5.2.1 第1课时 等差数列的定义 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教B版）

5.2.1 第1课时 等差数列的定义 [课时跟踪检测] 1.设数列{an}（n∈N+）是公差为d的等差数列，若a2=4，a4=6，则d等于 （　　） A.4 B.3 C.2 D.1 解析：选D　∵a4-a2=2d=6-4=2，∴d=1. 2.[多选]下列数列中，是等差数列的是 （　　） A.1，4，7，10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2 解析：选ABD　A、B、D项满足等差数列的定义，是等差数列；C中，因为24-25≠23-24≠22-23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列. 3.已知在等差数列{an}中，a3+a8=22，a6=7，则a5等于 （　　） A.15 B.22 C.7 D.29 解析：选A　设{an}的首项为a1，公差为d，根据题意得解得 所以a5=47+（5-1）×（-8）=15. 4.已知等差数列{an}满足4a3=3a2，则{an}中一定为零的项是 （　　） A.a6 B.a4 C.a10 D.a12 解析：选A　由4a3=3a2得4（a1+2d）=3（a1+d），即a1=-5d，所以an=a1+（n-1）d=-5d+（n-1）d=（n-6）d，所以a6=0. 5.在数列{an}中，a1=2，2an+1-2an=1，则a101的值为 （　　） A.49 B.50 C.51 D.52 解析：选D　∵an+1-an=，∴数列{an}是首项为2，公差为的等差数列，∴an=a1+（n-1）·=2+，∴a101=2+=52. 6.已知递增数列{an}是等差数列，若a4=8，3（a2+a6）=a2a6，则a2 025= （　　） A.2 025 B.2 024 C.4 050 D.4 048 解析：选C　设数列{an}的公差为d（d>0），因为a4=8，3（a2+a6）=a2a6， 则解得所以a2 025=2+2×（2 025-1）=4 050. 7.在一个首项为23，公差为整数的等差数列中，前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差为 （　　） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 解析：选C　设该等差数列为{an}，公差为d（d∈Z），则a1=23，an=23+（n-1）d， 由题意可知即解得-<d<-.因为d是整数，所以d=-4. 8.已知数列{an}，{bn}均为等差数列，若a1+b1=0，a2+b2=1，则an+bn= （　　） A.n-2 B.n+1 C.n D.n-1 解析：选D　设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则d1+d2=a2-a1+b2-b1=（a2+b2）-（a1+b1）=1-0=1，所以an+bn=a1+（n-1）d1+b1+（n-1）d2=a1+b1+（n-1）（d1+d2）=n-1. 9.[多选]已知数列{an}为等差数列，则下列一定成立的是 （　　） A.若a2>a1，则a3>a1 B.若a2>a1，则a3>a2 C.若a3>a1，则a2>a1 D.若a2>a1，则a1+a2>a1 解析：选ABC　利用等差数列的单调性可得，若a2>a1，则公差d>0，所以等差数列{an}是递增数列，所以a3-a1=2d>0，a3-a2=d>0成立，所以A、B正确；若a3>a1，则a3-a1=2d>0，所以a2-a1=d>0成立，所以C正确；a1+a2>a1不一定成立，例如a1<a2<0时不一定成立，所以D不一定成立. 10.[多选]若数列{an}是等差数列，公差d>0，则下列对数列{bn}的判断正确的是 （　　） A.若bn=-an，则数列{bn}是递减数列 B.若bn=，则数列{bn}是递增数列 C.若bn=an+，则数列{bn}是公差为d的等差数列 D.若bn=an+n，则数列{bn}是公差为d+1的等差数列 解析：选AD　由an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）且d>0，得bn=-an=-dn+（d-a1），即数列{bn}是递减数列，故A正确；由bn==[dn+（a1-d）]2，当d>a1时，如d=1，a1=-2，数列{bn}不具有单调性，故B错误；由bn=an+=2dn+（2a1-d），则数列{bn}是公差为2d的等差数列，故C错误；由bn=an+n=（d+1）n+（a1-d），则数列{bn}是公差为d+1的等差数列，故D正确. 11.（5分）已知{an}为等差数列，且a7-2a4=-1，a3=0，则公差d=　　　　.  解析：根据题意得a7-2a4=a1+6d-2（a1+3d）=-a1=-1，∴a1=1.又a3=a1+2d=1+2d=0，∴d=-. 答案：- 12.（5分）已知等差数列{an}递增且满足a1+a10=4，则a8的取值范围是　　　　.  解析：设等差数列{an}的公差为d，因为{an}递增，所以d>0，由a1+a10=4得2a1+9d=4，所以a1==2-，则a8=a1+7d=2-d+7d=2+d>2，所以a8的取值范围是（2，+∞）. 答案：（2，+∞） 13.（5分）已知数列{log2（an-1）}（n∈N+）为等差数列，且a1=3，a3=9，则数列{an}的通项公式为　 　 　.  解析：设等差数列{log2（an-1）}的公差为d，由a1=3，a3=9，得log2（a3-1）= log2（a1-1）+2d，解得d=1，所以log2（an-1）=1+（n-1）×1=n，即an=2n+1. 答案：an=2n+1 14.（10分）在等差数列{an}中，已知am=n，an=m，求am+n的值. 解：法一　设公差为d，则d===-1， 从而am+n=am+（m+n-m）d=n+n·（-1）=0. 法二　设等差数列的通项公式为an=an+b（a，b为常数），则得a=-1，b=m+n. 所以am+n=a（m+n）+b=0. 15.（15分）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知+=2. （1）证明：数列{bn}是等差数列；（7分） （2）求{an}的通项公式.（8分） 解：（1）证明：由已知+=2，得Sn=，且bn≠0，bn≠，取n=1，由S1=b1，得b1=. 由于bn为数列{Sn}的前n项积， 所以··…·=bn，故··…·=， 所以=.由于≠0，所以=，即-bn=，其中n∈N+， 所以{bn}是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）可得，数列{bn}是以为首项，为公差的等差数列，所以bn=+（n-1）×=1+， Sn==，当n=1时，a1=S1=， 当n≥2时，an=Sn-=-=-，显然对于n=1不成立， 所以an= 学科网（北京）股份有限公司 $