5.2.1 等差数列-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册练习手册（人教B版）

号n(n-1)m-2. 两式相减可得2a,=号[n+1n-l)-nn-l)n- 2)]=n(n-1),a=n-D,由a=0,显然成立. 21 设a-a,=(n+1)n-n(n-l-n+n-2n2+2n=-2+3n 2 2m- 2 .当0<n≤3时，a-a,>0,当n≥4时，am1-a<0. 因此，当0n≤3时，数列{a}单调递增，当n≥4 时，数列{a}单调递减. a=之，=号，放当3或=4时，数列a取 最大值，且最大值为弓 对任意A>0,所有的正整数n都有A2-k入+2>a 成立， 可得AA+2号因此，A+号，即+员对 任意>0恒成立. 由A+分≥2V牙=V7,当且仅当A=办，即 A=2时取最小值，则k<入+六)=V2,“实数k 1 的取值范围是(-∞，V2). m5.2等差数列 5.2.1等差数列 效果评价 1.C【解析】a+as=a+d+a+7d=2a1+8d=12,∴.a+4d= 6,.a5=6.故选C. 2.A【解析】第一个图形需要3根火柴棒，后面每 多1个图形，则多用2根火柴棒，火柴棒数构成以3 为首项、2为公差的等差数列，则ao=3+2×(10-1)=21. 故选A 3.B【解析】x-1,x+1,2x+3是等差数列的前3 项，2(x+1)=-1+2x+3,解得x=0. ∴.a=x-1=-1,=1,a=3,d=2,.aw=-1+2(n-1)= 2n-3(n∈N).故选B. 4.A【解析】设首项为a,公差为d,a6=a+9, 参考答案。 ∴.a+5d=a+2d+9,即5d=2d+9,解得d=3.2a=s-1, .2(a1+3)=+12-1,解得a1=5,则a=5+3(n-1)=3n+2, 得到a,=3n+2.故选A. 5.D【解析】设数列{a}的公差为d,选项A,B, C都不满足b。-b1为同一常数，.三个选项都是错误 的：6-6一受+号-号数列61必为等 差数列，故D正确.故选D. 6.C【解析】{a},{b}都是等差数列，{a+b} 也是等差数列.又a+b=100,a+b=100,∴.a+b=100, 故as+b3=100.故选C. 7.BC【解析】由3a+=3a+1,得3a+-3a=1,即a a,=了，数列a是公差为号的等差数列.又a=l, 得到a=1:a-)×兮-号+号放选BC 8.-n+2(答案不唯一)【解析】由题意，只要满 足首项是1、公差小于0即可，可取公差为-1，则可得 aw=1+(n-1)×(-1)=-n+2. 9.3n-5【解析】设等差数列{a的公差为d,由 a1+as=-d++3d=2a+2d=8,,a2=1,代人解得d=3,故 a=a+(n-2)d=1+3(n-2)=3n-5.故答案为3n-5. 10.9【解析】依题意，等差数列{a}各项都为正 数，>0，>0，a≤空=a侧片-9，当且仅当 a=a,=3时等号成立. 11.90【解析】·数列{a}为等差数列，a+as=+ a6=2as=10,·.(a4+a6)2-2a5=102-10=90. 4+a2=a, 12.解：由题意，知 a1a2=a4, 2a+dea+2d,解得 a4=2, a(a+d)=a+3d,d=2, .∴.a,=2+(n-1)x2=2n. 故数列{a}的通项公式为a,=2n. 18.(山)证明：由太=从+山，可得女2. at a 数列日是以1为首项、2为公差的等差数列 (2)解：由(1)，知上=1+(n-102=2n-1,a,= 47 高中数学选择性必修第三册人教B版 点 提升练习 14.C【解析】根据等差数列的定义，可知数列 6,4,2,0的公差为-2，..①错误；由等差数列的定义 可知，数列a,a-1,a-2,a-3是公差为-1的等差数列， ②正确；由等差数列的通项公式a=a+(n-1)d,得a= dn+(a-d),令k=d,b=a-d,则a=kn+b,∴.③正确；aH a=2(n+1)+1-(2n+1)=2,.数列{2n+1}(n∈N)是等差 数列，④正确.故选C 15.解：(1)a1=3,d=-5,.a=3+(n-1)×(-5)=8- 5n.数列{a,}中序号被4除余3的项是{a}中的第3 项，第7项，第11项，…，b1==-7,b2==-27. (2)设{a}中的第m项是{b}中的第n项，即 b=0m,则m=3+4(n-1)=4n-1,∴.b=am=a4w-=8-5×(4n-1)= 13-20m,即{b的通项公式为b=13-20n(n∈N). (3)bs=13-20x503=-10047,设它是{a中的第 m项，则-10047=8-5m,解得m=2011,即{b}中的第 503项是{a}中的第2011项. 5.2.2等差数列的前n项和 效果评价 1.C【解析】由a=2,S=12,可得d=2,·∴a。=a+5d= 12.故选C. 2.B【解析】{a}是等差数列，∴.a+a=a+ag=a+ a8.