5.5 数学归纳法(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“数学归纳法”核心知识点，通过“公鸡归纳法”故事引入，系统讲解其原理（n=n0成立，假设n=k成立推出n=k+1成立），并结合证明等式、不等式、整除问题及归纳-猜想-证明题型构建学习支架。 资料以生动故事激发兴趣，通过四类典型题型（等式、不等式、整除、归纳猜想）的例题与跟踪训练，培养学生逻辑推理与数学思维，课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

*5.5　数学归纳法 【基础落实】 自我诊断 1.C　根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的取值应为3.　 2.1＋a＋a2 【典例研析】 【例1】　证明：（1）当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝.左边＝右边，等式成立. （2）假设当n＝k（k≥1）时，等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则 ＋ ＝（＋＋…＋）＋（－） ＝＋＋…＋＋ ＝＋＋…＋＋. 即当n＝k＋1时，等式也成立. 综合（1）和（2）可知，对一切正整数n等式都成立. 跟踪训练 证明：（1）当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立. （2）假设当n＝k（k∈N＋）时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＝k（k＋1）2. 那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＋（k＋1）·[3（k＋1）＋1]＝k（k＋1）2＋（k＋1）[3（k＋1）＋1]＝（k＋1）（k2＋4k＋4）＝（k＋1）[（k＋1）＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立. 根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＋都成立. 【例2】　证明：（1）当n＝2时， 左边＝＋＋＋＞，不等式成立. （2）假设当n＝k（k≥2，k∈N＋）时不等式成立， 即＋＋…＋＞， 则当n＝k＋1时， ＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋（＋＋－）＞＋（＋＋－）＞＋（3×－）＝， 所以当n＝k＋1时不等式也成立. 由（1）（2）可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立. 跟踪训练 证明：（1）当n＝2时，左边＝＝，右边＝1－＝， ∵＜，∴不等式成立. （2）假设当n＝k（k≥2，k∈N＋）时，不等式成立， 即＋＋＋…＋＜1－. 则当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋＋＜1－＋＝1－＝1－＜1－＝1－. ∴当n＝k＋1时，不等式也成立. 根据（1）和（2）知，对任意n≥2的正整数，不等式均成立. 【例3】　证明：（1）当n＝1，原式＝4×7－1＝27能被9整除. （2）假设当n＝k（k∈N＋），即（3k＋1）·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，[3（k＋1）＋1]·7k＋1－1 ＝[（3k＋1）＋3]（1＋6）·7k－1 ＝（3k＋1）·7k－1＋（3k＋1）·6·7k＋21·7k ＝[（3k＋1）·7k－1]＋18k·7k＋27·7k. ∴n＝k＋1时也能被9整除. 由（1）（2）可知，对任何n∈N＋，（3n＋1）·7n－1都能被9整除. 跟踪训练 证明：（1）当n＝1时，a1＋1＋（a＋1）2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立. （2）假设当n＝k（k∈N＋）时，ak＋1＋（a＋1）2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时， ak＋2＋（a＋1）2k＋1＝a·ak＋1＋（a＋1）2·（a＋1）2k－1 ＝a[ak＋1＋（a＋1）2k－1]＋（a＋1）2（a＋1）2k－1－a（a＋1）2k－1 ＝a[ak＋1＋（a＋1）2k－1]＋（a2＋a＋1）·（a＋1）2k－1. 显然，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除， 故n＝k＋1时命题成立. 根据（1）（2）可知，对n∈N＋，原命题成立. 【例4】　解：S1＝＝，S2＝＋＝，S3＝＋＝，S4＝＋＝， 可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数n表示为3n＋1，可以猜想Sn＝. 下面用数学归纳法证明： （1）显然当n＝1时，S1＝＝，猜想成立. （2）假设当n＝k（k∈N＋）时，等式成立，即Sk＝. 则当n＝k＋1时， Sk＋1＝Sk＋＝＋＝＝＝，即当n＝k＋1时，猜想也成立. 根据（1）和（2）可知，猜想对任何n∈N＋都成立. 跟踪训练 解：（1）当n＝1时，＋＋＝＝，则＞，所以a＜26，而a是正整数，所以猜想a的最大值为25. （2）下面用数学归纳法证明＋＋＋…＋＞. ①当n＝1时，已证. ②假设当n＝k（k∈N＋）时，不等式成立，即＋＋＋…＋＞. 那么当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋＋＋＋ ＝（＋＋…＋）＋（＋＋－）＞＋ ＝＋ ＞＋ ＝＋＝， 即当n＝k＋1时，不等式也成立. 根据①和②，可知对任何n∈N＋，都有＋＋＋…＋＞. 所以正整数a的最大值为25. 随堂检测 1.D　要注意末项与首项，因为f（n＋1）＝1＋＋＋…＋＋＋＋＋＋，所以f（n＋1）－f（n）＝＋＋. 2.B　本题证明了当n＝1，3，5，7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立. 3.D　当n＝k时，不等式左端为1＋＋＋＋…＋； 当n＝k＋1时，不等式左端为1＋＋＋…＋＋＋…＋，增加了＋…＋项，共（2k＋1－1）－2k＋1＝2k项. 4.（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6　解析：采取配凑法，凑出归纳假设k3＋5k，（k＋1）3＋5（k＋1）＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ *5.5　数学归纳法 课标要求 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题（逻辑推理）. 五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授（1908～1996）给大学一年级学生讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：某主妇养小鸡十只，公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃.”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃.赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”. 【问题】　“公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　数学归纳法 一个与自然数有关的命题，如果 （1）当n＝n0时，命题成立； （2）在假设n＝k（其中k≥n0）时命题成立的前提下，能够推出n＝k＋1时命题也成立. 那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立，这种证明方法称为数学归纳法. 1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于（n－2）π”时，归纳奠基中n0的取值应为（　　） A.1　　　　　　　　 B.2 C.3 D.4 2.用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝（a≠1）”.当验证n＝1时，上式左端计算所得为　　　　. 　　 题型一｜用数学归纳法证明等式 【例1】　求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋（n∈N＋）. 尝试解答 通性通法 　　用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题时，关键在于“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项，增加了怎样的项. 【跟踪训练】 　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n（3n＋1）＝n（n＋1）2（其中n∈N＋）. 题型二｜用数学归纳法证明不等式 【例2】　求证：＋＋…＋＞（n≥2，n∈N＋）. 尝试解答 通性通法 　　对于与正整数有关的不等式的证明，如果用其他方法证明比较困难，此时可考虑使用数学归纳法证明.使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式证明的其他方法（如拆、添、并、放、缩），对所要证明的不等式加以变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口. 【跟踪训练】 　用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＜1－（n≥2，n∈N＋）. 题型三｜用数学归纳法证明整除问题 【例3】　用数学归纳法证明：（3n＋1）·7n－1（n∈N＋）能被9整除. 尝试解答 通性通法 　　证明整除性问题的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得到证明. 【跟踪训练】 　求证：an＋1＋（a＋1）2n－1能被a2＋a＋1整除（n∈N＋）. 题型四｜归纳——猜想——证明 【例4】　已知数列，，，…，，…，设Sn为数列前n项和，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明. 尝试解答 通性通法 “归纳—猜想—证明”模式的解题方法 （1）观察：由已知条件写出前几项； （2）归纳：根据前几项的规律，找到项与项数的关系； （3）猜想：猜想一般项的表达式； （4）证明：用数学归纳法证明猜想的结论. 【跟踪训练】 　若不等式＋＋＋…＋＞对一切正整数n都成立. （1）猜想正整数a的最大值； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 1.设f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N＋），那么f（n＋1）－f（n）等于（　　） A.　　　　　 B.＋ C.＋ D.＋＋ 2.一个关于自然数n的命题，如果证得当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k（k≥1且k∈N＋）时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于（　　） A.一切正整数命题成立 B.一切正奇数命题成立 C.一切正偶数命题成立 D.以上都不对 3.证明1＋＋＋＋…＋＞（n∈N＋），假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是（　　） A.1项 B.k－1项 C.k项 D.2k项 4.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子（k＋1）3＋5（k＋1）应变形为　　　　. 提示：完成课后作业　第五章　5.5 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $