5.1.2 数列中的递推(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

5.1.2　数列中的递推 1.C　 由a2＝1，则a3＝（－1）2a2＋1＝2，a4＝（－1）3a3＋1＝－1，a5＝（－1）4a4＋1＝0，a6＝（－1）5a5＋1＝1.故选C. 2.A　a8＝S8－S7＝82－72＝64－49＝15. 3.A　由an＋1＝得an＋1－an＝，a17＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（a17－a16）＝1＋×16＝13，故选A. 4.B　由题意a2＝＝3，a3＝＝1，a4＝2a3＋1＝3.故选B. 5.BC　an＝－n2＋11n＝－＋，∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值.故选B、C. 6.ABC　数列{an}满足an＋1＝a1＝，依次取n＝1，2，3，4，…，代入计算得，a2＝2a1－1＝，a3＝2a2＝，a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝＝a1，…，继续下去会循环，数列{an}是周期为4的周期数列，所有可能取值为，，，.故选A、B、C. 7.1　解析：由an＋an＋1＋an＋2＝6可得an＋1＋an＋2＋an＋3＝6，两式相减得an＋3＝an，由此可得a10＝a7＝a4＝a1＝1. 8.2n－1　解析：当n≥2时，an－an－1＝2，则an－1－an－2＝2，…，a2－a1＝2，所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝2（n－1）＋1＝2n－1， 又a1＝1符合上式，因此an＝2n－1. 9.1 012　解析：将数列{an}的奇数项、偶数项分开看，奇数项为1，－1，2，－2，…，发现a2n－1＋a2n＋1＝0，∴a2 023＋a2 025＝a2×1 012－1＋a2×1 012＋1＝0；偶数项为1，2，3，…，∴a2n＝n，当2n＝2 024时，a2 024＝1 012，∴a2 023＋a2 024＋a2 025＝1 012. 10.解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝1－9＝－8； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－[（n－1）2－9（n－1）]＝2n－10. 注意到n＝1时也满足a1＝2×1－10＝－8， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－10. （2）因为5＜ak＜8，即5＜2k－10＜8，解得7.5＜k＜9. 又k∈N＋，所以k＝8. 11.AD　已知数列{bn}满足b1＝2，bn－bnbn＋1＝1，则b2＝1－＝，b3＝1－＝－1，b4＝1－＝2＝b1，所以数列{bn}是以3为周期的周期数列.对于A，b2 025＝b3＝－1，A正确；对于B，T6n＋1－T6n＝b6n＋1＝b1＝2，B错误；对于C，任意相邻三项均在一个周期内，则＝bn－2bn－1bn＝2××（－1）＝－1，C错误；对于D，T2 025＝×（ 2＋－1）＝，S2 025＝＝－1，所以T2 025S2 025＝－，D正确.故选A、D. 12.∪ 解析：由题意数列{an}中，nan＋1＝（n＋1）an＋1，即nan＋1－（n＋1）an＝1，则有－＝＝－，则有＝＋＋（ －）＋…＋＋a1＝＋＋＋…＋＋2＝3－＜3，又对于任意的n∈N＋，不等式＜2t2－1恒成立，即3≤2t2－1恒成立，解得t≤－或t≥. 13.解：∵anan－1＝an－1－an，且an≠0， ∴当n≥2时，－＝1. ∴＝＋＋＋…＋ ＝2＋1＋1＋…＋1＝n＋1. ∴＝n＋1，∴an＝（n≥2）. 又∵n＝1时，a1＝，符合上式，∴an＝. 14.AC　根据题意有Fn＝Fn－1＋Fn－2（n≥3），所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2 023＝F2 025－1.故选A、C. 15.解：（1）∵xn＋2＝＝＝＝xn， ∴a2xn＝（a＋1）＋xn，即（a2－1）xn＝（a＋1）. 令n＝1，得（a2－1）x1＝（a＋1）， 要使该式对任意的x1≠－1都成立， 则有解得a＝－1. （2）数列{xn}是递减数列. 理由如下：∵x1＞0，xn＋1＝，∴xn＞0. 又∵xn＋1－xn＝－xn＝－＜0， ∴数列{xn}是递减数列. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.2　数列中的递推 1.已知数列{an}满足an＋1＝（－1）nan＋1，且a2＝1，则a6＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 2.设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝n2，则a8＝（　　） A.15 B.14 C.13 D.12 3.若数列{an}满足an＋1＝（n∈N＋），且a1＝1，则a17＝（　　） A.13 B.14 C.15 D.16 4.已知数列{an}满足a1＝9，且an＋1＝则a4＝（　　） A.1 B.3 C.7 D.9 5.〔多选〕数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项是（　　 ） A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 6.〔多选〕若数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列{an}中的项的值可能为（　　） A. B. C. D. 7.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋an＋1＋an＋2＝6，则a10＝　　　　. 8.已知数列{an}满足a1＝1，且当n≥2时，－＝1，则an＝　　　　. 9.如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}（n∈N＋）的前12项，如表所示. a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 … x1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4 x 5 y 5 x 6 y6 … 按如此规律下去，a2 023＋a2 024＋a2 025＝　　　　. 10.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－9n. （1）求an； （2）若它的第k项满足5＜ak＜8，求k的值. 11.〔多选〕已知数列{bn}满足b1＝2，bn－bnbn＋1＝1，记数列{bn}的前n项积为Sn，前n项和为Tn，则（　　） A.b2 025＝－1 B.T6n＋1－T6n＝－1 C.＝1（n≥4） D.T2 025S2 025＝－ 12.已知数列{an}中，a1＝2，nan＋1＝（n＋1）an＋1，若对于任意的n∈N＋，不等式＜2t2－1恒成立，则实数t的取值范围为　　　　. 13.已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an（n≥2），且an≠0，求数列{an}的通项公式. 14.〔多选〕数列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是（　　） A.S5＝F7－1 B.S5＝S6－1 C.S2 023＝F2 025－1 D.S2 023＝F2 024－1 15.已知首项为x1的数列{xn}满足xn＋1＝（a为常数）. （1）若对于任意的x1≠－1，都有xn＋2＝xn（n∈N＋）成立，求a的值； （2）当a＝1时，若x1＞0，数列{xn}是递增数列还是递减数列？请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $