知关于的方程， 则或， 那么或， 关于的方程与有相同的解， 的解为或， ，， 则， 那么或， 则或， 当时，，满足， 综上，， 故选：． 8．解：把代入，得 解得． 由于，， 所以一次函数的图象应该第一、三、四象限，即不经过第二象限． 故答案为：二． 9．解：关于的方程的解是，， 方程的解为或， 即，． 即方程的解是，． 故答案为：，． 10．解：为方程的一个根， ． ． 原式． 11．解：由条件可知． ，， 时，方程左边等于1，不等于右边， ， 把的两边都除以得，． ． 12．解：（1）该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程中，，，， ， 一元二次方程是“联合方程”； （2）由条件可知， 是此“联合方程”的一个根， ， 即， 解得， 的值为，的值为6． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　一元二次方程的解及其估算 【课堂引入】 如图，为助力乡村振兴，某村规划建设“小微特色果蔬种植园”，计划将一块长，宽的矩形荒地改造为种植区，同时在四周保留等宽的田间步道．若改造后种植区的面积为，设步道的宽度为，根据题意列出方程． 老师提问：同学们，还记得我们上一节课根据这个问题列出来的方程吗？对于这个问题，你们能设法估算出x的值吗？ 【教学目标】 课题 第2课时　一元二次方程的解及其估算 授课人 素养目标 1.掌握一元二次方程根的概念． 2．掌握估算一元二次方程解的基本方法，能确定解的大致范围. 教学重点 1.会判断一元二次方程的根，并解决相关的问题． 2．用估算的方法确定一元二次方程解的范围. 教学难点 1.已知一元二次方程的根，利用整体思想求值． 2．估算一元二次方程的解，精确到指定小数位数. 授课类型 新授课 【课堂流程】 教学步骤 互动探究 设计意图 回顾 　　教师提问： 1．什么是一元二次方程？它的一般形式是什么？ 2．方程的“解”的含义是什么？学生回忆并回答．课件展示：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解． 3．什么是一元一次方程的解？如何判断一个数是不是一元一次方程的解？若x＝1是方程ax＋3＝0的解，则a＝－3. 回顾旧知，明确“方程的解”的定义以及一元二次方程的根的概念，为新课学习做铺垫. 活动1：创设情境、导入新课 【课堂引入】 (多媒体出示)学校活动教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中央铺设面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度为x m，列出方程(8－2x)(5－2x)＝18.追问：“x＝1是这个方程的解吗？x＝2呢？我们怎么找到满足方程的x值？” 以生活情境引入，自然衔接“方程的解”与“估算”，学生尝试代入验证，初步感知“解的验证”与“估算需求”．激发学生探究的欲望. 活动2：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．方程的解的验证与应用 (1)验证解：让学生代入x＝1和x＝2，计算(8－2x)(5－2x)的值，判断是否等于18，明确“解能使等式成立”． (2)考题迁移：展示题目“若x＝1是方程x2＋5a＋b＝0的解，求10a＋2b的值”，引导学生代入得1＋5a＋b＝0，变形为5a＋b＝－1，进而算出10a＋2b＝2(5a＋b)＝－2． (3)逆向探究：展示“若9a－3b＋c＝0，则ax2＋bx＋c＝0必有一根为－3”，引导学生对比发现x＝－3时等式成立，总结“参数等式→找对应根”的方法． 2．方程解的估算 (1)在上一课的问题中，梯子底端滑动的距离x满足方程x2＋12x－15＝0．你能猜出x的大致范围吗？x的整数部分是几？十分位是几？ (2)估算：引导学生填写表格： x 0 0.5 1 1.5 2 x2＋12x－15 －15 －8.75 －2 5.25 3 所以1<x<1.5. (3)进一步计算： x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2＋12x－15 －0.59 0.84 2.29 3.76 所以1.1<x<1.2.因此x的整数部分是1，十分位是1. 从“验证解→求参数→逆向找根”层层递进，让学生掌握方程解的核心性质；再通过估算，体会逼近思想，将两个知识点有机融合．培养学生总结归纳、举一反三的能力. 活动3：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　下列x的值满足方程x2－2x＋1＝0的是(B) A.x＝2 B．x＝1 C．x＝0 D．x＝－1 例2　已知一元二次方程的一个根是3，则的值为（　D　） A． B．0 C．2 D．3 例3　已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 例4　已知是方程的根，求代数式的值． 解：是方程的根， ， ． 【变式训练】 1．根据下列表格判断，一元二次方程ax2＋bx－2＝0(a≠0，a，b为常数)的一个解x的取值范围是(B) x 2 3 4 5 6 ax2＋bx－2 －4 －2 2 8 16 A.2<x<3 B．3<x<4 C．4<x<5 D．5<x<6 2.已知x＝m是方程2x2－x－6＝0的一个根，则代数式4m2－2m－2的值为(B) A.4 B．10 C．12 D．22 把课堂上抽象的概念、方法转化为具体操作，让学生在解题中真正吃透知识；训练运算速度与准确性，强化解题技巧(如已知解求参数的代入变形、逆向找根的匹配方法)，培养学生解决问题的能力. 活动4：课堂检测 【随堂检测】 1.下表是随着x的不同取值，代数式ax2＋bx＋c的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2＋bx＋c－8＝0的根是(C) x … －3 －2 －1 4 5 6 … ax2＋bx＋c … 8 0 －6 －6 0 8 … A.x1＝－1，x2＝4 B．x1＝－2，x2＝5 C.x1＝－3，x2＝6 D．x1＝－4，x2＝7 2.已知x＝a是方程x2－20x＝1的根，则代数式－a2＋20a＋22的值为(B) A.20 B．21 C．22 D．23 3.若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（　A　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 4.已知x＝－1是一元二次方程(k－3)x2＋(k2－4)x－k＋8＝0的一个根，则k的值是－3. 5.若是关于的方程的一个根，代数式的值为 ． 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 教师通过学生的答题情况，精准发现哪些知识点没掌握、哪些步骤容易出错(比如代入求值时符号错误、估算时范围判断偏差)，培养学生分析问题、逻辑推理和解决实际问题的能力，学生也能在做题中意识到自己的薄弱点，明确后续努力方向. 课堂小结 1.课堂小结： (1)一元二次方程的解的核心性质是什么？ (2)已知解求参数、已知参数等式求根的方法分别是什么 ？(3)估算一元二次方程解的基本步骤是什么？ (4)本节课还有什么疑惑？同学们说一说. 2.布置作业： 教材第34页随堂练习第1题，教材第35～36页习题2.1第3～7题. 梳理知识体系，将“解的性质”与“估算方法”整合，帮助学生形成完整认知，为后续精确解法的学习奠定基础. 教学反思 　　回顾整节课，教学仍存在一定不足。一方面，课堂侧重概念讲解与基础验证，对方程估算的方法引导较为浅显，没有充分带领学生总结估算的通用步骤与技巧，部分学生只能机械做题，无法灵活运用估算思想解决问题。另一方面，课堂练习题型较为单一，分层训练不足，基础题型巩固到位，但结合实际情境的估算综合题型较少，难以有效锻炼学生的综合解题能力。此外，对学生解题思路的梳理和方法总结引导不足，部分学生解题思路模糊，缺乏系统性的解题方法。 针对以上问题，后续教学我将针对性优化改进。一是强化题型分层训练，设计梯度化习题，夯实方程解的验证、参数求解等基础能力，同时增加估算与实际应用结合的综合题型，突破教学难点。二是注重方法归纳，主动引导学生梳理不同题型的解题思路，系统总结一元二次方程估算的步骤与技巧，帮助学生构建完整的解题体系。三是持续立足学情，强化针对性答疑纠错，帮助学生理清易错点，切实提升学生分析和解决实际问题的能力，进一步夯实一元二次方程的知识基础，为后续深度学习做好铺垫。 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $