5.5 数学归纳法-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册随堂练习（人教B版）

N 高中数学选择性必修第三册人教B版 4B【解析】由s=++++公，得= ++ 两式相得宁+品 1 2 =2-n-2 S=21-n-2 故选B. 5.解：设S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+ sin289°.① 将①式右边反序，得 S=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21.② 又·，sin=cos(90°-x),sin2x+cos2x=1,①+②，得 2S=(sin21°+cos21°)+(sim22°+cos2°)+…+(sin289°+ c0s289)=89,.S=44.5 6.解：(1)当n=1时，a=S=-4: 当n≥2时，a,=S.-Sm-=3n2-7m-3(n-1)P+7(n-1)=6n- 10: 当n=1,则a=6-10=-4,故a,=6n-10,neN (2)依题意，（6m-101(6n-4)(3m-5(3n-2) 4 1 11-1 33m-53m-2 故3+味 3m-53n-2= ×32广20 "5.4数列的应用 1.B【解析】根据题意，设每层点的灯数组成数列 {a,分析可得{a是公比为2的等比数列，且a=3, 则S=3x122=381.故选B 1-2 2.A【解析】某小镇在今年年底统计有人口20万， 预计人口年平均增长率为1%，那么1年后这个小镇 的人口数为20(1+1%)，2年后这个小镇的人口数为 98 20(1+1%)2,3年后这个小镇的人口数为20(1+1%)3,4 年后这个小镇的人口数为20(1+1%)4,5年后这个小镇 的人口数为20(1+1%)-20x(1.01)5.故选A. 3.3【解析】经过一年，剩余物质为原来的号，经 过两年，剩余物质为原来的专户，经过三年，利余物 质为原来的号停，则经过三年，剩余的物质是原 来的供 4.4.5【解析】设数列为{a},公差为d,a+4+= 3a+9d=31.5,S=9a+36d=85.5,解得a=13.5,d=-1, .立夏日影长为a0=4.5. 5.C【解析】1月底小王手中有现款为a=(1+20%)× 10000-800-400=10800(元)，设n月底小王手中有现 款为a,n+1月底小王手中有现款为a,则a+=1.2a,- 1200,即a1-6000=1.2(a.-6000),.数列{a.-6000) 是首项为4800、公比为1.2的等比数列，..a2-6000= 4800x1.21,即a2=4800x1.2+6000=42000,年利润为 42000-10000=32000(元).故选C. "5.5数学归纳法 1.D【解析】当n=1,n=2,n=3时，显然不等式不 成立，当n=4时，64>61不等式成立， 故用数学归纳法证明n>3n+3n+1这一不等式时， 应注意n必须为n≥4，n∈N.故选D. 2.B【解析】由题意，当=2时，不等式为1+？+ 号2.放选B 3.C【解析】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2: 当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+ (k+1)2,增加了项(2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2.故 选C 4S得【解析】s1,5=告，s=多-年，S n+1 号，猫想S=2品 n+1 5.解：(1)f1)=2,fn+n2)=fn)fn2), ∴.f2)=f1+1)=f1)f1)=22-4, 参考答案。 f(3)=f(2+1)=f(2)f(1)=22×2=2-8, ②假设当m(k≥1，k∈N)时猜想正确，即f化)=2， f(4)=f3+1)=f3)f1)=2×2=2-16. 那么当n=k+1时，fk+1)=fk)f1)=2.2=2, (2)猜想：f(n)=2"(neN). .当n=+1时，猜想正确. 用数学归纳法证明如下： 由①②知，对任意的neN,都有f代n)=2" ①当n=1时，f1)=2-2,.猜想正确 第六章 导数及其应用 "6.1导数 2.A【解析】由导数的定义，得 2h 6.1.1函数的平均变化率 了-吗边 1.A【解析】△x=1.1-1=0.1,△yf1.1)-f1)=(1.12 即imf+h)xrh)=f'(ao),故选A 2h 1)-(1)-021.做两数的平均变化率-02-21.故 3.AD【解析】曲线的切线和曲线除有一个公共切 选A 点外，还可能有其他公共点，故A正确，B不正确； f'(xo)不存在，曲线y=f(x)在点(xo,f()处的切线 2.D【解析】函数在某点处横坐标的增量可正可负， 斜率不存在，但切线可能存在，为x=,故C不正确， 不确定，但不可为0.故选D. D正确.故选AD. 3.子【解析】由函数f)的图象知，f(x)= 4.B【解析】：[1,2]函数的增长越来越快，.函 +3 ，-1≤<1，函数f(x)在区间[0,2]上的平均 数在该点的斜率越来越大.又f2)f山=， 2 2-1 x+1,1≤x≤3. ∴f'(1)<a<f'(2).故选B. 变化率为2)f0) 33 23 y=Vx, 2-0 24 5.(1,1)x-2y+1=0【解析】由 1 得 y= 4.3【解析】当1时，l:当=2时，= t, x=1, 1 .两曲线的交点坐标为(1,1).由f(x)=Vx, 平均变化率为2 1 y=1 -1=-2 1-1 5.解：函数f(x)在[-3，-1]上的平均变化率为 得f'(（x)=mY=☐2·yf(x) △x -1)-f-3)-[2x(-1+1=「2x(-3)+11-2,函数f(x)在 -1-(-3) 22 在点(1,1)处的切线方程为y-1=(x-),即x-2+ [0,5]上的平均变化率为5)0)=2.函数gx)在 1=0. 5-0 6.1.3基本初等函数的导数 [-3,-1]上的平均变化率为-1)3)-2.函数 -1-(-3) 1BC【解析】)=之，A不正确：(cos)y gx)在[0,5]上的平均变化率为5)-g02=-2. 5-0 =-sinx,B正确；(2)'=2ln2,.C正确；(1gx)'= 6.1.2导数及其几何意义 xn1O,D不正确.故选BC 1.A【解析】由切线方程可以看出其斜率是2，又 曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数， 2.A【解析】f(x)=sin,∴.f'(x)=cosx.又f'(a)= 即k=f'(0)=2>0,故选A. cosa=- ,=2km±号(keZ),当k=0时，a=±牙， 3 99日期： 班级： 姓名： 5.5数学归纳法 1.用数学归纳法证明n3n+3n+1这一不等式时，应注意n必 须为() A.nEN B.n∈N,n≥2 C.n∈N,n≥3 D.n∈N,n≥4 2.用数学归纳法证明1+}+}+…+，n(n∈N,>I) 23 2n-1 时，第一步应验证不等式() A1+22 B.1+1t1<2 23 c++g3 3.用数学归纳法证明1+2+3++n=nm,则当n=k+1时，左 2 端应在n=h的基础上加上( A.2+1 B.(k+1)2 C.(k241)+(k2+2)+…+(k+1)2 D.(k+1)4+(k+1)2 2 N 4.已知数列{a}的前n项和为Sn,且a=1,Sn=na,(n∈N) 依次计算出S,S2,S3,S4后，可猜想Sn的表达式为 5.已知函数y=f(n)(n∈N),设f(1)=2,且任意的n1,n2∈ N.,f(ntn2)=f(n)f(n2). (1)求f八2)，f3),f4)的值. (2)试猜想f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明. 20