5.5 数学归纳法-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册练习手册（人教B版）

5.5 数 效果评价 1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角 和等于(n-2)π”时，证明第一步中o的取 值应为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.用数学归纳法证明1+a+a2+…+ad= 1-(a≠1，n∈N),在验证n=l成立 1-a 时，左边计算所得的项是() A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a 3.用数学归纳法证明“当n为正奇数 时，x+y能被x+y整除”时，第二步归纳假 设应写成() A.假设当n=2k+1(keN*)时成立， 再推出当n=2k+3时成立 B.假设当n=2k-1(keN*)时成立，再 推出当n=2k+1时成立 C.假设当n=k(k∈N*)时成立，再推 出当n=k+1时成立 D.假设当n=k(k≥1)时成立，再推出 当n=+2时成立 4.用数学归纳法证明“1-】+1-1+… 234 1-1=1+1 +2nm-2nn+l+n+2+…t (neN)”, 2n 由n=k(k∈N*)的假设证明n=k+1时，如 果从等式左边证明右边，则必须证得右边为 第五章数列。 学归纳法 A++2k+2k+ 1 1 k+1 2h2h+12k+2 C. ,1,1 1 1 1 D.k+2++2k+1+2k+2 5观察下列式子：1+空<子，1+宁+ 务，1+安+京+京子，则可归销出 1+1+1 2232++ (n+1小于() A.n B.2n-1 n+1 n+1 C.2n+1 D.2n n+1 +1 6.设f(x)是定义在正整数集上的函数， 且f(x)满足：“当fk)≥k2成立时，总可推 出f(k+1)≥(k+1)2成立”，那么下列命题总 成立的是() A.若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均 有fk)≥2成立 B.若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均 有f)≥k2成立 C.若f(7)<49成立，则当k≥8时，均 有fk)<k2成立 D.若f(4)=25成立，则当k≥4时，均 有fk)≥2成立 7.若f(n)=1+2+2+23+…+2m-1用数学归 纳法证明1+2+22+23+…+25是31的倍数(n∈ N),在验证n=1成立时，原式为 练(25 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 8.已知fn)=1,+1 n+1n42+…+ 3n-T (ne 1 N),则fk+1)=fk)+ 9用数学归纳法证1+写4+…叶 2n-12nn+l+2+…+hneN”的 11-1+1 2n 过程中，当n=k到n=k+1时，左边所增加的 项为 10.设数列{a}的前n项和为Sn,且对 任意的正整数n都有(Sn-1)2=aSn,则S= ;进一步通过计算求得S2,S,猜 想Sn= 11.有下列命题：1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N).使用数学归纳法证明. (26)练 12.已知1+2x3+3×32+4×33+…+nx3m-1= 3(na-b)+c对一切neN*都成立，那么a, b,c的值为() Aa=),6c=4 1 B.a-6-c=4 c0,b=号 D.不存在这样的a,b,c 提升练习 13.(多选题)下面四个判断中，不正确 的有() A.式子1+k+k2+…+km(n∈N*)中，当 n=1时，式子的值为1 B.式子1+h+k2+…+km-(n∈N*)中， 当n=1时，式子的值为1+k C式f1++号++2aeN) 中，当=1时，武子的值为1+分+分 D.设f(n)=1,+1 1 Fn+i+n+2++3n+l（ne N,则+1+2站4 1 1高中数学选择性必修第三册人教B版 则有a=57,a13=57.24,则有d=14=0.02,2025年10 13-1 月末的人口总数为a=+10d=57.2(万).故选B. 6.C【解析】哈雷彗星回到近日点的年份为a=1606+ 76n,奥伯斯彗星回到近日点的年份为b,=1606+70n,则 a,与bn公共项构成以1606为首项，70与76的最小公 倍数为公差的等差数列，又70与76的最小公倍数为 2660,则哈雷彗星与奥伯斯彗星同年回到近日点的年份 为c=1606+2660n.令n=1,则c1=4266.故选C. 7.子【解析】等腰直角三角形ABC中，斜边BC 2V2，∴AB=AC=a=2,AA1==V2,…,则A46=0= a-2x24 87折】1+242424…+210，号≥10， 2"≥101，n≥7，即至少需7s细菌将病毒全部杀死. 9.4【解析】设衣服上的污垢数量为a,洗涤次数为 ,通过题意，可知存留的污垢)是以}a为首项、子 为公比的等比数列，=子a,则(4广a≤1%→ n≥log4100=log210→n≥4，∴.至少要清洗4次才能使存 留的污垢不超过1%， 10.解：a=10(1+0.35%)=10.035, a2=10(1+0.35%)2≈10.070， a=10(1+0.35%)3≈10.105， a=10(1+0.35%)" 11.解：(1)设生物体内“℃含量最初为a, 则5730年后的含量为分4， 则ag4,解得g=}). 设x年后测得生物体内4℃含量为y, 则)=a3) (2)由题意，得a?)前=l%a,即（乃）病=l%, 两边取对数得5730lg2=2, 2 故=1g25730≈38069， (58 故该古人猿颅骨已存在了大约38069年」 12.5.3【解析】设每年存入x万元，则2025年初存 人的钱到2031年底本利和为x(1+2%)7,2026年初存人 的钱到2031年底本利和为x(1+2%),…,2031年初存 人的钱到2031年底本利和为x(1+2%),则x(1+2%)+ x1+29%++x1+2%)7=40即1.02x1-1.022=40,解 1-1.02 得x≈5.3. 提升练习 13.C【解析】由题意，按复利计算，设王先生每个 月还款a元，则王先生第一次还款a元后，还欠本金及 利息为10000(1+1.5%)-a元；第二次还款a元后，还欠 本金及利息为10000(1+1.5%)2-a(1+1.5%)-a;第三次还 款a元后，还欠本金及利息为10000(1+1.5%)3-a(1+ 1.5%)2-a(1+1.5%)-a,依次类推，直到第十二次还款后， 全部还清，即10000(1+1.5%)12-a(1+1.5%)"-a(1+1.5%)10- -a(1+1.5%)-a=0,即10000(1+1.5%)=a.1-1.0152, 1-1.015, 解得a≈900，故x=12x900=10800(元).按照单利算利 息，12月后，所结利息共10000×0.01525×12=1830 (元)，故y=10000+1830=11830(元)， ,y-x=11830-10800=1030(元).故选C. 14.2×7m【解析】设n个月后共有a只老鼠，且雌 雄各半，n+1个月后的老鼠只数满足a=4+12×受 (n∈N),∴.an1=7a.(neN)·又a=l4≠0，.al=7, ,数列{a}是以14为首项、7为公比的等比数列，n 个月后老鼠的只数a,=14×7-2x7. >m5.5数学到归纳法 效果评价 1.C【解析】边数最少的凸n边形为三角形，故no= 3.故选C 2.C【解析】当n=1时，左边=1+a+ad+l=1+a+2.故 选C 3.B【解析】第二步假设当n=2k-1(k∈N)时成 立，再推出当n=2(k+1)-1=2k+1时成立.故选B. 4.D【解析】由所证明的等式，可知当n=k+1时， 1 1 1 1 右边=k+1++…+2k+10可*2k+)k+2+…+2k+1 +2水2故选D 5.C【解析】观察所给式子，所猜测的分式的分母 为n+1,而分子3,5,7，…，恰好是第(n+1)个正奇 数，即2n+1.故选C. 6.D【解析】若f(3)≥9成立，由题意只可得出当 k≥3时，均有fk)≥k2成立，故A错误；若f5)≥25 成立，则当k≥5时均有fk)≥k2成立，故B错误；C 应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥ 2成立”，故C错误.故选D. 7.f1)=1+2+22+2+24【解析】当n=1时，f(n)=1+2+ 22+23+…+25-1=1+2+22+23+2.故答案为f(1)=1+2+22+ 23+24 8永2中解折】由a) 1 1 2(nEN), 可得)中+2+站化eN. 则+12中南+2 1 +2中南++站2中 11 即41++2 922懈标】由1写+ aeN 当n=k到n=k+1时， 左边增加了两项2水4,2水2 故答案为水122 参考答案。 10方中【解析】~数列a侧的前n项和为S 且HneN都有(S.-1)2=a,Sn, 则有(S-l)2=s,解得S=,S= 当n≥2时，a=Sn-S,则由 (S-1(SSs及S=7,解得S号 由(S1=(8s,及S号，解得S=圣 由S宁小号S猪想品 11.解：当n=1时，左边=1，右边=1=1，则原等式 成立 假设当n=k(keN)时，原不等式成立， 即1+3+5+…+(2k-1)=k2成立， 则当n=k+1时，1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+2k+1= (k+1)2, 即当n=k+1时原等式成立， .1+3+5+…+(2n-1)=n2对于任意n∈N成立. 12.A【解析】令n=1,2,3, 1=3(a-b)+c, 3a-3b+c=1, 得1+2×3=32(2a-b)+c, 即18a-9%+c=7, 1+2x3+3x32=33(3a-b)+c,81a-27b+c=34. 解得匹号b:子c=4故选A 提升练习 13.ABD【解析】对于A,当n=1时，式子=1+k, 故A错误； 对于B,当n=1时，式子=l,故B错误： 对于C,当l时，式子1+分+兮，故C正确： 对于D,f+1时)+k2+中3+欢4中 11 故D错误.故选ABD. 59