专题一共面向量与向量共面定理专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一次

**基本信息** 以共面向量定义与定理为基础，系统构建“概念辨析-定理应用-推论拓展”的方法体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与定理|注1注2+练1|共面向量概念辨析|从基础定义到定理条件的生成| |定理应用|3类应用+练2-4|向量共面/四点共面/线面平行证明|定理到多场景应用的拓展| |定理推论|练5-10|推论条件判断与参数计算|应用到深化拓展的逻辑递进|

专题一共面向量与向量共面定理 1、共面向量：平行于同一个平面的向量，即可以平移到同一个平面的向量。 注1：空间中任意两个向量都共面 注2：空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面。 2、向量共面定理：若a,b不共线，则P与a,b共面的充要条件是：存在唯一的一 组实数七y,使得p=xa+yb 练1、对于空间的任意三个向量a,62a-6,它们一定是(A) A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.不共线向量 解：若a,b共线，则2a-b与a,b共线，则一定共面；若a,b不共线，由向量的 共面定理可知， a,i2a-b共面。 3、向量共面定理的应用 (1)证明向量共面 AB=入AC+HAD A、B、C、D四点共面 (2)证明四点共面： 有公共点A MN=λAB+HAC MNI∥面ABC (3)证明线面平行： MN丈面ABC 练2、已知a,b,c是空间中不共面的向量，若AB=2a-b+c,AC=a+2b-c, AD=-a+mb+nc,若A、B、C、D四点共面，求mn的最大值。 解：因为A、B、CD四点共面，则4B,ACAD共面， 则设AD=xAC+yAD,-a+mb+c=xa-b+c片6+26-c 2x+y=-1 2y-x=m 即-a+mb+nc=(2x+ya+2y-x乃+(k-yk,即x-y=n 法消元法)-1-2x,m=-2-5xn=1+3x,则mm=-15x2-1山x-2,当 11 1 x=- 30时，mn有最大值，最大值为60 法二电等武可知，3m+5n=-mm=古3m:m3+5n月 152- 60,当且仅 3m=5,即m=-,n 10等号成立。mn有最大值，最大值为60 练3、如图，在四面体OABC中，点G、H分别是△4BC,△OBC的重心。设 OA=a,OB=b,OC=c,D、E、F分别为BC、AB、OB的中点，连接AD、OD MWOG、GH。用空间向量证明M、N、G、H四点共面。 B MN=-104--1a 解： 2 丽-0丽-oc号0n-o1+号40号x丽+odoi号m-o oB+0c)-0-10+0c-0 MN=3G五，所以四点共面 练4、如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M、N分别 在对角线BD、AE上，且 且BM-80,aN-{4E 3 ,求证：MN∥平面CDE B 解，因为M作0上，且BM-8n所E-8=Di+ ”所以 3 B,同理 AN=14D+DE ,MN=MB+BA+AN= DA+AB+BA+AD+D正 1 -2B4+1DE-2CD+1D 3 3 3 3 .又因为CD与DE不共线，根据向量的共面定理可 知 M,CD,DE共面，又因为MN￠平面CDE 4、向量共面定理推论 P、A、B、C四点共面，O为空间中任意一点台OP=xOA+yOB+zOC 且x+y+z=1 B 练5、下列条件中，使点M与点A、B、C一定共面的是(AC) A.OM=30A-OB-OC B.OM=104+108+10C 5 3 C.MA+MB+MC=0 D.OM+0A+0B+OC=0 解：10M=30A-0B-0C,3-1-1=,由推论可知四点共面 B0-ao8:0c51由雀论可知四点不指 3 CMA=-MB-MC,由向量的共面定理可知，四点共面 D.OM=-OA-OB-OC,-1-1-1=-3,由推论可知四点不共面 练6、己知平面内由有四点PA、B、C,其中A、B、C三点不共线，且O为 P--x04-10B+40C 2 平面ABC内一点。如果 5 3,则x=_15 14 2 -Y- 十 。=1,x 解： 53 15 练7、如图，在三棱锥P-ABC中，AP与PC的中点分别为M,N,G为MN的中 点D在PA上且PD=名PA,点E在PB上且PE=3PB 点。