5.1.2 数列中的递推-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册练习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第三册人教B版 5.1.2数 效果评价 1.已知数列{a},a1=3,a2=6,an+2=a++ a,则数列的第5项为() A.9 B.15 C.24 D.39 2.如图所示，九连环是中国传统民间智 力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连 环共需要256步，解下或套上一个环算一 步，且九连环的解下和套上是一对逆过程 九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可 以将九个环全部从框架上解下或者全部套 上.将第个圆环解下最少需要移动的次数 记为a（n≤9，n∈N),已知a=1,a=1, 按规则有a,=am-1+3an-2+2(n≥3)，则解下第5 个圆环最少需要移动的次数为() 第2题图 A.15 B.21 C.27 D.31 3.已知数列{a}满足：a=9,am+1= 号，当a为3的倍数时， 则a=（） 2a+1,当an不为3的倍数时， A.1 B.3 C.7 D.9 4 )练 列中的递推 4.(多选题)下列条件能确定数列2,4， 6,8,10,…的有()》 A.a=am-1+2(n≥2，n∈N) B.a=2an-1(n≥2，n∈N) C.a=2,a=an-1+2(n≥2，n∈N) D.a=2,an=a,+2 (nEN) 5若数列a!满足a=8,a设.则 a2026=（） A.8 B.-g C.9 D-9 6.已知数列{a}满足a=1,a+1= a+2,n为偶数， 若bn=2m-1,则b4=（) a+3,n为奇数. A.18 B.16 C.11 D.6 7.(多选题)已知数列{a}中，=3， 1 n+l=- (n∈N),则能使a=3的n可以 a+1 为() A.4 B.7 C.15 D.16 8.已知数列{a}满足a=1,2=2,an+2= 2,则a a 9.若{a}满足：0<a<a<1(Hn∈N), 则满足上述条件数列{a}的一个通项公式 为 10.已知数列{a}满足=1，a1= 2,n24,4则a= 11.在数列{a}中，a+a1=2n,则数列 {a}前10项和So的值为 12.根据数列{a}的递推公式，写出它 的前4项， |a,=-2an-1+1(n≥2，n∈N), (1) a=1. |an+2=2 arFan+1(n≥1，n∈N), (2) =1,a2=1. 第五章数列。 13.某剧场有30排座位，第一排有20 个座位，从第二排起，后一排都比前一排多 2个座位 (1)写出前五排座位数 (2)第n排座位数a,与第n+1排座位数 a+1能用等式表示吗？ 提升练习 14.数列{a}满足a+2a+22a+…+2m-a,= 号+1aa-1),若对任意A>0,所有的正 整数n都有入2-k入+2>a,成立，则实数k的取 值范围是 练(5高中数学选择性必修第三册人教B版 递减；当n≥4时，{a}单调递增.∴.当n=3或n=4时， 数列{a}有最小项，且最小项为=a=-20. 方法二：不妨设a,为数列{a}的最小值，则 a≤a-1, (n2-7n-8≤(n-1)2-7(n-1)-8, 即 解得3≤n≤ an≤a+l, n2-7n-8≤(n+1)2-7(n+1)-8, 4,故当n=3或n=4时，数列{a}有最小项，且最小项 为a=a4=-20. 提升练习 14.AD【解析】数列是一类特殊的函数，其自变 量neN,∴数列的图象是一群孤立的点，故A正确； 常数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B错误； 当n=1时，a=2≠0，故C错误；a=（V2)°，= V2,a=(V2)2,a4=(V2)3,s=(V2),…,.该 数列的一个通项公式为a,=(V2),故D正确.故选AD. 15AC(得折】张题宽，a=号名aeN。 0<分≤分，则1≤子-六<号，故A正确：显然 2分，则子六号2即aa面政立。 因此数列{a}为单调递增数列，不是周期数列，也不 是常数列，C正确，B、D错误.故选AC 5.1.2数列中的递推 效果评价 1.C【解析】.a1=3,a2=6,am2=am+1+,则3=a1+a2= 9,a4=a+a2=15,as=a4+a=24.故选C. 2.D【解析】由题意，可知=2+3a1+2=6,a4=+ 3a2+2=11,a=a4+3a+2=31.故选D. 3.B【解析】由题意，=号=3，a=号=1，a=2a+ 1=3.故选B 4.CD【解析】A,B中没有说明某一项，无法确定 数列，故A,B错误；而C,D均可递推出a,=2+2(n- 1)=2n,故C,D正确.故选CD. 5.D【解折】经，4-8.48=号， 1、9 7 1 11 14 a3= 1+19,4= 8，a4= -87 9=8,…,·{al 8 1 9 46 是周期为4的数列，故心号故选D. 