5.5 数学归纳法-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第三册人教B版 5.5数学归纳法 学习目标 1.了解数学归纳法的原理及适用范围， 2.掌握数学归纳法证明的两个步骤和一 个结论 3.能用数学归纳法证明一些简单的数学 命题 要点精析 利用数学归纳法解决有关的问题主要涉 及以下几个方面： (1)证明恒等式问题. (2)证明不等式问题 反思感悟 (3)证明数列中与猜想归纳有关的问题 用数学归纳法证明恒等式时，应关注 (4)解决有关几何问题， 以下三点： (5)解决有关整除性问题， (1)弄清n取第一个值o时等式两端 项的情况 川要点1证明恒等式问题 (2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增 例1用数学归纳法证明：1+3+…+ 加了哪些项，减少了哪些项 (2n-1)=n2(n∈N). (3)证明n=k+1时结论也成立，要设 法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n= k+1证明目标的表达式变形， B变式训练① 用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1) (n+1)(2n+1)时，从“n=k”到“n=k+1”,左 边需增添的代数式是（) A.(2h+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1) C.(2k+2)+(2k+3)》 D.(2k+2)+(2h+4)》 (36)学 第五章数列。 川要点2证明不等式问题 B变式训练2 例2试用数学归纳法证明：1+之+ 用数学归纳法证明不等式中十中2 ++2m≥2，neN. n +分岩aeN)的过程中，由递推到 n=k+1时，下列说法正确的是() A.增加了一项。1 2(k+1) B.增加了两项241和24 C.增加了B中的两项，但又减少了一 项1 八k+1 D.增加了A中的一项，但又减少了一 项，1 八k+1 要点3证明数列中与猜想归纳有关的· 问题 例3已知数列{a}的前n项和为Sn, 且满足a=3,Sn=a-1+n+1(n≥2）·求a, ,4的值，猜想数列{a}的通项公式并用 数学归纳法证明. 反思感悟 用数学归纳法证明不等式往往比证明 恒等式难度更大一些，方法更灵活一些.用 数学归纳法证明不等式的第二步时应注意 灵活运用证明不等式的一般方法，如比较 法、分析法、综合法，在具体的证明过程 中要注意当n=k+1时的递推目标，有目的 地放缩、分析直到凑出结论 学(37 高中数学选择性必修第三册人教B版 变式训练3 川要点4解决有关几何问题 已知数列{a,}的前n项和为Sn,且Sn 例4平面内有n(n≥2，n∈N)条直 2n-4(m∈N,),若已经算出a=l,a=2, 3 线，其中任意两条不平行，任意三条不过同 一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多 则猜想a=( 少？并证明你的结论， A.2n-1 B.n+1 n n C.2n-1 D. 2m-1 2-1 2 反思感悟 1.“归纳一猜想一证明”解决的主要问 题： (1)已知数列的递推公式，求通项公 式或前n项和. (2)由一些恒等式、不等式改编的探 究性问题，求使命题成立的参数值是否存在， (3)给出一些简单命题(=1,2,3，…)， 猜想并证明对任意正整数n都成立的一般 性命题 2.“归纳一猜想一证明”的解题步骤： (1)计算，即根据条件，准确计算出 变式训练④ 前若干项，这是归纳、猜想的基础。 (2)归纳与猜想，即通过观察、分析、 k(k≥3，k∈N)棱柱有f(k)个对角面， 比较、综合、联想，猜想出一般性结论 则(k+1)棱柱的对角面个数fk+1)为 (3)证明，对一般性结论用数学归纳 () 法进行证明。 A.f(k)+k-1 B.f(k)+k+1 C.f(k)+k D.f(k)+k-2 反思感悟 用数学归纳法解决几何问题的方法： (1)从特殊入手，寻找一般性结论，并 探索n变化时交，点个数间的关系 (38)学 第五章数列。 (2)利用数学归纳法证明几何问题时， 上.记将n个直径不同的盘子从A杆移动到 关键是正确分析由n=k到n=k+1时几何图 C杆所需要的最少次数为a 形的变化规律，并结合图形直观分析，要 (1)试写出a,2,,a4的值. 弄清原因 (2)由(1)猜想数列{a}的通项公式， 并加以证明. 川要点5整除性问题 利用数学归纳法证明整除性问题时，关 键是整理出除数因式与商数因式积的形式 这就往往要涉及“添项”、“减项”与“因 A B 式分解”等变形技巧，凑出=k时的情形， 图5-5 从而利用归纳假设使问题得证， 例5用数学归纳法证明“n3+5n(n∈ N+)能被6整除”的过程中，当n=k+1时， 式子(k+1)3+5(k+1)应变形为 B变式训练⑤ 用数学归纳法证明“5-2”能被3整除” 的第二步中，当n=k+1时，为了使用假设， 应将5+1-2+1变形为（) A.(5-2)+4×5-2 B.5(5-2)+3x2 C.(5-2)(5-2) D.2(5-2)-3×5 数学文化 例相传在古印度圣庙里，有一种被称 为汉诺塔的游戏.该游戏是一块铜板装置上， 有三根杆（编号A,B,C),在A杆自下而 上、由大到小按顺序放置64个金盘，如图 所示.游戏的目标：把A杆上的金盘全部移 到C杆上，并仍保持原有顺序叠好.操作规 则：每次只能移动一个盘子，并且在移动过 程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在 学(39当m=10时.241-2-1025-号1025<120， 当m=1时，241-2-2049--2049120， 因此需要11天才能打穿. 故选B. >m5.5数学归纳法 要点精析 例1证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立. ②假设当n=k(k≥1)时，等式成立，即1+3+…+ (2k-1)=k2 那么，当n=k+1时，1+3+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]= k2+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2 这就是说，当n=k+1时等式成立. 根据①和②，可知等式对任意正整数n都成立 变式训练1C【解析】当n=k时，左边共有2k+1个连 续自然数相加，即1+2+3+…+(2k+1),.当n=k+1时， 左边共有2k+3个连续自然数相加，即1+2+3++(2k+ 1)+(2k+2)+(2k+3),.左边需增添的代数式是(2k+2)+ (2k+3).故选C. 例2证明：①当-2时，1+分-子2分号，不等式 成立 ②假设n=k(k≥2，keN)时不等式成立， 则当n=k+1时， ++++ 1 …+2(k+1)2 a-+4 2-*+而 1 2大动 2中不等式成立 由①②知原不等式在n∈N,n≥2时均成立. 变式训练2C【解折】当n时，不等式左边为中 参考答案。 2++京：当n+1时，不等式左边为23* 1 +1+1+1 2k26+1+2+2故选C 例3解：当n=2时 S2=u1+22+1,即3+2=8，解得a2=5: 当n=3时，S3=a+32+1,即3+5+a=15,解得a=7; 当n=4时，S4=a+42+1,即3+5+7+a4=24,解得a4=9,. 猜想a,=2n+1,下面用数学归纳法证明： 当n=1时，a=2×1+1=3,猜想成立； 假设当n=k(k∈N)时，猜想成立， 即a=2k+1,则S=k2+2k 当n=k+1时，Sk+=4+(k+1)2+1, :.S+a+=a+(k+1)P+1,∴a4+=a4+(k+1)2+l-S4, a4+=2k+1+(k+1)2+1-(K2+2k)=2(k+1)+1, 猜想成立 综上所述，对于任意neN,a,=2n+1均成立 变式训练3D【解析】a=1, 5=1+2ta=6-a4.a4=子 7 同理，可得心=5观察1，多，子，总， 81 猜想a-或a=2-故选D 例4解：当n=2时，f2)=1:当n=3时，f3)=3: 当n=4时，f(4)=6. 