5.5 数学归纳法(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 *5.5数学归纳法 1.C假设当n=k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即S=ka十1d 2 2.A因为n≥2，所以第一步应验证当n=2时，1十京<2-之， 3.C因为f(k)=k+(k+1)+(k+2)+.+(3k-2),f(k+1)=(k+1)+(k+2)+.. +(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1),则f(k+1)-f(k)=3k-1+3k+3k+1-k=8k. 4.A三棱柱有0个对角面；四棱柱有2个对角面(0+2=0+(3一1))；五棱柱有5个对角面 (2+3=2+(4一1))；六棱柱有9个对角面(5+4=5+(5一1)).猜想：若k棱柱有f(k)个 对角面，则k+1棱柱有f(k)+k一1个对角面.故选A. 5.C当n=k时，左边=本十2十十在，当n=k十1时，左边=中十十十k+1并k ++1:+1片k+故不等式左边的变化是增加和两项，同时减少中一项， 1 6.C器>品等价于>料，1-东>1-中，柔<中，2>2m+1,当m=3时，不 等式成立，所以k的最小值是3，下面用数学归纳法证明：显然n=3时，不等式成立，假设=m (m∈N,m≥3)时，2m>2m+1成立，则当n=m+1时，左边=2m+1=2·2m>2(2m十1)=4m +2,右边=2(m+1)+1=2m+3,4m+2-(2m+3)=2m-1,当m≥3时，2m-1>0,即2m +1>2(m十1)+1，所以对于任意的n≥3(n∈N),原不等式成立.故选C. 7.2k+1解析：.n为正奇数，且与2k一1相邻的下一个奇数是2k+1,∴.需证n=2k+1时，命题 成立 8.1+2+22+23+2425+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4 解析：当n=1时，原式应加到25×1-1=24， 所以原式为1+2+22+23+24， 从n=k到n=k十1时需添25k+25+1+..十25(k+1)-1 9.+1解析：f()=1+型，fk+1)=1+2,k+1)一了k)=[1+ k+k+2]-[1+k]=k+1,f(k+1)=f(k)+(k+1)· 2 10.证明：(1)当n=2时，左边=f(1)=1, 右边=2×(1+竞-1)=1，左边=右边，等式成立. (2)假设n=k(k≥2，k∈N+)时，等式成立， 即f(1)+f(2)+..+f(k-1)=k[f(k)-1], 1/4 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 那么，当n=k十1时， f(1)+f(2)+..+f(k-1)+f(k) =k[f(k)-1]+f(k) =(k+1)f(k)-k =(k+1)[f(k+1)-本]-k =(k+1)f(k+1)-(k+1) =(k+1)[f(k+1)-1], .当n=k十1时等式仍然成立. 由(1)(2)可知，f(1)+f(2)+.+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2，n∈N+)成立. 11.A由条件知A1,AA,4ag,对应的圆心角都是，且半径依次为1,2,3,4，， 故弧长依次为变，牙×2，牙×3，.据题意，第1圈长度为牙(1十2十3)，第2圈长度为牙(4 十5十6)，，第n圈长度为[(3n-2)+(3n-1)+3nl,故L,=(1十2+3+十3n)= 等.a+3l=(3n2+n）元 2 12.解：(1)选择条件①，因为Sm-1+am=n2(n∈N,n≥2)，S1=a41=1, 所以当n=2时，S1十a2=4,即a2=3. 当n=3时，S2十a3=9,所以a1+a2十a3=9,即a3=5. 当n=4时，S3十a4=16,所以41十a2十a3+a4=16,即a4=7. 故a2,a,a4分别为3,5,7. 选择条件②，a+1=nan-2n2+3n十1(n∈N,n≥1)， 所以当n=1时，42=a1-2×12+3×1+1=3. 当n=2时，a3=2a2-2×22+3×2+1=5. 当n=3时，a4=3a3-2×32+3X3+1=7. 故a2,a3,a4分别为3,5,7. （2)猜想am=2n一1，理由如下： 选择条件①，因为Sm-1十am=n2(n∈N,n≥2)， n=1时，由题知，a1=1,猜想成立， 假设n=k(k∈N,k≥2)时，ak=2k-1, 则S-1十ak=2,所以Sk十ak+1=(k十1)2， 2/4 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 两式相减得：S十a+1一Sk-1一ak=(k+1)2一2， 即ak+1=2k+1=2(k+1)-1,， 综上所述，任意n∈N,有a,=2n一1. 选择条件②，an+1=na,-2n2+3n+1(n∈N,n≥1)， n=1时，由题知，a1=1,猜想成立， 假设n=k(k∈N,k≥2)时，ak=2k-1, 则ak+1=k-2k2+3k+1=k(2k-1)-2k2+3k+1=2k+1=2(k+1)-1. 综上所述，任意n∈N,有am=2n-l. 13.解：(1)当n=1时，f(1)=1,g(1)=1,所以f(1)=g(1); 当n=2时，f(2)=号，g(2)=昔，所以f(2)<g(2): 当n=3时，f(3)=,g(3)=张， 所以f(3)<g(3). (2)由(1)猜想f(n)≤g(n). 下面用数学归纳法给出证明： ①当n=1,2,3时，不等式显然成立. ②假设当n=k(k≥3，k∈N+)时，不等式成立， 即1++3+空++<是-。 那么，当n=k十1时， f(k+1)=f(k)+k<号-家+k中. 