25.2.1 配方法（第1课时）-教学设计 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦直接开平方法解一元二次方程，通过复习一元二次方程概念及平方根旧知，搭建新旧知识桥梁，引出“降次”转化核心思路，为后续配方法学习奠定基础。 亮点在于分层例题设计（从x²=p到(mx+n)²=p），结合p>0、p=0、p<0分类讨论根的情况，培养推理意识与抽象能力，分层练习和作业满足不同学生需求，助力学生规范运算步骤，提升代数推理素养，为教师提供清晰教学路径与实用资源。

教学设计 《25.2.1 配方法（第1课时）》教学设计 课型 新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本课时是一元二次方程解法的第一课时，承接上一节课一元二次方程的概念，同时为后续配方法、公式法、因式分解法奠定核心思想基础，是整章解法板块的起点．教材以平方根定义为切入点，从最简逐步拓展到型方程，首次提出解二次方程的核心思路——“降次”，搭建起二次方程向一元一次方程转化的桥梁．本节课总结p>0、p=0、p<0三种根的情况，完善学生对方程解的分类认知；直接开平方法本身也是配方法的最终解题步骤，学生只有熟练掌握开平方降次，才能理解配方后求解的逻辑．课堂贯穿转化化归数学思想，衔接八下平方根相关旧知，实现新旧知识联动，帮助学生建立“高次化低次”的通用解方程思维，是落实代数运算与逻辑推理核心素养的关键课时． 学习者分析 授课学生为刚完成八下学习的学生，已掌握平方根、算术平方根定义，能熟练对正数、0开平方，清楚负数无实数平方根，同时在上课时认识了一元二次方程的定义，具备学习本课的知识基础．但学生存在明显薄弱点：仅会单独对单项式开平方，难以理解把整体当作整体开平方的换元思维；分类讨论意识薄弱，容易忽略p<0时方程无实数根的情况；解方程时常漏写正负两根，步骤书写不规范，不能完整体现“降次转化”的过程．学生抽象整体代换思维不足，需要由浅入深、由简单到复杂的例题逐步引导，依托教材分层例题降低理解难度． 教学目标 1．依据平方根的意义，理解形如型方程的降次思路． 2．掌握直接开平方法解方程的步骤，能区分时根的不同情况． 3．体会“降次”转化思想，能规范书写直接开平方法解方程完整步骤． 教学重点 掌握直接开平方法解型方程的完整步骤，能根据p的取值判断方程实数根的三种情况． 教学难点 理解将(mx+n)看作整体进行开平方的整体代换思路，体会解方程“降次转化”的核心数学思想． 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：学习目标 教师活动1： 师出示学习目标： 1．依据平方根的意义，理解形如型方程的降次思路． 2．掌握直接开平方法解方程的步骤，能区分时根的不同情况． 3．体会“降次”转化思想，能规范书写直接开平方法解方程完整步骤． 学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标 活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性． 环节二：新知导入 教师活动2： 问题：1．什么是一元二次方程？ 答案：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 2．什么是一元二次方程的根？ 答案：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 指出：与解一元一次方程类似，解一元二次方程也是把它逐步转化为“”的形式. 与一元一次方程不同，一元二次方程是二次的，因此解一元二次方程需要“降次”，即把二次方程转化为一次方程. 本节我们研究如何通过“降次”解一元二次方程. 学生活动2： 学生积极回答问题 活动意图说明： 先复习一元二次方程相关旧知，搭建新旧知识桥梁，再对比一元一次方程点明 “降次” 核心思路，引出直接开平方法的学习，渗透转化思想，让学生明确本节课探究方向，激发探究解方程方法的求知欲. 环节三：新知讲解 教师活动3： 问题：解一元二次方程 解：根据平方根的意义，得 即 追问1：把4换成0呢？ 即： 预设：x1＝x2＝0 追问2：把4换成呢？ 即： 预设：无解 归纳：一般地，对于方程 (1)当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 (2)当时，方程有两个相等的实数根; (3)当时，因为对任意实数，都有，所以方程无实数根. 指出：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法． 直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，其依据是平方根的意义． 探究：对照上面解方程的过程，你认为应怎样解方程? 引导：在解方程时，由方程得.由此想到：由方程 ① 得 即 ② 于是，方程的两个根为 归纳：在上面的解法中，由方程①得到②，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了. 例：解下列方程: (1)； (2). 解:(1)移项，并将二次项系数化为1，得 由此可得 即 归纳：用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义求解． 解:(2)移项，得 由此可得 即 归纳：解形如(mx＋n)2＝p(p≥0，m≠0)的关于x的一元二次方程时，运用整体思想，把mx＋n看作一个整体，直接开平方降次，得mx＋n＝± ，再求解． 学生活动3： 学生先尝试计算，然后小组合作探究后班内交流，并认真听老师的点评与讲解 活动意图说明： 由最简方程x2=4切入，依托平方根意义推导直接开平方法，再拓展至完全平方式整体型方程，分层例题落实解题步骤，分类讨论p的取值对应根的三种情况.全程渗透降次转化思想，训练整体代换思维，规范书写流程，为后续配方法学习铺垫核心方法，提升学生代数运算与分类推理素养. 环节四：课堂小结 教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识 活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系． 板书设计 课题：25.2.1配方法（第1课时） 直接开平方法 1．x2＝p(p≥0) 2．(mx＋n)2＝p(p≥0，m≠0) 教师板演区 学生展示区 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．一元二次方程的根是（    ） A． B． C．无实数根 D．以上均不正确 答案：C 2．方程解为_________． 答案： 3．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； 解：（1）∵， ∴， ∴， 解得，； （2） 或 解得； 选做题： 4．我们用符号表示，两实数中较小的数，如，若，则_______． 答案：或4 【综合拓展类练习】 5．在平面直角坐标系中，已知点和点，点是轴上一点，如果，求点的坐标． 解：已知，，由两点间距离公式： ， 点在轴上， 设， ， 根据列方程： ， 两边同时平方消去根号： ， ， ， ， 当时，； 当时，， 点的坐标为或． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 答案：B 2．方程的根是___________． 答案： 3．解下列方程． (1) ； (2) ． 解：（1）∵， ∴， ∴， 解得，； （2）， ， ， ， 解得． 选做题： 4．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 答案：D 【综合拓展类作业】 5．如图，每个表格内包含一个运算，选定一个数后按照相应顺序运算得出结果． 甲 乙 丙 丁 取倒数 平方 取相反数 加2 (1)若选取数字2，按照丙乙丁甲的运算顺序列算式算出结果； (2)如选取一个非负数后，按照丁乙丙的顺序运算后，结果为，求选取的数字． 解：（1）若选取数字2，按照丙乙丁甲的顺序运算得： ， （2）解;设所选数字为x，根据运算程序所以列出方程： ， ∴， 解得，， ∵所选数为非负数， ∴所选数为0． 教学反思 本节课从简单引入，依托平方根旧知推导直接开平方法，多数学生能掌握基础方程求解，但课堂存在两处短板．部分学生对整体开平方时，忘记给等式右侧添加正负号，出现丢根问题；讲解p<0无实根时缺少对比反例，学生分类记忆不牢固．后续教学可增加纠错辨析题型，强化整体思想训练，规范解题步骤书写，同时设计分层习题，巩固学生分类讨论的思维习惯． 学科网（北京）股份有限公司 $