因此猜想fn)=n(-lD(m≥2，nN). 2 下面利用数学归纳法证明： ①当=2时，两条相交直线有一个交点， 又2)=3×2x(2-1)1. .n=2时，命题成立. ②假设当n=k(k≥2且k∈N)时命题成立，就是 该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)= -10 当n=k+1时，其中一条直线记为l,剩下的k条直 线记为1,2，…， 由归纳假设，知剩下的k条直线之间的交点个数为 33 高中数学选择性必修第三册人教B版 fk)=k(k-1) 变式训练5B【解析】5+1-2+1=5.5-2.2=5(5-2)+5× 2 2-2x2=5(5-2)+3×2.故选B. 由于！与这k条直线均相交且任意三条不过同一点， 数学文化 .直线1与，2，l,…,l的交点共有k个， 例解：(1)由题意，得a=1,a=3,a=7,a4=15. f(k+1)=f(k)+k=k-+k=2+k=k+1 2 2 2 (2)猜想：a,=2-1,neN.证明如下： (k+1)[(k+1)-1] ①当n=1时，a=1成立. 2 ②假设当n=k(k≥1，k∈N)时猜想成立，即a= 当n=k+1时，命题成立. 2-1, 由①②可知，命题对一切n∈N且n≥2时成立 即将k个直径不同的盘子从A杆移动到C杆最少 变式训练4A【解析】三棱柱有0个对角面，四棱柱 需要2-1次。 有2个对角面：0+2=0+(3-1)；五棱柱有5个对角面： 则当n=k+1时，分三步进行： 2+3=2+(4-1)；六棱柱有9个对角面：5+4=5+(5-1)；…. 第一步，将上面k个盘子从A杆移动到B杆： 猜想：若k棱柱有fk)个对角面，则(k+1)棱柱有fk) 第二步，将第(k+1)个盘子从A杆移动到C杆： +k-1个对角面.故选A. 第三步，将上面k个盘子从B杆移动到C杆. 例5(k3+5k)+3k(k+1)+6【解析】(k+1)3+5(k+1)=k3+ 则最少需要(2a4+1)次，即a+=2a+1=2(2-1)+1= 1+3k2+3k+5k+5=(k+5)+32+3k+6=(k3+5k)+3k(k+1)+6. 2*-1, 由于假设k+5k能被6整除，而k(k+1)为偶数 即n=k+1时，猜想也成立. 能被2整除，3(k+1)能被6整除，故(k+1)+5(k+1) 综上，a,=2”-1. 应变形为(k3+5k)+3k(k+1)+6 第六章 导数及其应用 2(△x)2+8△x.故选C. >"6.1导数 例2C【解析】作出函数f(x)= 4) 6.11函数的平均变化率 ln(x+l)的图象，如图所示。 要点精析 由图可知曲线上各点与坐 例1解：(1)f(x)=3x245, 标原点的连线的斜率随着x的 从0.1到02的平均变化率为3x0.245-3x0.12-5 增大而减小。 例2答图 0.2-0.1 由1<2<3，得f)0f2)-0,3)-0 1-0 2-0 3-0 0.9 (2)f(x+△x)-f(o) 即f1)>f22>f3).故选C. 1 2 3 =3(x0+△x)2+5-(3x6+5） 变式训练2B【解析】在o处，虽然有W甲(o)=Wz(o), =3x6+6xo△x+3(△x)2+5-3x-5 但W甲(o-△)<Wz(o-△)，.在相同时间△内，甲厂比 =6xAx+3(△x)2, 乙厂的平均治污率小，.乙厂治污效果较好.故选B. ∴.函数f(x)在区间[xo,xo+△x]上的平均变化率为 6A+3(△x2=6+3Ax, 例3解：①所求平均滤度为2瓷5品5m △x (2)将x在[0.1,0.5]上的图象看成直线，则由 变式训练1C【解析】y=2x2,∴△y=2×(2+△x)2-2×22= (1),可知直线的斜率为5，且直线通过点(0.1,0.25)， 34