5.1.2 数列中的递推-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册练习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第三册人教B版 5.1.2数 效果评价 1.已知数列{a},a=3,a2=6,a+2=a+1+ a,则数列的第5项为() A.9 B.15 C.24 D.39 2.如图所示，九连环是中国传统民间智 力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连 环共需要256步，解下或套上一个环算 步，且九连环的解下和套上是一对逆过程. 九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可 以将九个环全部从框架上解下或者全部套 上.将第n个圆环解下最少需要移动的次数 记为an(n≤9，n∈N),已知a=1,a2=1, 按规则有a,=an-1+3an-2+2(n≥3)，则解下第5 个圆环最少需要移动的次数为() 第2题图 A.15 B.21 C.27 D.31 3.已知数列{a}满足：a=9,a+1= 号，当a为3的倍数时， 则a=(） 2a+1,当an不为3的倍数时， A.1 B.3 C.7 D.9 4)练 列中的递推 4.(多选题)下列条件能确定数列2,4， 6,8,10,…的有() A.a,=a-1+2(n≥2，n∈N) B.a=2an-1(n≥2，n∈N) C.a=2,a=an-1+2(n≥2，n∈N) D.a=2,a+=an+2(n∈N*) 5.若数列a满足a=8,a=t,则 1-an a2026=（） A.8 B.-8 C.9 D-号 6.已知数列{a}满足a1=1,an+1= a+2,n为偶数， 若bn=2m-1,则b4=（) a+3,n为奇数. A.18 B.16 C.11 D.6 7.（多选题)已知数列{a}中，a=3, an+l=-- 1 (n∈N),则能使a,=3的n可以 a+1 为() A.4 B.7 C.15 D.16 8.已知数列{a}满足a=1,a2=2,an+2= _2,则 ar 9.若{a}满足：0<a+<a<1(Hn∈N), 则满足上述条件数列{a}的一个通项公式 为 10.已知数列{a}满足=1，a+1= 41,2,则= 11.在数列{a}中，a+a+1=2n,则数列 {a}前10项和So的值为 12.根据数列{a}的递推公式，写出它 的前4项 a=-2an-1+1(n≥2，n∈N), (1) a=1. |an+2=2an+a+1(n≥1，n∈N), (2) a=1,a2=1. 第五章数列。 13.某剧场有30排座位，第一排有20 个座位，从第二排起，后一排都比前一排多 2个座位 (1)写出前五排座位数 (2)第n排座位数a,与第n+1排座位数 a+1能用等式表示吗？ 提升练习 14.数列{a}满足a+2+22a+…+2m-a,= 号a+1na-1),若对任意A>0,所有的正 整数n都有入2-k入+2>an成立，则实数k的取 值范围是 练(5高中数学选择性必修第三册人教B版 递减；当n≥4时，{a}单调递增..当n=3或n=4时， 数列{a}有最小项，且最小项为a=4=-20. 方法二：不妨设a.为数列{a}的最小值，则 a≤·即r-7-8≤n-1-7a-1)-8, 解得3≤n≤ la.≤a+l, n2-7n-8≤(n+1)2-7(n+1)-8, 4,故当n=3或n=4时，数列{a}有最小项，且最小项 为a=0=-20. 提升练习 14.AD【解析】：数列是一类特殊的函数，其自变 量n∈N,.数列的图象是一群孤立的点，故A正确； 常数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B错误； 当n=1时，4=2≠0，故C错误；a=(V2)°，a2= V2,a=(V2)2,a4=(V2)户，s=(V2)4,…,.该 数列的一个通项公式为a=(V2),故D正确.故选AD. 15Ac【解折】依题室，a=-}名aeN 0<六≤弓，则1≤多六<号、散A正确：超然 2a分则子2即ae恒政立. 因此数列{a}为单调递增数列，不是周期数列，也不 是常数列，C正确，B、D错误.故选AC 5.1.2数列中的递推 效果评价 1.C【解析】a1=3,a=6,a+2-01+an,则as=a+a2= 9,a4=a+a=15,a=a4+=24.故选C. 2.D【解析】由题意，可知3=2+3a1+2=6,a4=+ 3a+2=11,a=a4+3a+2=31.故选D. 3.B【解析】由题意，g-3,4=号=l,a=20+ 1=3.故选B 4.CD【解析】A,B中没有说明某一项，无法确定 数列，故A,B错误；而C,D均可递推出a,=2+2(n- 1)=2n,故C,D正确.故选CD. 5D【折】a=没，a=8.a=-一号。 