第3章 圆的基本性质-与圆有关的角 培优练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦“与圆有关的角”，以“基础巩固-中档提升-综合应用”分层递进，通过概念辨析、性质计算到跨知识整合，培养抽象能力、推理能力与模型意识，适配新授课后知识巩固与培优需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|圆心角与弧关系、圆周角定理|选择1-5题概念辨析，如第1题考查等弧与圆周角关系，强化抽象能力| |中档提升|直径性质、内接四边形、弦心距计算|填空11-13题结合图形计算，如第13题内接四边形角度推导，培养推理意识| |综合应用|圆与三角形/四边形综合、新定义问题|解答21-24题跨知识整合，如第22题“光线三角形”探究，发展模型观念与创新意识|

第3章 圆的基本性质 与圆有关的角 培优练 选择题(每题3分，共30分) 1.下列说法中，正确的是 ( ) A.相等的圆心角所对的弧相等 B.等弧所对的圆周角相等 C.相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D.圆周角相等，则圆周角所对的弦相等 2.如图,AC是⊙O的直径,∠BAC=20°,P是AB的中点,则∠PAB等于 ( ) A.35° B.50° C.60° D.70° 3.如图,A,B,D,C是⊙O上的四个点,连结AB,CD并延长,相交于点E,若∠BOD=20°,∠AOC=90°,则∠E的度数为( ) A.30° B.35° C.45° D.55° 4.如图，量角器外缘边上有A，B，P三点，点A和点B在量角器的里圈读数分别为80°和20°，则∠APB的大小为( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 5.如图,AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径,AD=CD,∠B=50°,则∠DAE的度数为( ) A.70° B.65° C.60° D.55° 6.如图,点A,B,C在⊙O上,C为AB的中点。若∠BAC=2∠OAB,则∠AOB等于 ( ) A.144° B.135° C.130° D.120° 7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,∠CBO=36°,以O为圆心,OA为半径作⊙O,⊙O与AB交于点E,F为ACE上异于点A,E的一点,则∠AFE的度数为( ) A.18° B.31° C.36° D.46° 8.如图,半径为5的⊙A中,弦BC,ED所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD。已知DE=8, ∠BAC+∠EAD=180°,则弦BC的弦心距等于( ) C.4 D.3 9.如图,△ABC内接于⊙O,AC=5,BC=12,且∠A=90°+∠B,则点O到AB的距离为( ) D.4 10.如图,点D在半⊙O上,半径OB=,AD=10,点C在BD上移动,连结AC,H是AC上一点，∠DHC=90°，连结BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 二、填空题(每题3分，共18分) 11.如图,AB是⊙O的直径,BC=BD,∠A=25°,则∠BOD= 。 12.如图,AB和DE是⊙O的直径,弦AC∥DE,若弦BE=3,则弦CE= 。 13.如图,AB是半⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,连结BD,AD=BD,则∠BCD= 。 14.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,DB平分∠ADC,AC为⊙O的直径,若∠CAD=60°,AB=2,则AD的长为 。 15.如图,△ABC内接于⊙O,∠B=∠ACB=70°,Q是⊙O上一个动点(不与图中已知点重合),连结OQ,若△ACQ是等腰三角形,则∠AQO的度数为 。 16.如图,正方形ABCD内接于⊙O,线段MN在对角线BD上运动,若⊙O的面积为2π,MN=1，则△AMN周长的最小值为 。 三、解答题(共72分) 17.(6分)如图,点A,B,C,D在圆上,AB=8,BC=6,AC=10,CD=4,求AD的长。 18.(6分)如图,在⊙O中,C,D是直径AB上两点,且AC=BD, MC⊥AB, ND⊥AB,点M,N在⊙O上。 (1)求证: (2)若点C,D分别为OA,OB的中点,则 成立吗? 19.(8分)已知AB是⊙O的直径,C,D是半⊙O的三等分点。连结AC,DO。 (1)如图1,求∠BOD及∠A的大小。 (2)如图2,过点C作CF⊥AB于点F,交⊙O于点H,若⊙O的半径为2。求CH的长。 20.(8分)如图,⊙O的半径为5,P为⊙O外一点,PB,PD与⊙O分别交于点A,B和点C,D四点,且PO平分∠BPD。 (1)求证: (2)当PA=1,∠BPO=45°时,求弦AB的长。 21.(10分)如图,以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C,AE和BE分别平分∠BAC和∠ABC,AE的延长线交⊙O于点D,连结BD。 (1)求证:BD=DE。 (2)若AB=10,AC=6,求BE的长。 22.(10分)定义1：如图1，若点H在直线l上，在l的同侧有两条以H为端点的线段MH，NH，满足∠1=∠2，则称MH和NH关于直线l满足“光学性质”。 定义2:如图2,在△ABC中,△PQR的三个顶点P,Q,R分别在BC,AC,AB上,若RP和QP关于BC满足“光学性质”,PQ和RQ关于AC满足“光学性质”,PR和QR关于AB满足“光学性质”，则称△PQR为△ABC的“光线三角形”。 阅读以上定义，并探究问题： 在△ABC中,∠A=30°,AB=AC,△DEF的三个顶点D,E,F分别在BC,AC,AB上。 (1)如图3,若FE∥BC,DE和FE关于AC满足“光学性质”,求∠EDC的度数。 (2)如图4,在△ABC中,作CF⊥AB于点F,以AB为直径的圆分别交AC,BC于点E,D。求证:△DEF为△ABC的“光线三角形”。 23.(12分)已知A,B,E,F是⊙O上的四个点,且弦EB>BF,AM⊥EB于点M。 (1)如图1,A是EF的中点，在探究EM，BM，BF之间的数量关系时，圆圆同学提出解题的思路：在EB上截取EC=BF，连结AC，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系。请你帮圆圆同学写出完整的探究过程。 (2)如图2,△AEF是等边三角形,若AE=20,∠AEB=45°,利用(1)中的结论,求△BEF的周长。 (3)如图3,若∠EBF=58°,EB=25,FB=19,BM=3,连结EA,求∠AEF的度数。 24.(12分)已知在⊙O中,弦AB垂直弦CD于点E。 (1)如图1,若AE=DE,,求证:CE=BE。 (2)如图2,若∠AOD=140°,求∠BOC的度数。 (3)如图3，若点M为AC的中点，求证： (4)如图4,若ON⊥BD于点N,求证: 1. B 2. A 3. B 4. A 5. B 6. A 【解析】连结OC。∵C为 的中点。 AC。∴∠AOC=∠BOC。 ∠BAC=2∠OAB, ∵OA=OB, ∴ ∠OBA=∠OAB= ∠AOB。∵∠AOB+∠OBA+∠OAB=180°, ∴∠AOB=144°。故选A。 7. C 【解析】连结OE。∵四边形ABCD为菱形,∠CBO=36°,∴AC⊥BD,∠ABO=∠CBO=36°。∴∠BAO=90°-36°=54°。∵OA=OE,∴∠AEO=∠BAO=54°。∴∠AOE=72°。 故选C。 8. C 9. B 10. D 11.50° 12.3 13.135° 14. 【解析】∵AC为⊙O的直径,∴∠ADC=∠ABC=90°。∵DB 平 分∠ADC, ∴∠ADB= ∴AB=BC。∴△ABC是等腰直角三角形。 2 。∵∠CAD=60°,∴∠ACD=30°。∴AD= 15.35°或50°或55°【解析】①当点Q在 上,AQ=CQ时,连结AO,如图1。∵∠B+∠AQC=180°,∠B=∠ACB=70°,∴∠AQC=110°。∵AQ=CQ, ∴∠AOQ=2∠ACQ=70°。∵OA=OQ,∴∠AQO ②当点Q在 上,AQ=CQ时,连结AO,如图2。 ∵∠AQC=∠B,∠B=∠ACB=70°,∴∠AQC=70°。 55°。∴∠AOQ=2∠QCA=110°。∵OA=OQ , ③当点Q在 上,AC=CQ时,连结AO,如图3。∵∠AQC=∠B,∠B=∠ACB=70°,∴∠AQC=70°。∵AC=CQ,∴∠QAC=∠AQC=70°。 ∴∠ACQ=180°-∠QAC-∠AQC=40°。 ∴∠AOQ=2∠ACQ=80°。∵OA=OQ,∴∠AQO 综上所述,∠AQO的度数为35°或50°或55°。 16.4 【解析】如图,过点C作CA'∥MN,且(CA'=MN=1,连结CM,A'N,AA',AC。∴四边形A'CMN为平行四边形。∴A'N=CM。∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD,∠ABC=90°。∴CA'⊥AC,AC为⊙O的直径。∴OA=OC。∴AM=CM=A'N。∴△AMN的周长=AM+AN+MN= ∵⊙O的面积为2,∴⊙O的半径为 在Rt△A'AC中,A'A 周长的最小值为3+1=4。 17.由 得∠ABC=90°,∴∠ADC=90°。 18.(1)连结OM,ON。∵OA=OB,AC=BD,∴OC=OD。在Rt△OCM和Rt△ODN中,∵OM=ON,OC=OD。∴Rt△OCM≌Rt△ODN。∴∠AOM=∠BON。 成立。理由:连结AM,BN。∵MC⊥AB，C为OA中点，∴由等腰三角形三线合一可证AM=OM。又∵OA=OM,∴OA=OM=AM。∴△OAM为等边三角形,∠AOM=60°,同理可证∠BON═60°。∴∠AOM=∠BON=∠MON= 19.(1)连结OC。∵C,D是半⊙O的三等分点, ∴∠AOC=∠COD=∠BOD。∵AB为直径, ∵OC=OA,∴△AOC为等边三角形。∴∠A=60°。 ∴∠BOD及∠A的大小分别为60°,60°。 (2)连结OC。∵CF⊥AB,∴CF=HF。在Rt△OCF中 , 20.(1)作 OE⊥AB 于 点 E,OF⊥CD 于 点 F,连结 OB,OD,如图。 ∵PO平分∠BPD,OE⊥AB,OF⊥CD,∴OE=OF,AE=BE,CF=DF。∴Rt△OBE≌Rt△ODF。∴BE=DF。∴AB=CD。 即 (2)在Rt△POE中,∵∠BPO=45°,∴△POE为等腰直角三角形。∴OE=PE=PA+AE=1+AE。而AE=BE,∴OE=1+BE。在Rt△BOE中, 解得BE=-4(舍去)或BE=3。∴AB=2BE=6。 21.(1)∵AE和BE分别平分∠BAC和∠ABC,∴∠BAD=∠CAD,∠ABE=∠CBE。∵∠CAD=∠CBD,∴∠BAD=∠CBD。∵∠DBE=∠CBD+∠CBE, ∠DEB= ∠BAD+ ∠ABE, ∴∠DBE=∠DEB。∴BD=DE。 (2)如图,连结OD交BC于点F。 ∵AE 平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD。 ∴OD⊥BC,即∠DFB=90°, BF=CF。 ∵OA=OB,∴OF是△ABC的中位线。 ∵AB=10,∴OA=OB=OD=5。∴DF=OD-OF=2。∵AB 为直径 ,∴∠ACB=90°。∴BC= 4。在Rt△DFB中, 由(1)得 ∵AB为直径,∴∠ADB=90°。 22.(1)∵AB=AC,∠A=30°,∴∠B=∠C=75°。 ∵EF∥CB,∴∠AEF=75°。∵DE和FE关于AC满足“光学性质”,∴∠AEF=∠DEC=75°。∴∠EDC=180°-∠DEC-∠DCE=180°-75°-75°=30°。 (2)如图 ,连 结 AD。∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴ ∠ABC= ∠ACB=75°。∵AB是直径,∴∠ADB=90°。 ∴AD⊥BC。∴BD=CD,∠BAD= ∴∠FDB=∠EDC=30°。 ∴DF,DE关于BC满足“光学性质”。 ∵∠EDF=180°-30°-30°=120°,DE=DF, ∴∠DEF=∠DFE=30°。∴∠DEF=∠EDC。 ∴EF∥BC。∴∠AEF=∠ACB=75°,∠AFE=∠B=75°。∴∠AFE=∠DFB=75°,∠AEF=∠DEC=75°。∴FE,DE关于AC满足“光学性质”,EF,DF关于AB满足“光学性质”。∴△DEF为△ABC的“光线三角形”。 23.(1)∵A是 的中点， ∴AE=AF。在△AEC和△AFB中, ∴AC=AB。 ∵AM⊥EB,∴MC=MB。 ∴EC+CM=BM+BF,即EM=BM+BF。 (2)∵∠AEB=45°,AE=20,AM⊥EB,∴EM=AM=10 。∵△AEF是等边三角形,∴EF=AE=AF=20。 ，即A是 的中点。∴MB+BF (3)如图,延长EB至点C,使得BC=BF=19,连结AC,AF,FC。设∠AEB=∠AFB=α。∵EB=25,BM=3,∴EM=MC=22。 ∵MA⊥EB,∴EA=AC,∠AEB=∠ACB。∵BC=BF,∴∠BFC=∠BCF。∵∠AFB=∠AEB, ∴∠AFC=∠ACF。∴AF=AC。∴AE=AF。C ∵∠EBF=58°,∴∠EAF=58°。 24.(1)连结AD,BC,如图1。∵AE=DE,∴∠A=∠D。=BE。 (2)连结BC,如图2。∵AB⊥CD,∴∠EBC+∠ECB ∴∠AOC+∠BOD=2(∠ABC+∠BCD)=2×90°=180°。∴∠AOD+∠BOC=360°-180°=180°。 (3)延长ME交BD于点H,如图3。 ∵AB⊥CD,∴∠AEC=90°。 ∵M为AC的中点,∴AM=ME=MC。 ∴∠A=∠MEA。而∠MEA=∠BEH。 ∴∠A=∠BEH。∵∠C=∠B,∠A+∠C=90°, ∴∠BEH+∠B=90°。∴EH⊥BD,即ME⊥BD。 (4)作OP⊥AC于点P,连结OA,OC,OB,OD,如图4。 ∵OP⊥AC,ON⊥BD,∴∠AOP=∠AOC,AP=Cl 由(2)得∠AOC+∠BOD=180°， 90°。而∠AOP+∠OAP=90°,∴∠OAP=∠DON。 ∴△OAP≌△DON(AAS)。∴AP=ON。∴AP=PC=ON。 学科网（北京）股份有限公司 $