又，a+a+a=-24,a8+ag+an=78, .a+a0+a+ag+a3+a1g=54,.3(a1+a0)=54,∴.a+am= 18,S20(a,+a=180.故选B. 2 3.B【解析】.在等差数列{a}中，a=1,其前n 项和为S,设等差数列a}的公差为d,若-=2， 53 5(a+a5)3(a+4) 则 -=a4t0-4t0=d=2,a0= 5 3 2 2 a+9d=19.故选B 4.C【解析】由等差数列性质，知3a=-15,3a4= -21,故a=-5,4=-7,则a2=-3. 则gs=g×3a-婆-令故选C 2 88 48 IN 5.A【解析】由题，知 r4a+号x43-0, as=0+4d=5, a=-3, 解得 ∴.a=2n-5,故选A. d=2, 6.CD【解析】由Sm=1(a,+a2-11as>0,得a6>0. 2 又Sn=12(a,+anl=6(a+a)0,得a+a<0,a>0,a<0, 2 d<0,∴.数列{a是递减数列，其前6项为正，从第7 项起均为负数，因此前6项和最大，4>0，<0， la4l-lal=a+ag-6+a,<0,即la4l<lal,故A,B错误，C,D 正确.故选CD. 7.C【解析】设等差数列为{a},公差为d,则 a++5+aag=15, ..5d=15,.d=3.故选C. a2+a4+a6+ag+a0=30, 8.110【解析】S。10x(g+a0-5x(2+20)=110.故答 2 案为110. 9.7【解析】设等差数列{a}的首项为a,公差为 a2=4+d=4, d,由a2=4,S=110,可得 Su=1+11x10d=110. 解得 2 5 a2' 3 43证x号-1.枚答案为7 2 d= 2 10.2【解析】：5o=194,+0l=19a0=38,a0=2.故 2 答案为2. 11.-2n+54【解析】设等差数列{a}的首项为a4, =3, 公差为d,由已知条件，得 a+d1,解得 a+4d=-5, d=-2, '.aw=a+(n-1)d=-2n+5(n∈N). 方法一：S=a+m?-d=-+4n=4-(n-2)月，.当 2 n=2时，Sn取到最大值4. a≥0， [-2n+5≥0， 方法二：由 得 a41K0,-2(n+1)+5<0, 即<n≤ 各，放当n=2时，8最大.又5a+a3+1=4,当阳N 高中数学选择性必修第三册人教B版 5.2等差数列 5.2.1 等差数列 : 5.已知数列{a}是等差数列，数列 效果评价 、 {b」分别满足下列各式，其中数列b必 1.已知{a}为等差数列，a2+as=12,则 为等差数列的是( 5=(） A.bn=lan! B.bn=a A.4 B.5 C.b=1 C.6 D.7 Db=-号 2.用火柴棒按下图的方法搭三角形，前 6.设数列{a},{b}都是等差数列， 4个图形分别如下，按图示的规律搭下去，： 且4=25，b1=75,a2+b2=100,则a7+b37等于 第10个图形需要用火柴() A.0 B.37 C.100 D.-37 图1 图2 图3 图4 7.（多选题)若数列{a满足a=1,3a= 第2题图 3a+1,n∈N*,则数列{a}有() A.公差为1的等差数列 A.21根 B.22根 C.23根 D.24根 B.公差为？的等差数列 3.若等差数列的前3项依次是x-1,+1, C.通项公式为a,=}+名的等差数列 33 2x+3,则其通项公式为（) A.a=2n-5(n∈N*) D.通项公式为a,=公+1的等差数列 3 B.am=2n-3(n∈N*) 8.请写出一个首项是1，且单调递减的 C.a=2n-1(n∈N*) 等差数列{a}的通项公式a= D.a,=2n+l(n∈N*) 9.已知{a}是等差数列，且2=l,a4+ 4.已知等差数列{a}中，2a2=a5-1,a6= as=8,则{a}的通项公式an= a+9,则数列{a}的通项公式为() l0.已知各项都为正数的等差数列{anJ A.a=3n+2 中，s=3,则a3,的最大值为 B.an=5n+2 11.在等差数列{an}中，若a2+as=10, C.an=3n-2 则(a4+a6)P-2as= D.a=2n+3 (6)练 第五章数列。 l2.若等差数列{a}的公差d≠0，且 提升练习 a1,2是关于x的方程x2-ax+a4=0的两根， 求数列{a,}的通项公式， 14.给出下列命题： ①数列6,4,2,0是公差为2的等差 数列； ②数列a,a-1,a-2,a-3是公差为-1 的等差数列： ③等差数列的通项公式一定能写成4，= kn+b的形式(k,b为常数)： ④数列{2n+l)(n∈N*)是等差数列. 其中正确命题的序号是() A.①② B.①③ C.②③④ D.③④ 15.已知无穷等差数列{a}中，首项 a=3,公差d=-5,依次取出序号能被4除余 13.数列{a}满足a=1, 1+1 站2 3的项组成数列{b} (1)求b,和b2 (nEN). (2)求{b}的通项公式 )求证：数列是等差数列， (3){bJ中的第503项是{a}中的第 (2)求数列{a}的通项公式， 几项？ 练 7