第五章 数列 章末测试卷-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册练习手册（人教B版）

第五章章 (时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.数列-1,8,524，的-个通 -79 项公式是() A.a,=(-1).n2+n 2n+1 B.a,=(-1).n243 2n-1 C.a,=(-1).(n+1)2-1 2n-1 D.a,=(-1)n.n(n+2) 2n+1 2.记Sn为等差数列{a}的前n项和， 若a+as=24,S。=48,则{a}的公差为（) A.8 B.4 C.2 D.1 3.用数学归纳法证明不等式1，+1 n+1n+2 1 3+…+<号-2m+(n≥2，n∈N+)的 过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左 边应添加的项为() A.2k+2 1 1 2k+12k+2 C.2k+1+2k+2k+ 1 111 D.2k+1+2k+2k+1k+2 第五章章末测试卷 末测试卷 满分：150分) 4.图1是中国古代建筑中的举架结构， AA',BB,CC,DD'是桁，相邻桁的水平 距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古 代建筑屋顶截面的示意图.其中DD,CC, BB1,AA1是举，OD1,DC1,CB1,BA1是相 等的步，相邻布的举、步之比分州为册- 05,6C-,阻，41：6已知k: k2,k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k3=（ A D O D. 图1 图2 第4题图 A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 5.设Sn,Tn分别为等差数列{a},{b 宁号，则( 的前n项和，且=3n+2 b2+b6 A器 B.26 c D子 6.北京天坛的圜丘坛为 古代祭天的场所，分上、中、 下三层，上层中心有一块圆 形石板（称为天心石），环绕 片材 天心石砌9块扇面形石板构 第6题图 高中数学选择性必修第三册人教B版 成第一环，向外每环依次增加9块，下一层 的第一环比上一层的最后一环多9块，向外 每环依次也增加9块，已知每层环数相同， 且下层比中层多729块，则三层共有扇面形 石板的块数为（不含天心石）() A.3699 B.3474 C.3402 D.3339 7.对于实数x,[x]表示不超过x的最 大整数.数列{a}的通项公式满足an= 1 ,前n项和为Sn,则[S]+ Vn+1+Vn [S2]+…+[So]=() A.105B.120C.125D.130 8.若a,b是函数f(x)=x2+mx+n(m<0, n>0)的两个不同的零点，且a,b,-1这三 个数可适当排序后成等差数列，也可适当排 序后成等比数列，则m+n=() A.-3 B.-1 2 c D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知等比数列{a}中，满足a=1, q=2,Sn是{a,}的前n项和，则下列说法正 确的是() A.数列{a2}是等比数列 B.数列 1 是递增数列 a C.数列{loga}是等差数列 D.数列{a}中，S1o,So,So仍成等比 数列 2 10.已知无穷等差数列{a}的前n项和 为Sn,S6<S7,且S>Sg,则() A.在数列{a}中，，最大 B.在数列{a}中，a或a4最大 C.S3=S1o D.当n≥8时，an<0 11.已知Sn是等差数列{a}的前n项 和，S2019<S221<S20,设bn=a,an+1an+2,数列 从的前n项和为7，则下列结论中正确的 有() A.a220>0 B.221<0 C.201920m0>2021·202 D.当n=2019时，Tn取得最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分， 共15分， 12.在各项均为正数的等比数列{a} 中，a1=2,且a2,a4+2,a5成等差数列，记S 是数列{a}的前n项和，则S 13.如果数列{a}满足a2-=k(k 为常数)，那么数列{a}称为等比差数列， k称为公比差.给出下列四个结论：①若数 列{a}满足马ml=2n,则该数列是等比差数 列；②数列{n·2是等比差数列；③所有 的等比数列都是等比差数列；④存在等差数 列是等比差数列.其中所有正确结论的序号 是 14.数列{a}满足am2+(-1)an=3n-1, 前16项和为540，则a= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知数列{a}中，a=m, 且at1=3an+2n-1,bm=an+n(n∈N*）· (1)判断数列{b}是否为等比数列， 并说明理由 (2)当m=2时，求数列{(-1)a}的前 2022项的和S222. 16.(15分)已知公比不为1的等比数 1 列{a,其前n项和为S,a=8,且S, S2,3a成等差数列. (1)求数列{a}的通项公式. (2)若bn=a,cos(nT),求数列{nbn}的 前n项和. 第五章章末测试卷。 17.(15分)Sn为等差数列{a}的前n 项和，且4=1，S7=28.记bn=[lgan],其中 [x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0， [1g99]=1. (1)求b1,b1,b1o (2)求数列{b}的前1000项和. 18.(17分)已知数列{a}的前n项和 为Sn,首项为a,且25-a,=a (1)证明：{a}为等差数列. (2)若数列{a}的首项为-1，公差为 2,且不等式a,-2-(2入-入)<0对任意的正整 数n恒成立，求实数入的取值范围. (3 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 19.(17分)森林资源是全人类共有的 宝贵财富，其在改善环境、保护生态可持续 发展方面发挥着重要的作用.为了实现到 2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加 60亿立方米这一目标，某地林业管理部门 着手制订本地的森林蓄积量规划.经统计， 本地2020年底的森林蓄积量为120万立方 米，森林每年以25%的增长率自然生长，而 为了保证森林通风和发展经济的需要，每年 冬天都要砍伐掉s万立方米(10<s<30)的 森林.设am为自2021年开始，第n年末的森 林蓄积量（单位：万立方米） (1)请写出一个递推公式，表示a+1,a 两者间的关系. (2)将(1)中的递推公式表示成a+1- k=r(a,-k)的形式，其中r,k为常数， (3)为了实现本地森林蓄积量到2030 年底翻两番的目标，每年的砍伐量s最大为 多少万立方米？（精确到1万立方米）》 参考数据：=-596，°=745 510 4≈9.31. (4 M测试卷参考答案 >“第五章章末测试卷 1D(解析】数列-1，号，与，头，，即数列 ,24,35,5,,放它的一个通项公式 3 71 是a,=(-1.nn+2).故选D 2n+1 2.B【解析】4+as=aM+3d+a1+4d=24,S=6a+6x5d= 2 48,联立 6a+15-48.②①x3-2得(21-15ad-24,即 2a+7d=24,① 6d=24,∴.d=4.故选B. 3.C【解析】当n=k时，不等式左边=中十k+2 1 +: 1 当1时，不等式左边2动+点+…叶分 1 1 +2+2两式相谈2+22中敢成C 1 4.D【解析】设OD,=DC=CB1=BA1=1,则CC1=k1, BB1=k2,AA1=k3,依题意，有k3-0.2=k1,k30.1=k2,且 DD+CC+BB+M1=-0.725,0.5+3k-0.3=0.725,故k= OD+DC+CB+BA 4 0.9.故选D. 5.A【解析】由题意，S,Tn分别为等差数列{a}, 6}的前n项和，且=3n+2 T 4n+5 不妨取S=3n2+2n,T=4n2+5n. 当n=1时，a=S1=5,当n≥2时，a=S。-Sn=6m-1, 经验证，当n=l时上式成立. 综上，数列{a}的通项公式为a,=6n-1. 同理可得，数列{b}的通项公式为b=8n+1, 州常-会器故选A 6.C【解析】设第n环扇面形石板块数为a,第一 层共有n环，则{a}是以9为首项、9为公差的等差数 列，a,=9+(n-1)×9=9n. 设S。为{a}的前n项和，则第一层、第二层、第 三层的块数分别为Sn,S-Sn,Sn-S,:下层比中层多 729块，.S-S2m=S2-S+729, 参考答案。 即3n(9+27n)_2n(9+18m）=2m(9+18n）_n(9+9n）+ 2 2 2 2 729,即9n2=729,解得n=9, S=Sm=27x(9+9x27)=3402.故选C 2 7.B【解析】a= ++V元=VI-Vn,S.= 1 (V2-1)+(V3-V2)+…+(Vn+I-Vn)=Vn+1-1. 当1≤n≤2时，[Vn+1-1]=0:当3≤n≤7时， [Vn+1-1]=1;当8≤n≤14时，[Vn+1-1]=2: 当15≤n≤23时，[Vn+I-1]=3;当24≤n≤34 时，[Vn+1-1]=4,当35≤n≤40时，[Vn+1-1]=5. ,∴.[S1]+[S2]+…+[So]=2×0+5×1+7x2+9×3+11×4+6x5= 120.故选B. 8.A【解析】a,b是函数fx)=x2+mx+n(m<0,n> 0)的两个不同的零点，a+b=-m>0,ab=n>0,可得a, b都是正数， 由△=m2-4n>0,可得(a+b)2-4ab=(a-b)2>0 不妨假设a>b>0,a,b,-1这三个数可适当排序 后成等差数列， 则a,b,-1需按从大到小或从小到大排列， b为-1，a的等差中项，即-1，b,a或a,b,-1成 等差数列，.a-1=2b. 又.a,b,-1这三个数可适当排序后成等比数列， 则-1需为a,b的等比中项，即a,-1,b或b,-1, a成等比数列，即b=(-1)P1,解得a=2,b=号（舍 去负值) 从而得到m=-(a+6)=一多，abl,mn=多 故选A. 9.AC【解析】等比数列{a}中，满足a=l,q=2, a=2-,∴=22-，.数列{a}是等比数列，故A正确： 又日号，数到日是证减数别.收 a. B错误； loga,=log2-=n-1,.{loga,}是等差数列，故C 正确； 数列a中，Sw号21,5-201，S-20 79 高中数学选择性必修第三册人教B版 1,S,S0,So不成等比数列，故D错误.故选AC 10.AD【解析】S<S,S-S。=a>0. S>Ss,∴Sg-S,=as<0,.等差数列{a}公差d=as a<0,∴{a}是递减数列，m最大，故A正确，B错误： S0-S3=a4+5+a6+a+as+a+a0=7a>0,.S3≠S10,故C 错误； 当n≥8时，an≤as<0,即a<0,故D正确. 故选AD. 1l.ABC【解析】设等差数列{a}的公差为d, S2ou9<S20m1<S20m,可得S2021-S2m=2m1<0,S2n-S2019= a2m>0, S20e1-S209=a20e1+20mn>0, 即a20o>-a20e1>0,a2-d>-2021-d>0,即a209>-a20m> 0,.a2os2m>2ma2m,dk0,即数列{a}递减， 且a4>0,a2>0,…,>0,m1<0. 又由bn=aan+1a+2, 可得1=1=11-1 b ddmmd2 2d drdm amdn2 则a女山 dudntl drrt dn2 2 da.a.o.,由d<0,要使T.取最大值，则 11-1 1-1一取得最小值 a12a+1an+2 1 >0,而a23>a34>·…>20192020>a2021a202< an+ian+2 020222023<·, .当a=2020时， 1-1一取得最小值. aa2 an+ian+2 综上，可得正确的选项为A,B,C.故选ABC. 12.126【解析】设等比数列{a}的公比为q,a, a4+2,5成等差数列，故2(a4+2)=+a.又a=2,故 2(2·g3+2)=2g+2q,即g-2g3+q-2=0,(g3+1)(q-2)=0. q>0,q=2,5.2x129=126 1-2 13.①③④【解析】①数列{a}满足41=2n,则 2-au=2(n+1)-2n=2,满足等比差数列的定义，故① 正确； ②数列{n2,a2_1=n+2)22-(n+1)·2 autl a (n+1).2m1 n…2m n(n+2):2-(n+1)2.2-2 n(n+1) n(n+l,不满足等比差数列的定 80 义，故②错误： ③等比数列a2-a1=0,满足等比差数列的定义， antl an 故③正确； ④设等差数列的公差为d,则a2_a1=a+2d_a+d duel dn da+d a -d2 a.(a+d)' 故当d-0时，满足a2-a1-0,故存在等差 数列是等比差数列，即④正确. 14.7【解析】a2+(-1)"a=3n-1, 当n为奇数时，a2=a+3n-1: 当n为偶数时，an2+a,=3n-1. 