5.2.1 等差数列-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册练习手册（人教B版）

含aa-l0a-2, 两式相减可得2a=3[a+1)an-l)-n(a-l)a- 2)]=n(n-1),a,=ng-,由a=0,显然成立. 2-1 d-a=(n+D)n_n(n-1)=ntn-2n+2n=-nt3n 2-1 2n .当0<n≤3时，a1-a,>0,当n≥4时，a-a,<0. 因此，当0<≤3时，数列{a,单调递增，当n≥4 时，数列{a}单调递减。 a=号，a号，故当n3或n=4时，数列a取 最大值，且最大值为号 对任意入>0，所有的正整数n都有2-k入+2>a 成立， 可得AA+2号因此，A+号，即+对 任意>0恒成立. 由A+六≥2VM牙=V2,当且仅当A=京，即 A=VY?时取最小值，则kKA+京)=V2,实数k 1 的取值范围是(-∞，V2)· m5.2等差数列 5.2.1等差数列 效果评价 1.C【解析】a+as=a+d+a+7d=2a+8d=12,∴.a+4d= 6,∴.as=6.故选C 2.A【解析】第一个图形需要3根火柴棒，后面每 多1个图形，则多用2根火柴棒，火柴棒数构成以3 为首项、2为公差的等差数列，则a1o=3+2×(10-1)=21 故选A. 3.B【解析】.x-1,x+1,2x+3是等差数列的前3 项，2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0. .∴.a=x-1=-1,2=1,a=3,.∴.d=2,.∴.an=-1+2(n-1)= 2n-3(neN).故选B. 4.A【解析】设首项为a4,公差为d,:a6=+9, 参考答案。 ∴.m+5d=+2d+9,即5d=2d+9,解得d=3.2=s-1, .2(a+3)=a+12-1,解得a=5,则a,=5+3(n-1)=3n+2, 得到a,=3n+2.故选A. 5.D【解析】设数列{a,}的公差为d,选项A,B, C都不满足bn-b为同一常数，三个选项都是错误 的：66=受+号==号，数列6必为等 差数列，故D正确.故选D. 6.C【解析】{a,{亿}都是等差数列，∴.{a+bd 也是等差数列.又a+b1=100,a+b2=100,∴+b=100, 故a+bn=100.故选C. 7.BC【解析】由3a1=3a+1,得3a-3a,=1,即a1 a=了，六数列a是公差为兮的等差数列.又a=l, 得到a=1+a-1)×兮号+子放选BC 8.-n+2(答案不唯一）【解析】由题意，只要满 足首项是1、公差小于0即可，可取公差为-1，则可得 am=1+(n-1)×(-1)=-n+2. 9.3n-5【解析】设等差数列{a}的公差为d,由 +=-d++3d=2+2d=8,=1,代人解得d=3,故 a=2+(n-2)d=1+3(n-2)=3n-5.故答案为3n-5. 10.9【解析】依题意，等差数列{a}各项都为正 数，a0,0,a≤空'=(a-9,当且仅当 a=,=3时等号成立. 11.90【解析】数列{a}为等差数列，+a=4+ a6=2a5=10,∴.(a4+a6)2-2a5=102-10=90. a1+a2=3, 12.解：由题意，知 a1a2=a4, 2dn+21.解得4-2， a(a+d)=a+3d, d=2 .a=2+(n-1)x2=2n. 故数列{a}的通项公式为a,=2n. 13山)证明：曲2边，可得心之 dotl dn 数列日是以女1为首项、2为公差的等差数列， 1 (2)解：由(1)，知=1+(n-1)x2=2m-1,a,= 47 高中数学选择性必修第三册人教B版 1 2n-1 提升练习 14.C【解析】根据等差数列的定义，可知数列 6,4,2,0的公差为-2，.①错误；由等差数列的定义 可知，数列a,a-1,-2,a-3是公差为-1的等差数列， ∴.②正确；由等差数列的通项公式a,=a+(n-1)d,得a,= dn+(a-d),令k=d,b=a-d,则a=kn+b,.③正确；aH a,=2(n+1)+1-(2n+1)=2,.数列{2n+1}(neN)是等差 数列，④正确.故选C. 15.解：(1)：a=3,d=-5,∴.a=3+(n-1)×(-5)=8- 5m.数列{a}中序号被4除余3的项是{a}中的第3 项，第7项，第11项，…，b==-7,b=a=-27. (2)设{a}中的第m项是{b}中的第n项，即 b=am,则m=3+4(n-1)=4n-1,∴.b=a=4-1=8-5×(4n-1)= 13-20m,即{6J的通项公式为b.=13-20n(n∈N). (3)b5=13-20×503=-10047,设它是{a}中的第 m项，则-10047=8-5m,解得m=2011,即{b}中的第 503项是{a}中的第2011项. 5.2.2等差数列的前n项和 效果评价 1.C【解析】由am=2,S=12,可得d=2,∴.=a+5d= 12.故选C. 2.B【解析】{a,}是等差数列，∴a+a=a+a=+ a18.