1-8--7 19 -71 1-71+7 1-87 1+98a 1+19,4s= 9=8,…,.a 8 46 IN 是周期为4的数列，故m=a=-号，故选D. 6.B【解析】b4=a,=06+2=(as+3)+2=a+5 =(a4+2)+5=a4+7=(a+3)+7 =a3t10=(a2+2)+10=2+12 =(a+3)+12=1+15=16. 故选B. 7ABD【解折】由a3。a=中，得a-一子 a=号，a3,∴数列a是周期为3的数列，a=a= a6=3.故选ABD &-1【解标】由已知a一名，则a己， 且a4=-2=-l,m=4=-1,故答案为-1. 2 9.a=号)广（答案不唯一）【解析】0<aa<1 (Hn∈N),即数列{a}单调递减，.满足上述条件数 列a,的一个通项公式可以为a=(号严（答案符合条 件即可) 10.9【解析】由题知a=+3=4,a=2a+1=9.故答案 为9. 11.50【解析】a+a+=2n,'.a4+a=2,a+a4=6,a5+ a6=10,a+a%=14,a+ao=18,.S10=2+6+10+14+18=50.故 答案为50. 12.解：(1)a1=1,2=-2a+1=-1,=-2a+1=3, a4=-2a+1=-5. (2）a=1,a2=1,a3=2a+a=3,a4=2a+a3=5. 13.解：(1)由题意，可知后一排都比前一排多2 个座位，.前五排座位分别为20,22,24,26,28。 (2)由题意，可知后一排都比前一排多2个座位， 故第n排与第n+l排座位数的关系为第n+1排比第n排 多2个座位，即an1=n+2. 提升练习 14.(-∞，V2)【解析】由a+2a+22a+…+2m-a= 号(n+1)n(n-1),当n≥2时，a+2a+2a++2-a1 号n(n-1)m-2. 两式相减可得2a,=号[n+1n-l)-nn-l)n- 2)]=n(n-1),a=n-D,由a=0,显然成立. 21 设a-a,=(n+1)n-n(n-l-n+n-2n2+2n=-2+3n 2 2m- 2 .当0<n≤3时，a-a,>0,当n≥4时，am1-a<0. 因此，当0n≤3时，数列{a}单调递增，当n≥4 时，数列{a}单调递减. a=之，=号，放当3或=4时，数列a取 最大值，且最大值为弓 对任意A>0,所有的正整数n都有A2-k入+2>a 成立， 可得AA+2号因此，A+号，即+员对 任意>0恒成立. 由A+分≥2V牙=V7,当且仅当A=办，即 A=2时取最小值，则k<入+六)=V2,“实数k 1 的取值范围是(-∞，V2). m5.2等差数列 5.2.1等差数列 效果评价 1.C【解析】a+as=a+d+a+7d=2a1+8d=12,∴.a+4d= 6,.a5=6.故选C. 2.A【解析】第一个图形需要3根火柴棒，后面每 多1个图形，则多用2根火柴棒，火柴棒数构成以3 为首项、2为公差的等差数列，则ao=3+2×(10-1)=21. 故选A 3.B【解析】x-1,x+1,2x+3是等差数列的前3 项，2(x+1)=-1+2x+3,解得x=0. ∴.a=x-1=-1,=1,a=3,d=2,.aw=-1+2(n-1)= 2n-3(n∈N).故选B. 4.A【解析】设首项为a,公差为d,a6=a+9, 参考答案。 ∴.a+5d=a+2d+9,即5d=2d+9,解得d=3.2a=s-1, .2(a1+3)=+12-1,解得a1=5,则a=5+3(n-1)=3n+2, 得到a,=3n+2.故选A. 5.D【解析】设数列{a}的公差为d,选项A,B, C都不满足b。-b1为同一常数，.三个选项都是错误 的：6-6一受+号-号数列61必为等 差数列，故D正确.故选D. 6.C【解析】{a},{b}都是等差数列，{a+b} 也是等差数列.又a+b=100,a+b=100,∴.a+b=100, 故as+b3=100.故选C. 7.BC【解析】由3a+=3a+1,得3a+-3a=1,即a a,=了，数列a是公差为号的等差数列.又a=l, 得到a=1:a-)×兮-号+号放选BC 8.-n+2(答案不唯一)【解析】由题意，只要满 足首项是1、公差小于0即可，可取公差为-1，则可得 aw=1+(n-1)×(-1)=-n+2. 9.3n-5【解析】设等差数列{a的公差为d,由 a1+as=-d++3d=2a+2d=8,,a2=1,代人解得d=3,故 a=a+(n-2)d=1+3(n-2)=3n-5.故答案为3n-5. 10.9【解析】依题意，等差数列{a}各项都为正 数，>0，>0，a≤空=a侧片-9，当且仅当 a=a,=3时等号成立. 11.90【解析】·数列{a}为等差数列，a+as=+ a6=2as=10,·.(a4+a6)2-2a5=102-10=90. 4+a2=a, 12.解：由题意，知 a1a2=a4, 2a+dea+2d,解得 a4=2, a(a+d)=a+3d,d=2, .∴.a,=2+(n-1)x2=2n. 故数列{a}的通项公式为a,=2n. 18.(山)证明：由太=从+山，可得女2. at a 数列日是以1为首项、2为公差的等差数列 (2)解：由(1)，知上=1+(n-102=2n-1,a,= 47