设数列{a}的前n项和为S, S16=a1+2+a3+a4+·+a16 =a1+a3++…+a15+(2+a4)+…+(a14+a6） =a+(a+2)+(a+10)+(a+24)+(a+44)+(a+70)+(a+ 102)+(a+140)+(5+17+29+41) =8a+392+92=8a1+484=540, ∴.a1=7. 15.解：(1)an=3a+2n-1,.bp1=a+n+l=3a+2n- 1+n+1=3(a+n)=3bne 当m=-1时，b=0,故数列b}不是等比数列： 当m≠-1时，b1≠0，.b=3,故b】是首项为m+ bn 1、公比为3的等比数列 (2)由(1)知，当m=2时，b}是首项为3、公比 为3的等比数列， .b=33-=3,∴.a,=b-n=3”-n, .(-1)a=(-3)n(-1)n. S=3)x[-3)2@1-[(-1+2)+(-3+4)++ 1-(-3) (-2021+2022)1=3233-101=3-4047 4 4 16.解：(1)设等比数列{a的公比为q(q≠1)， 且S1,S2,3成等差数列，有2S2=S+3a,2(a+)= ar+3a,即3-24-1-0，且g≠1，解得g=了 又aa号'7，即a=-3ng g (2)由(D.可知a=3,得6=号cos(.) ,cos(nm)=(-1), 6=号x-1兮，即bn兮∫ T=1x号+2xg3x3++xg广 g7=1x3+2x号+3x3+x3 ①-②，得号=3+3+兮片++3-x 3 31-2n-3 4×3m 17.解：(1)设{a}的公差为d,由已知有7+21d= 28,解得d=1. .{a}的通项公式为a,=n. b=[lg1]=0,bm=[1g11]=1,bo=[1g101]=2. 0,1≤n<10, 1,10≤n<100, (2):b= .数列{6}的前1000 2,100≤n<1000 3,n=1000, 项和为1×90+2×900+3×1=1893. 18.(1)证明：由题意， (2S.=nar+nan, 得 2Sn=(n-1)a+(n-1)a1(n≥2)， 两式相减，得(n-2)a,+a=(n-1)a-, (n-2)a+a=(n-1)a-1, 从而 (n-1)an+a=nan, 两式相减，得(n-1)a1+(n-1)an=(2n-2)ar 又n-l≠0，∴an+an=2a,.{a为等差数列. (2)解：数列{a}首项为-1、公差为2，∴.a=-1+ 2(n-1)=2n-3,.不等式a-2-(2A-A2)<0可化为2入-A2> 器 令fm)=20是(meN),则fn+1)fn)=2-1 2-1 2n 3-5多，当l或n-2时，有aa0,即 2-1 fn+1)>fn),∴.f3)>f2)>f1). 当n≥3时，有fn+1)-fn)<0,即fn+1)fn), 参考答案。 则f4)>f5)>f6)>…f(n)>… 又：3)=星，4)g,mm-圣 :不等式2认-A二3对任意的正整数n恒成立， 2A-A解得 实数入酸取值范国为分，多引 19.解：(1)由题意，得a=120×(1+25%)-s=150-s, aa(1+259%)=a-① (2)将a1-k=r(an-k)化成a+=Ta+k-Tk,② 5 5 比较①②的系数，得4’ = 解得4， k-rk=-s, k=4s」 六递推公式为a4k-=子a4), (3)a-4s=150-5s,且s∈(10,30)， a-4s≠0，由(2)，可知44s=5 a-4s4 即数列a4是以150-5，为首项、子为公比的等 比数列，其通项公式为a4=(150-5)一广 a=4+(150-5)-月 2030年底的森林蓄积量为数列{a}的第10项， a4+150-s0音月 由题意，森林蓄积量到2030年底要达到翻两番的目 标，aw≥4120，即4+(150-5s)-子≥40 即4s+(150-5s)×7.45=4s+1117.5-37.25s≥480，解得 s≤19.17 .每年的砍伐量最大为19万立方米。 >"第六章章末测试卷 1.C【解析】函数的导数∫)=+2·要使两数 在(-1，+m)上是被函数，则f")=-+中2≤0，在 （-1,+)恒成立，即2≤，0山，+210，即 b≤x(x+2)成立.设y=x(x+2),则y=x2+2x=(x+1)2-1, >-1,y>-1,.要使b≤x(x+2)成立，则有b≤-1.故 81