又.a1+2+3=-24,a18+a19+2=78, ∴.a1+a0+2+a49+a+a1s=54,.3(a1+an)=54,∴.a1+a0= 18,S20(a,+=180.故选B. 2 3.B【解析】：在等差数列{a,}中，a=1,其前n 项和为S,设等差数列a}的公差为d,若-、=2， 53 5(atas)3(atas) 则2 -号—=0-a0=d=2,a0 2 5 2 2 a+9d=19.故选B. 4.C【解析】由等差数列性质，知3a=-15,3a= -21,故a=-5,a=-7,则a=-3. 则gsg×3a-警=是散选C 2 48 5.A【解析】由题，知 r=4a+号x4x3=0. as=a+4d=5, =-3, 解得 .aw=2n-5,故选A. d=2. 6.CD【解析】由Sm=1(a,+a）=11s>0,得as>0. 又Se=12(a,+aml=6(as+a)<0,得as+a<0,a>0,a<0, 2 d<0,∴数列{a}是递减数列，其前6项为正，从第7 项起均为负数，因此前6项和最大，，.a4>0,<0, lal-lal=a4+ag=6+,<0,即lal<lagl,故A,B错误，C,D 正确.故选CD. 7.C【解析】设等差数列为{a},公差为d,则 a+a3+a5++g=15, .5d=15,.d3.故选C. a2+a4+a6+as+a10=30, 8.110【解析】Sw10x(g+ao=5×(2+20)=110.故答 2 案为110. 9.7【解析】设等差数列{a}的首项为a,公差为 a2=a1+d=4, d,由a=4,S1=110,可得 S=1a+11x10d=110, 解得 2 5 a2' 4+3让+3x号=1.故答案为7 d= 3 2, 10.2【解析】So=19(atao）=19uw=38,ao=2.故 2 答案为2. 11.-2n+54【解析】设等差数列{a}的首项为a, a+d1，解得 a1=3, 公差为d,由已知条件，得 a+4d=-5, d=-2, '.a,=a+(n-1)d=-2n+5(neN*）. 方法一：S=a+n)1d=-n2+4n=4-(n-2乃，当 2 n=2时，S,取到最大值4. a≥0， 1-2n+5≥0， 方法二：由 得 a1<0. -2(n+1)+5<0, 即子≤ 多，放当n-2时，S最大.又5=aa=3+1=4,当nN 高中数学选择性必修第三册人教B版 5.2等差数列 5.2.1等差数列 5.已知数列{a}是等差数列，数列 效果评价 {b}分别满足下列各式，其中数列{b}必 1.已知{a}为等差数列，a+s=12,则 为等差数列的是( =() A.b=la B.b=a A.4 B.5 C.b=1 C.6 D.7 D.b,=-2 2.用火柴棒按下图的方法搭三角形，前 6.设数列{a},{b}都是等差数列， 4个图形分别如下，按图示的规律搭下去，： 且a=25,b1=75,2+b2=100,则a+b7等于 第10个图形需要用火柴() A.0 B.37 △☑八八N C.100 D.-37 图1 图2 图3 图4 7.(多选题)若数列{a}满足a=l,3a= 第2题图 3a+1,neN*,则数列{a}有（) A.公差为1的等差数列 A.21根 B.22根 B.公差为工的等差数列 C.23根 D.24根 3 3.若等差数列的前3项依次是x-1,x+1, C通项公式为a背+号的等差数列 2x+3,则其通项公式为() A.a=2n-5 (nEN*) D.通项公式为a,=?+1的等差数列 3 B.an=2n-3(n∈N*) 8.请写出一个首项是1，且单调递减的 C.a=2n-1(n∈N*) 等差数列{a}的通项公式a,= D.a,=2n+1(n∈N*) 9.已知{a}是等差数列，且a2=1,a+ 4.已知等差数列{a}中，2a2=a5-1,a6= a5=8,则{a}的通项公式a,= a+9,则数列{a,}的通项公式为() 10.已知各项都为正数的等差数列{a A.a=3n+2 中，as=3,则a的最大值为 B.a=5n+2 11.在等差数列{a}中，若2+as=10, C.a=3n-2 则(a4+a6)2-2a5= D.an=2n+3 (6)练 第五章数列。 12.若等差数列{a}的公差d≠0，且 提升练习 a41,2是关于x的方程x2-a+a4=0的两根， 求数列{a}的通项公式， 14.给出下列命题： ①数列6,4,2,0是公差为2的等差 数列； ②数列a,a-1,a-2,a-3是公差为-1 的等差数列； ③等差数列的通项公式一定能写成a,= kn+b的形式(k,b为常数)； ④数列{2n+1}(neN*)是等差数列. 其中正确命题的序号是（) A.①② B.①③ C.②③④ D.③④ 15.已知无穷等差数列{a}中，首项 a=3,公差d=-5,依次取出序号能被4除余 13.数列{al}满足a=1,2a2a 1=1+1 3的项组成数列{b}· (1)求b1和b2 (nEN). (2)求{b}的通项公式， )求证：数列 是等差数列。 (3){b}中的第503项是{a}中的第 (2)求数列{a}的通项公式 几项？ 练(7