因为f(+1)-g(k+1)<是-京+-[是-2k] -2和安] k+3 1 -3k-1 =2k+1一2京=2k+1j灰<0， 所以f(k+1)<g(k+1). 由①②可知，对一切n∈N+,都有f(n)≤g(n)成立. 14.5解析：当n=1时，36+a3能被14整除的数为a=3或5；当a=3且n=2时，310+35不能 被14整除，故a=5. 15.解：(1)由P1的坐标为(1，一1)知，a=1,b1=一1， 3/4 ·独家授权侵权必究 画学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 .b2=4=青，a2=a1·b2=青，点P2的坐标为（待，），故直线1的方程为2十y=1. (2)证明：①当n=1时，2a1+b1=2×1+(-1)=1,命题成立. ②假设当n=k(k∈N+)时，2ak十bk=1成立，则当n=k+1时，2ak+1十bk+1=2ak·bk+1十bk+1= 气(2十1)=务-会=1，故当n=十1时，命题也成立. 由①和②知，对任意的n∈N+,都有2a十bm=1成立，即点Pm都在直线1上. 4/4 ·独家授权侵权必究· *5.5　数学归纳法 1.用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝（　　） A.a1＋（k－1）d B. C.ka1＋d D.（k＋1）a1＋d 2.用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜2－（n≥2，n∈N＋）时，第一步应验证不等式（　　） A.1＋＜2－ B.1＋＋＜2－ C.1＋＜2－ D.1＋＋＜2－ 3.用数学归纳法证明n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2）＝（2n－1）2（n∈N＋）时，若记f（n）＝n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2），则f（k＋1）－f（k）等于（　　） A.3k－1 B.3k＋1 C.8k D.9k 4.若k（k≥3，k∈N＋）棱柱有f（k）个对角面，则k＋1棱柱的对角面个数f（k＋1）为（　　） A.f（k）＋k－1 B.f（k）＋k＋1 C.f（k）＋k D.f（k）＋k－2 5.用数学归纳法证明“＋＋…＋＞”时，由k到k＋1，不等式左边的变化是（　　） A.增加一项 B.增加和两项 C.增加和两项，同时减少一项 D.以上结论都不正确 6.用数学归纳法证明＞对任意n≥k（n，k∈N） 都成立，则k的最小值为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1（k∈N＋）命题为真时，进而需证n＝　　　　　时，命题亦真. 8.用数学归纳法证明“当n∈N＋时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为　　　　　　　　，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是　　　　　　. 9.用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f（n）部分，则f（n）＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f（k＋1）＝f（k）＋　　　　. 10.设f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N＋）.求证：f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）＝n[f（n）－1]（n≥2，n∈N＋）. 11.如图所示，一条螺旋线是用以下方法画成的：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1，A1A2，A2A3是分别以A，B，C为圆心，AC，BA1，CA2为半径画的圆弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈.然后又以A为圆心，AA3为半径画圆弧…这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度Ln为（　　） A.（3n2＋n）π　　　　 B.（3n2－n＋1）π C. D. 12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且S1＝1，　　　　. ①Sn－1＋an＝n2（n∈N，n≥2）； ②an＋1＝nan－2n2＋3n＋1（n∈N，n≥1）. 先从①②两个条件中任选一个条件填在横线处，然后解决下列问题： （1）求a2，a3，a4； （2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明. 13.已知f（n）＝1＋＋＋＋…＋，g（n）＝－，n∈N＋. （1）当n＝1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小； （2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明. 14.对任意n∈N＋，34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝　　　　. 15.已知点Pn（an，bn）满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝（n∈N＋）且点P1的坐标为（1，－1）. （1）求过点P1，P2的直线l的方程； （2）试用数学归纳法证明：对任意的n∈N＋，点Pn都在（1）中的直线l上. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $