《第3章 圆的基本性质》单元巩固练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 浙教版九年级上册《圆的基本性质》单元巩固卷，通过基础与综合题结合，融入唐代“桨轮船”等文化情境，考查圆的性质、计算及应用，适配单元复习，提升数学眼光与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|正六边形内角和、圆周角定理、弦相交|基础巩固，结合几何直观| |填空题|6/18|内接四边形、阴影面积、弧长计算|能力提升，注重空间观念| |解答题|8/72|切线证明、垂径定理、实际应用（桨轮船）|创新应用，体现推理意识与应用意识|

《第3章 圆的基本性质》单元巩固练习 2026-2027学年浙教版新教材数学九年级上册 一、选择题（每题3分，共30分） 1． 正六边形的内角和是（　　） A．360° B．540° C．720° D．900° 2．如图，AB是半圆的直径，点 C在半圆上，若∠BAC=40°，则 的度数是（　　) A．40° B．80° C．100° D．140° 3． 如图， 弦AC， BD 相交于点 E， 且点 C为 的中点， 连结AD， AB， BC. 若∠ABC=110°， 则∠AEB=（　　) A．60° B．70° C．80° D．90° 4．秀秀在综合实践课上，把直尺和量角器按如图方式叠放，点D、E、B在同一条直线上，点D，A，C，E所对的刻度分别为，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5． 如图，DE是△ABC的中位线，以点D为圆心，DE的长为半径作弧交边BC于点 F.若AC=6， ∠C=70°，则扇形EDF的面积为（　　) A． B． C．π D． 6．如图，四边形是的内接四边形，若，的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，内接于，，，是直径，交于点E，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图某桨轮船的轮子被水面截得的弦 AB长4m，轮子的吃水深度 CD为1m，则该桨轮船的轮子直径为(　　) A．6m B．5m C．4m D． 10．如图，为的直径，点C在上，若，则长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11． 如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，BE 是⊙O 的直径，连结 CE，DE.若∠BAD=110°，则∠DCE=　 　°. 12．如图，在等边△ABC中，AB=2，D是边AB的中点，以点C为圆心，CD的长为半径作圆，交边AC于点E，交边BC于点F，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留根号和π）. 13．如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点E，连结和．若，则阴影部分面积为　 　． 14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD=40°，若⊙O的半径为5，则弧CD的长为 　 　． 15．如图，⊙O的半径为1，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为　 　． 16．如图，在中，弦半径于点，连接若，，则的长是　 　． 三、解答题（共8题，共72分） 17．如图，AB是⊙O的弦(非直径)，以A为圆心，OA 为半径画弧，交⊙O于点 C，以B为圆心，OB为半径画弧，交⊙O于点D，C，D位于AB 的两侧，连结 CD。 （1） 求证： AB=CD。 （2） 连结BD， 若∠ABD=40°， OA=5， 求 的长。(结果保留π) 18． 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP=90°，连接PC． （1）求证：PC与⊙O相切； （2）若AO=3，OP=5，求AC的长． 19．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为米，轮子的半径为米，求轮子的吃水深度． 20．如图，是的直径，点是圆上一点，连结，，过点作于点，交于点。 （1）求证：。 （2）若，，求的长。 （3）在（2）的条件下，求弓形的面积。 21．如图， 是 的外接圆，，，，. （1） 求圆心 O 到 BC 的距离； （2） 求 AD 的长. 22． 如图1，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O分别交BC，AB于点D，E. （1）求证：BD=CD. （2）若，BE=4，求⊙O半径. （3）如图2，点F在⊙O上，，连接DE，EF.求证：∠AEF=∠BED. 23．如图1，在△ABC中，AC=BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D， 连结OC．与⊙O相交于点 E． （1） 连结DE， 求∠ADE的度数； （2） 如图2， 若点D为AC的中点， 且AC=6， 求的长． 24．如图，点A，B，C在⊙O上，以AB，BC为边作 （1）如图1，当AB经过圆心O时，求的度数. （2）如图2，当CD与⊙O相切时，若⊙O的半径为2，求与⊙O的重叠部分（阴影部分）的面积. 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：根据多边形的内角和公式可知，正六边形的内角和为（6-2）×180°=720°. 故答案为：C. 【分析】本题考查多边形内角和公式（n-2）×180°（n≥3且n为正整数）.将n=6代入公式即可求解. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，连接． ∵是半圆的直径， ∴． ∵， 在中，． ∴的度数为； 故答案为：C. 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角求出∠B的度数，然后根据圆周角定理解答即可. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：如图所示，连接， ，， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：B. 【分析】连接，由圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理的推论得到，然后根据三角形外角解答即可． 4．【答案】A 【解析】【解答】解：如图所示： 根据题意， 故选： A. 【分析】确定圆心O，连接OA和OC，得出 和 的度数，再根据三角形的内角和求解即可. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：是的中位线，， ，且， ， ， ， ， 扇形的面积为． 故答案为：C. 【分析】根据三角形的中位线求出的长度和，然后根据等边对等角和三角形的内角和求出，利用扇形面积公式计算即可． 6．【答案】D 【解析】【解答】解：四边形是的内接四边形， ， ∵， ∴， 故答案为：D． 【分析】根据圆内接四边形性质可得，再根据圆周角定理即可求出答案. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∵是直径 ∴ ∴ ∴． 故答案为：D． 【分析】首先由三角形内角和定理求出，由同弧所对的圆周角相等得到，由直径所对的圆周角是直角得到，由直角三角形的量锐角互余求出，最后利用三角形外角的性质求解即可． 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【分析】根据垂径定理，再根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：∵AB=4， OC⊥AB， ∴， 设该桨轮船的轮子半径为rm， 在Rt△AOD中，AO2=OD2+AD2， 即r2=(r-1)2+22， 解得： ∴该桨轮船的轮子直径为(m)， 故答案为：B. 【分析】设该桨轮船的轮子半径为r，在Rt△AOD中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵，为的直径， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴长为. 故选：C． 【分析】先说明为等边三角形，则可得，再求出度数，最后由弧长公式求解． 11．【答案】20 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∵BE是⊙O的直径， 故答案为：20. 【分析】由 ，再结合圆周角定理的推论，即可计算 的大小. 12．【答案】 【解析】【解答】解：连接CD， ∵在等边 中，AB=2，D是边AB的中点， 阴影部分的面积为 故答案为： 【分析】连接CD，根据阴影面积等于 求解即可. 13．【答案】 【解析】【解答】解：连接，如图， ∵是等腰三角形，，， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 过点作则， ∴， ∴ 过点作于点，则四边形是矩形， 所以，， ∴， ∴． 故答案为：． 【分析】连接，由可得是等腰直角三角形，即可得到，过点作得到，过点作于点，则是矩形，即可得到，然后根据解题即可． 14．【答案】π 【解析】【解答】 解：如图，连接OA、OD、OC， ∵∠B＝58° ，∠ACD=40° . ∴AOC=2B=116°，AOD=2ACD=80°， ∴DOC=36°， ∴弧CD的长为 故答案为：π. 【分析】根据圆周角定理计算出AOC=2B=116°，AOD=2ACD=80°，再由角的和差运算计算出弧DC所对的圆心角度数，利用弧长公式，计算即可解答. 15．【答案】 【解析】【解答】如图， ∵与是同弧所对的圆周角与圆心角∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长＝＝， 故答案为：． 【分析】根据圆周角定理得，再根据圆内接四边形的性质得，进一步得即可解得∠BOD，最后根据弧长公式计算可得到答案． 16．【答案】8 【解析】【解答】解：OA，OB是 的半径， OA=OB， ， OD=OA-AD=5-2=3cm， ， BC=2BD， BC=8， 故答案为：8. 【分析】由 的半径，结合已知求得OD的长，再利用垂径定理和勾股定理即可求解. 17．【答案】（1）证明： 连结OA， OC， AC， ∵由题可得OA=OC=AC ∴△AOC为等边三角形 ∴ 同理 ∴ ∴AB = CD ∴AB=CD （2）解：连结BD、OB、OD ∵由题意知OB=OD=BD ∴△BOD为等边三角形 ∴∠OBD=60° ∵∠ABD=40° ∴∠OBA=∠OBD-∠ABD=60°-40°=20° ∵OA=OB ∴∠OAB=∠OBA=20° ∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-20°-20°=140° ∴​​​​​​​ 【解析】【分析】(1)由作图知△AOC为等边三角形，同理△BOD为等边三角形，即知AB=CD； (2)由△BOD为等边三角形知∠OBD=60°，由此得∠OBA的度数和∠AOB的度数，由弧长公式可得的长 . 18．【答案】（1）证明：连接OC， ∵OC=OA， ∴∠OAC=∠OCA， ∵OP∥AC， ∴∠OAC=∠BOP，∠OCA=∠COP， ∴∠COP=∠BOP， ∵OP=OP，OC=OB， ∴△COP≌△BOP（SAS）， ∴∠OCP=∠OBP=90°， ∴OC⊥PC， ∴PC与⊙O相切 （2）解：连接BC交OP于点D， ∵△COP≌△BOP， ∴PC=PB，OB=OC， ∴OP垂直平分BC， ∵AO=BO=3，OP=5，∠OBP=90°， ∵AB是⊙O的直径， 【解析】【分析】（1）连接，根据平行线的性质及等边对等角得到，然后根据SAS得到，即可得到，证明解困即可； （2）根据全等可得垂直平分，然后根据等面积法求出长，即可求出长，再根据勾股定理求出AC长即可． 19．【答案】解：根据题意可得，，米， ∴（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴轮子的吃水深度米． 【解析】【分析】根据题意可得，米，根据垂径定理可得米，在中，运用勾股定理可得米，再根据边之间的关系即可求出答案. 20．【答案】（1）证明：∵是的直径， ∴． ∵，即， ∴， ∴． （2）解：在中，点O为的中点， ∵， ∴点D为中点． ∴． 设圆的半径为r，则． 在中，， 即，整理可得， 解得． ∵点O与点D分别为与的中点， ∴． （3）解：连接，如图， ∵圆的半径为6，即， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即， ∴弓形的面积． 【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角得到，再根据垂直的定义可得，根据平行线的判定得到结论即可． （2）根据垂径定理得到AD长，设圆的半径为r，在中根据勾股定理求出r的值解答即可． （3）连接，求出，即，即可得到，进而得到哦啊为等边三角形，求出，然后根据弓形面积=扇形OAC面积-△AOC的面积解答即可． 21．【答案】（1）解：如图所示，过点O作于点E， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， = == ； （2）解：如图所示，连接 AO，过点 作 于点 ，则四边形OEDF是矩形， ， ， ， ， 在 中，， 在 中，， ， . 【解析】【分析】（1）过点作于点，根据圆周角定理得到∠BOC=90°，然后根据等腰直角三角形的性质解答即可； （2）连接，过点作于点，即可得到是矩形，进而得到，根据勾股定理求出OB和AF长，根据线段的和差解答即可． 22．【答案】（1）证明：连接AD，如图， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴BD=CD． （2）解：连接CE，如图 ∵ AC为 ⊙O 直径 ∴ ∵ ∴ 在Rt△BEC中，由勾股定理得 设 ⊙O半径为r，则AC=2r，AE=2r-4 在Rt△ACE中，由勾股定理得 ∴ 解得r=5； （3）证明：连接AD，DF，如图， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB，∠BAD=∠CAD， ∴， ∵， ∴， ∴∠EFD=∠CDF， ∴EF∥CD， ∴∠AEF=∠B， ∵四边形AEDC为圆的内接四边形， ∴∠BED=∠ACB， ∴∠AEF=∠BED 【解析】【分析】(1)由直径所对的圆周角为直角可知AD⊥BC，利用等腰三角形三线合一性质可得BD=CD； (2)首先在Rt△BEC中可求，然后设未知数表示AE，AC的长度，在Rt△ACE中再次利用勾股定理可求出圆的半径为5； (3)易证∠B=∠ACB，∠BAD=∠CAD，可知，结合条件可得，利用同圆中，等弧所对的圆周角相等可知∠EFD=∠CDF，于是有EF∥CD，由平行线的性质得∠AEF=∠B，再结合圆内接四边形的性质等角代换可得∠AEF=∠BED。 23．【答案】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在四边形中，∵ ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：． ​​​​​​​ 【解析】【分析】（1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可； （2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解． 24．【答案】（1）解：根据题意可得为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． （2）解：连接交于点，连接，如图： ∵与相切， ∴， 在平行四边形中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故点在的垂直平分线上， 又∵， ∴是的垂直平分线． ∴， 在和中， ， ∴， 即， 故阴影部分的面积即为扇形的面积， 扇形的面积． 【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论得到，然后求出，再根据平行四边形的对角线等解答即可； （2）连接交于点，连接，根据切线的性质可得，根据平行四边形的性质得出，即可根据垂径定理得出，，进而得到△OAC是等边三角形，进而得到，根据SAS得到△AOE≌△BCE，即可得到，然后根据扇形的面积公式计算即可． 学科网（北京）股份有限公司 $