第3章 圆的基本性质-综合卷(B) 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学《圆的基本性质》单元复习综合卷(B)，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合几何直观、推理能力与空间观念，适配单元核心知识检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|圆心角、圆周角、弧长公式|网格圆（第3题）考查空间观念| |填空题|6/18|垂径定理、莱洛三角形|莱洛三角形（第12题）体现文化传承| |解答题|8/72|圆内接四边形、二倍角点|二倍角点探究（第22题）发展创新意识|

第3章 圆的基本性质 综合卷(B) 一选择题(每题3分，共30分) 1.下列命题中，为真命题的是 ( ) A.三点确定一个圆 B.度数相等的弧相等 C.90°的圆周角所对的弦是直径 D.相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 2.一条圆弧所对的圆心角等于240°，它的长度等于半径为4cm的圆的周长，则这条弧所在的半径为( ) A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 3.如图，在每个小正方形的边长均为1的5×5的网格中，选取7个格点(小正方形的顶点)，若以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个点在圆内，则r的取值范围是( ) 4.如图,A,B,C为⊙O上的三个点,∠AOB=4∠BOC,若∠ACB=60°,则∠BAC的度数为( ) A.20° B.18° C.15° D.12° 5.如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上的一点，点D在⊙O上(不与点A，B重合)，连结PD交⊙O于点C,且PC=OB。设∠P=α,∠B=β,下列说法正确的是( ) A.若β=30°,则∠D=120° B.若β=60°,则∠D=90° C.若α=10°,则AD=150° D.若α=15°,则AD=90° 6.如图，将一长为8cm，宽为6cm的长方形ABCD的四边沿直线向右滚动(不滑动)，当长方形滚动一周时，点A经过的路线长为( ) A.12πcm B.16πcm C.8πcm D.10πcm 7.如图,⊙O的直径AB与弦CD相交于点P,且∠APC=45°,若 则⊙O的半径为( ) A. B.2 C.2 D.4 8.如图,正方形ABCD的边长为4,点E在CD的边上,且DE=1,△AFE与△ADE关于AE所在的直线对称，将△ADE按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABG，连结FG，则线段FG的长为 ( ) A.4 B.4 C.5 D.6 9.如图,多边形ABCDEF为正六边形,点P在边CD上,过点P作PQ∥ED交EF于点Q,连结BQ,BP,且满足∠BPC=∠BQP。设四边形PQED、四边形AFQB和△BCP的面积分别为S₁,S₂,S₃,则正六边形ABCDEF的面积为 ( ) A. B. C. D. 10.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,其中AB=4,∠AOC=120°,P为⊙O上的动点，连结AP，取AP中点Q，连结CQ，则线段CQ的最大值为 ( ) A.3 B. C. D. 二填空题(每题3分，共18分) 11.如图,△ABC内接于⊙O。若⊙O的半径为3,∠C=45°,则弦AB的长为 。 12.“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形。如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”。若等边三角形ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长为 。 13.如图,AB是⊙O的直径,E是OA的中点,OA=2,过点E作CD⊥AB交⊙O于C,D两点。P为BC上一个动点(不与点B,C重合),连结AP,CP,CQ平分∠PCD交AP于点Q,则BC的度数为 ,AQ= 。 14.如图,△ABC内接于⊙O且∠ACB=90°,CD平分∠ACB交⊙O于点D,连结AD,BD。若AB=5,AC=4,则BD= ,CD= 。 15.如图，图1是一个光圈的示意图，其中每个叶片形状和大小相同，光圈内是一个正六边形。小明同学根据示意图绘制了图2，若AM的延长线恰好过点C，圆的半径为3cm，则叶片所占区域(阴影部分)的面积是 cm²。 16.以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB=90°，另一个扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角∠CPD=60°，点P在数轴上表示实数a，如图。如果两个扇形的圆弧部分( 和CD)相交，那么实数a的取值范围是 。 解答题(共72分) 17.(6分)如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转α(0°<α<180°)得到格点△A₁B₁C₁,点A与点A₁,点B与点B₁,点C与点C₁是对应点。 (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O。 (2)直接写出旋转角α的度数。 18.(6分)如图所示为新建的摩天轮及其示意图。据工作人员介绍，新建摩天轮直径为100m，最低点距离地面1m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点)，游客在距离地面最近的位置进舱。 (1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 m。 (2)在小明进座舱后，间隔3个座舱，小亮进入座舱(此时小明和小亮分别位于P，Q两点)，求两人所在座舱在摩天轮上的距离(PQ的长)和直线距离(线段PQ的长)。 64 19.(8分)如图,已知点A,B,P,D,C都在⊙O上,且四边形BCEP是平行四边形。 (1)求证: (2)若AE=BC, DP的长度是π/6，求EC的长。 20.(8分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC,AD为⊙O的直径,BG⊥AC于点F,交AD于点E,交⊙O于点G,连结DG。 (1)求证:EF=FG。 (2)若OE=1,DG=8,求⊙O的半径。 21.(10分)已知A,B,C,D是⊙O上四点,AC=AB。 (1)如图1,∠BAC=60°,BD是直径,BD交AC于点E。若BD=d,先用含字母d的代数式表示CD和DE的长，再比较CD+DE与BE之间的大小。 (2)如图2,过点A作AE⊥BD,垂足为E。若CD=3,DE=1,求BE的长。 22.(10分)如图1,若点P是△ABC内或边上一点,且∠BPC=2∠A,则称点P是△ABC内∠A的二倍角点。 (1)如图2,点O是等边三角形ABC的外心,连结OB,OC。 ①求证：点O是△ABC内∠A的一个二倍角点。 ②作△BOC的外接圆，求证：BC上任意一点(B，C除外)都是△ABC内∠A的二倍角点。 (2)如图3，在△ABC的边AB上求作一点M，使点M是△ABC内∠A的一个二倍角点(要求用尺规作图，保留作图痕迹，并写出作法)。 (3)在任意三角形内，是否存在一点P同时为该三角形内三个内角的二倍角点?请直接写出结论，不必说明理由。 23.(12分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC,BD交于点E。已知⊙O的半径为3,CD=3,∠AEB=75°。 (1)求∠CBD的度数。 (2)求AB的长。 (3)当△EBC的面积最大时，求 的值。 24.(12分)如图1,A,B是⊙O上两点,OA=5,AB=8。点C是AB上任意一点,OC与弦AB相交于点D,过点C作CE⊥OB,交射线BO于点E,CE的延长线交⊙O于点F,连结BC,BF,OF。 (1)如图2，当点E是线段BO的中点时，求弦BF的长。 (2)当点E在线段BO上时,设AD=x, 求y关于x的函数表达式，并写出这个函数的自变量的取值范围。 (3)当CD=1时,求四边形OCBF的面积。 1. C 2. D 3. D 4. C 5. C 6. A 7. B 【解析】过点O作OE⊥CD于点E,连结OC。 ∴CE=DE。∵∠APC=45°,∴OE=PE。∵PC²+ 化简得( (负值已舍)，即⊙O的半径为2。故选B。 8. C 9. A 【解析】如图,将△BCP绕点B逆时针旋转120°得到△BAG,连结QG交AF于点H。∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴CD=EF,∠BAF=∠F=∠E=∠D=∠C=∠ABC=120°。 由 旋 转 得 BG=BP, AG=CP,∠BAG=∠C=120°,∠GBP=120°, ∴∠GAH=360°—∠BAG—∠BAF=120°=∠F。∵PQ∥DE,∴∠DPQ=180°-∠D=60°,四边形DEQP是等腰梯形。∴DP=EQ。∴CP=FQ。∴AG=FQ。 ∵∠GHA=∠QHF,∴△AGH≌△FQH(AAS)。 即 ∵∠PBQ=180°-∠BQP-∠BPQ=180°-∠BPC-∠BPQ=∠DPQ=60°,∴∠GBQ=∠GBP-∠PBQ=60°=∠PBQ。∵BQ=BQ,∴△GBQ≌△PBQ(SAS)。 故选A。 10. D 11.3 12.3π 【解析】∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=3,∠A=∠B=∠C=60°。 ∴该“莱洛三角形”的周长为3π。 13.120° 2 【解析】如图,连结AC,OC。∵E是OA的中点, ∵C D⊥AB,∴∠OEC=90°。∴∠OCE=30°。∴∠AOC=60°。B ∴∠BOC=180°-∠AOC=120°,即 的度数为120°。又∵OA=OC,∴△OAC是等边三角形。 ∴AC=OA=OC=2。∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB, ∴∠ACD=∠P。∵CQ平分∠PCD,∴∠DCQ=∠PCQ。∵∠ACQ=∠ACD+∠DCQ, ∠AQC= ∠P+ ∠PCQ, ∴ ∠ACQ=∠AQC。∴AQ=AC=2。故答案为:120°;2。 【解析】∵∠ACB=90°,∴AB为⊙O的直径。∴∠ADB=90°。∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=45°。. ∴AD=BD。∵AB=5,AC=4, 如图，把△ACD绕点D逆时针旋转90°得到△BED, ∴∠DBE=∠DAC,BE=AC=4,DE=DC。 ∵∠DAC+∠DBC=180°, ∴∠DBC+∠DBE=180°。 ∴C,B,E三点共线。∴△DCE为等腰直角三角形,CE=BE+BC=7。 故答案为： 【解析】如图，连结OA,OD,作OH⊥AM于点H。由 题意得∠CMN=∠CNM=60°,∴△CMN是等边三角形。 ∴MN=DM=MC=AD。设AD=x,则 C 在Rt△AOH中, 解得 16.-4≤a≤-2 17.(1)如图,点O即为所求。 (2)如图, 18.(1)101 (2)∵圆周上均匀地安装了24个座舱，因此每相邻两个座舱之间对应的圆心角为 ∴∠POQ=4×15°=60°。∴PQI的长为 连结PQ,∵∠POQ=60°且OP=OQ,∴△OPQ为等边三角形。 ∴两人所在座舱在摩天轮上的距离( 的长)为 m，直线距离(线段PQ的长)为50m。 19.(1)如图1,连结PC。∵四边形BCEP是平行四边形,∴PE∥BC,∠E=∠PBC。∴∠EPC=∠PCB。 (2)如图2,连结AP,BD,CD,OA,OB,OC,OD,OP。∵四边形PBCD是圆内接四边形，四边形APDC是圆内接四边形,∴∠EDC=∠PBC=∠PAC,∠ECD=∠APE。∵四边形BCEP是平行四边形,∴PE=BC。∵AE=BC,∴PE=AE。∴∠EAP=∠APE。 ∴△APE和△CDE是等边三角形。∴∠EAP=60°。 ∵PB∥EA,∴∠APB=∠EAP=60°。∴∠AOB=120°。作 OF⊥AB 于点 F ,则 =60°,AF=BF= AB=⁽³⁾/₍₂。∴OA=1。 的长度是 30°。∴∠PBD=15°。∵∠PBC=∠E=60°, ∴∠DBC=45°。∴∠DOC=90°。∵OC=OD=1, 是等边三角形,∴EC=CD 20.(1)连结AG。∵AB=AC, ∴AD垂 直平分BC。∴∠ACB+∠DAC=90°。∵BG⊥AC, ∴∠AFE=∠AFG=90°,∠AGB+∠CAG=90°。 ∵∠ACB=∠AGB,∴∠DAC=∠CAG。∴∠AEG=∠AGE。∴AE=AG。∴EF=FG。 (2)设⊙O的半径为R。∵AD是直径,∴∠AGD=90°,AD=2R。∵OE=1,∴AE=AO+OE=R+1。由(1)得AG=AE=R+1。在Rt△AGD中, 解得R=5或 (不合题意，舍去)。∴⊙O的半径为5。 21.(1)∵∠BAC=60°,AC=AB,∴△ABC是等边三角形。∴∠ABC=60°,BC=AB。 ∴BD垂直平分AC。∴∠ABD=∠CBD=30°。 ∵BD是直径,∴∠BCD=90°。 ∵∠ACD=∠ABD=30°, ∴CD+DE=BE。 (2)如图,过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F,连结AD。∵AC=AB,∴∠ABC=∠ACB。 ∵∠ADF+∠ADC=180°,∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ADF=∠ABC。∵∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠ADF。∵AE⊥BD,AF⊥CD, ∴∠AED=∠F=90°。∵AD=AD, ∴△ADE≌△ADF(AAS)。∴DE=DF,AE=AF。 在Rt△ACF和Rt△ABE中, ∵CD=3,DE=1,∴CF=CD+DF=CD+DE=3+1=4。∴BE=CF=4。 22.(1)①∵点O是等边三角形ABC的外心,∴∠BOC=2∠A。又∵点O在△ABC内,∴点O是△ABC内∠A的一个二倍角点。②设O'是BOC上任意一点 ，则 又∵点O'是△ABC内的一点,∴点O'是△ABC内∠A的二倍角点。 (2)如图，作AC的垂直平分线交AB于点M，连结MC，则点M为所求作的点。 (3)i)当三角形为锐角或直角三角形时，三角形外接圆的圆心即为该三角形内三个内角的二倍角点。 ii)当三角形为钝角三角形时，不存在一点同时为该三角形内三个内角的二倍角点。 23.(1)如图1,连结OC,OD。∵⊙O的半径为3,CD=3,∴OC=OD=CD=3。∴△OCD是等边三角形。 (2)如图2,连结OA,OB,则OA=OB=3。∵∠AEB=75°,∠CBD=30°,∴∠ACB=∠AEB-∠CBD=45°。∴∠AOB=2∠ACB=90°。∴AB= OA=3 (3)如图3,过点E作EF⊥BC于点F。由(1)(2)得∠CBD=30°,∠ACB=45°,∴EF=CF,BE=2EF。 ∴当EF的长最大时,△EBC的面积最大。∵⊙O的半径为3,∴BC≤6。 即 3。∴当△EBC的面积最大时, ∴BE 24.(1)∵点C,B,F在⊙O上,∴OC=OB=OF=5。 ∵CE⊥OB,点E是线段BO的中点,∴EC=EF,OE=EB。∴四边形OCBF是菱形。∴BF=OC=5。 (2)如图,过点O作OH⊥AB,垂足为点H。 ∵OA=OB,OH⊥AB, 在Rt△OAH中，利用勾股定理，得 3。由AD=x,得BD=8-x,DH=|x-4|。在Rt△ODH中,利用勾股定理,得OD= 因△BOD与△BOC同 高 ，得 即y= ∵当点E与点O重合时x最小， 即x),解得 ∴这个函数的取值范围是 (3)由 CD=1,得OD=4, 或 ∴△OBC≌△OBF。 当 时， 由CD=1,OD=4,得 当BD=4-时，同理可得 ∴四边形OCBF的面积等于 或。 学科网（北京）股份有限公司 $