若 4 ,平面DEF交PC于点 6 F,且PF=APC,则=号_ 解： PC-2PN-2Pi+AM+MN)++2MG -网+}丽-西+-m丽+m+m-四 M=IPi+PB 因为M为AB的中点，所以 2 2 2}Ps+m+2Pc-m-丽 原式=气2 +2m-+而 因为PF=PC,所以 F=-4APE-3APD+4APG 3 4 3+4元=1」 6 ,九= 由3 ,则 练8、己知O为空间中任意一点，P、A、B、C四点共面，但任意三点不共线。 如果BP=mOA+OB+OC,则m=。 解： BP=0P-0B=m0A+0B+0C,Op=m0A+20B+0C,m+2+1=1, m=-2 练9、已知正方体ABCD-AB,C,D,中，P、M为空间任意两点，如果賄 PM=PB+7BA+6AA-4AD那么点M必在（） A.平面BAD内 B.平面BA,D内 C.平面BAD内 D.平面AB,C内 解： PM=PB+BA+6BA+644-44D =P4+6BA-44D =PA,+6PA,-PB-4PD -PA )=11P4,-6PB-4PD 因为1-6-4=1，由推论可知， B、A、DM 四点共面 练10、在正四面体P-ABC中，点P在平面ABC内的投影为0，点M是线段P0 的中点，过点M的平面分别与PA,PB,PC交于E,F,G三点。 (1)若A0=aPA+BPB+PC,求a+B+的值 E=xPA,PF=yPB,PG=PC,求+L+L的值 (2)设 x y Z 解：()Po-A=aPA+BPB+PC,所以Po=(+lPA+BPB+yPc 由O,4B,C四点其面可知 a+1)+B+y=1则a+B+y=0 （2)P而=m+B0=Pm+号P丽=PB+×+B 32 =P丽+ai+}ac=m+i-pc-Pm-i+号i+Pc 因为PE=xPA,PF=PB,PG=zPC,且M为PO的中点 PM=PE+PF+1PGPM=1PE+1PF+1PG 所以 3x 3z即 6x 6v 6z 1+1+1=11+1+1=6 由M,E,F,G四点共面可知6x6y6z,xyz专题一共面向量与向量共面定理 1、共面向量：平行于同一个平面的向量，即可以平移到同一个平面的向量。 注1：空间中任意两个向量都共面 注2：空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面。 2、向量共面定理：若a,b不共线，则P与a,b共面的充要条件是：存在唯一的一 组实数x,y,使得」 练1、对于空间的任意三个向量a,62a-方，它们一定是() A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.不共线向量 3、向量共面定理的应用 (1)证明向量共面 AB=AAC+uAD A、 B、C、D四点共面 (2)证明四点共面： 有公共点A MN=AAB+uAC MNII面ABC (3)证明线面平行： MN在面ABC 练2、已知ab,c是空间中不共面的向量，若AB=2a-方+c,AC=a+26-G, AD=-a+mb+nc,若A、B、C、D四点共面，求mn的最大值。 练3、如图，在四面体OABC中，点G、H分别是△MBC,△OBC的重心。设 OA=-a,OB=i,OC=c,D、E、F分别为BC、AB、OB的中点，连接AD、OD、 MN、OG、GH。用空间向量证明M、NG、H四点共面。 D B 练4、如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M、N分别 在对角线BD、AE上，且 且BM-=BDAN=4E ,求证：MN/平面CDE 4、向量共面定理推论 P、A、B、C四点共面，O为空间中任意一点兮OP=xOA+yOB+zOC 且x+y+z=1 ⊙ 练5、下列条件中，使点M与点A、B、C一定共面的是() 4.OM=30A-0B-OC B.OM=104+10B+L0C 5 3 2 C.MA+MB+MC=0 D.OM+04+0B+OC=0 练6、已知平面内由有四点PA、B、C,其中A、B、C三点不共线，且O为 平面ABC内一点。如果 P--x04-10B+40C 3 ,则x= 练7、如图，在三棱锥P-ABC中，AP与PC的中点分别为M,N,G为MN的中 点D在PA上且PD=2PA,点E在PB上且PE=3PB 点。若 4 ,平面DEF交PC于点 F,且PF=PC,则= 练8、已知O为空间中任意一点，P、A、B、C四点共面但任意三点不共线。 如果BP=mOA+OB+OC,则m=一 练9、已知正方体 ABCD-AB,CD,中，P、M为空间任意两点，如賄 PM=PB+7BA+6AA-4AD,那么点M必在（） A.平面BAD,内 B.平面BAD,内 C.平面BA,D内 D.平面ABC内 练10、在正四面体P-ABC中，点P在平面ABC内的投影为O,点M是线段PO 的中点，过点M的平面分别与PA,PB,PC交于E,F,G三点。 (1)若40=aP+BPB+yPC,求a+B+的值 PE=xPA,PF=yPB,PG=zPC,求+L+l的值 (2)设