6.B【解析】b4=a,=a6+2=(a,+3)+2=+5 =(a4+2)+5=4+7=(a3+3)+7 =a3+10=(a2+2)+10=a2+12 =(4+3)+12=1+15=16. 故选B. 7.ABD【解析】由a=3,an1=- 得4 a=专，a3,数列a侧是周期为3的数列，a=a a6=3.故选ABD. 8.-1【解析】由已知a=-2,则44=-2=a, 且a4=-2=-l,ma4=-1,故答案为-1. 9.a=号广（答案不唯一）【解析】0<aa<1 (Hn∈N),即数列{a}单调递减，∴.满足上述条件数 列a)的一个通项公式可以为a=(号厂（答案符合条 件即可) 10.9【解析】由题知a=a+3=4,a=2a+1=9.故答案 为9. 11.50【解析】：a,+1=2n,∴.a+a=2,a3+a4=6,as+ a6=10,a+a=14,a+ao=18,,.S1o=2+6+10+14+18=50.故 答案为50. 12.解：(1）41=1，a2=-2a1+1=-1,a3=-2a2+1=3, a4=-2a+1=-5. (2)a1=1,a=1,a=2a1+a2=3,a4=2a+a3=5. 13.解：(1)由题意，可知后一排都比前一排多2 个座位，.前五排座位分别为20,22,24,26,28. (2)由题意，可知后一排都比前一排多2个座位， 故第n排与第n+1排座位数的关系为第n+l排比第n排 多2个座位，即an+1=a+2. 提升练习 14.(-0,V2）【解析】由a+2+22a+…+2-a,= 号n+1n(n-1),当n≥2时，a+2a+2a+…+2a= 含aa-l0a-2, 两式相减可得2a=3[a+1)an-l)-n(a-l)a- 2)]=n(n-1),a,=ng-,由a=0,显然成立. 2-1 d-a=(n+D)n_n(n-1)=ntn-2n+2n=-nt3n 2-1 2n .当0<n≤3时，a1-a,>0,当n≥4时，a-a,<0. 因此，当0<≤3时，数列{a,单调递增，当n≥4 时，数列{a}单调递减。 a=号，a号，故当n3或n=4时，数列a取 最大值，且最大值为号 对任意入>0，所有的正整数n都有2-k入+2>a 成立， 可得AA+2号因此，A+号，即+对 任意>0恒成立. 由A+六≥2VM牙=V2,当且仅当A=京，即 A=VY?时取最小值，则kKA+京)=V2,实数k 1 的取值范围是(-∞，V2)· m5.2等差数列 5.2.1等差数列 效果评价 1.C【解析】a+as=a+d+a+7d=2a+8d=12,∴.a+4d= 6,∴.as=6.故选C 2.A【解析】第一个图形需要3根火柴棒，后面每 多1个图形，则多用2根火柴棒，火柴棒数构成以3 为首项、2为公差的等差数列，则a1o=3+2×(10-1)=21 故选A. 3.B【解析】.x-1,x+1,2x+3是等差数列的前3 项，2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0. .∴.a=x-1=-1,2=1,a=3,.∴.d=2,.∴.an=-1+2(n-1)= 2n-3(neN).故选B. 4.A【解析】设首项为a4,公差为d,:a6=+9, 参考答案。 ∴.m+5d=+2d+9,即5d=2d+9,解得d=3.2=s-1, .2(a+3)=a+12-1,解得a=5,则a,=5+3(n-1)=3n+2, 得到a,=3n+2.故选A. 5.D【解析】设数列{a,}的公差为d,选项A,B, C都不满足bn-b为同一常数，三个选项都是错误 的：66=受+号==号，数列6必为等 差数列，故D正确.故选D. 6.C【解析】{a,{亿}都是等差数列，∴.{a+bd 也是等差数列.又a+b1=100,a+b2=100,∴+b=100, 故a+bn=100.故选C. 7.BC【解析】由3a1=3a+1,得3a-3a,=1,即a1 a=了，六数列a是公差为兮的等差数列.又a=l, 得到a=1+a-1)×兮号+子放选BC 8.-n+2(答案不唯一）【解析】由题意，只要满 足首项是1、公差小于0即可，可取公差为-1，则可得 am=1+(n-1)×(-1)=-n+2. 9.3n-5【解析】设等差数列{a}的公差为d,由 +=-d++3d=2+2d=8,=1,代人解得d=3,故 a=2+(n-2)d=1+3(n-2)=3n-5.故答案为3n-5. 10.9【解析】依题意，等差数列{a}各项都为正 数，a0,0,a≤空'=(a-9,当且仅当 a=,=3时等号成立. 11.90【解析】数列{a}为等差数列，+a=4+ a6=2a5=10,∴.(a4+a6)2-2a5=102-10=90. a1+a2=3, 12.解：由题意，知 a1a2=a4, 2dn+21.解得4-2， a(a+d)=a+3d, d=2 .a=2+(n-1)x2=2n. 故数列{a}的通项公式为a,=2n. 13山)证明：曲2边，可得心之 dotl dn 数列日是以女1为首项、2为公差的等差数列， 1 (2)解：由(1)，知=1+(n-1)x2=2m-1,a,= 47