第五章 专题课2 数列求和-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

专题课2 学习目标 1.熟练掌握等差数列、等比数列的求和 公式 2.掌握分组求和、并项求和、倒序相加 法求和、裂项相消法求和、错位相减法求和 的思想方法， 要点精析 川要点1分组求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差 数列或等比数列或可求和的数列组成，则求 和时可用分组求和法，分别求和而后相加减. 例1已知数列{a}的首项a=3,通项 a=2p+ng(n∈N,p,q为常数)，且a1,a4, 5成等差数列. (1)求p,q的值 (2)求数列{a}前n项和Sn的公式. 分析先通过题意求出an的通项公式， 进而得到卫，q的值，再根据分组求和法的 思想求出Sn 第五章数列。 数列求和 B变式训练① 已知数列a)中，a=2n-l+,求数 列{a}的前n项和Sn 川要点2并项求和法 在一个数列的前n项和中，可两两结合 求解，则称之为并项求和.形如a=(-l)”f八n) 类型，可采用两项合并求解。 例2若数列{an}的通项公式是a,= (-1)(4n+1),则a1+a2t…+a2=（) A.45 B.65 C.69 D.-105 分析由题意，可得 a,+a+1=(-1)(4n+1)+(-1)*2.[4(n+1)+ 1]=(-1)(-4), 从而可得a1+a12+…+a21=(a1+a12)+…+ （a9+a20)+2: 学(27 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 B变式训练② 已知数列{a}中，a=1,an+an+1=3,Sn 为其前n项和，则S2等于() A.3031 B.3032 C.3033 D.3034 川要点3倒序相加法 如果一个数列{a}的前n项中首末两 端等“距离”的两项的和相等且等于同一个 常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序 相加法，如等差数列的前n项和公式即是用 此法推导的 例3已知数列{a}满足a,+226-=1 (k∈N+,k≤2025)，则数列{a}的前2025 项和S225= (28)学 B变式训练3 设)42品品++ =() A.4 B.5 C.6 D.10 川要点4裂项相消法 ● 把数列的通项拆成两项之差，在求和 时中间的一些项可以相互抵消，从而求得 其和. 例4定义n为n个正数p1, p1+p2十…+pn p2,…,pn的“均倒数”，若已知数列{a} 的前n项的约倒数”为又-字， 4, 则，1+1 1=(） 6b,i动++6bm A B D品 分析由已知得a1+2+…+a,=n(2n+1)= Sn,求出Sn后，利用当n≥2时，a,=Sn-Sn 即可求得通项a,最后利用裂项相消法即 可求和. B变式训练④ 已知数列{a}是公差为2的等差数列， 且是u与9的等差中项. (1)求{a}的通项公式 (2)求1+1+1++1的值 aa aaz ada aoto 第五章数列。 川要点5错位相减法 ● 如果一个数列的各项是由一个等差数列 和一个等比数列的对应项之积构成的，那么 这个数列的前项和即可用此法来求，如等 比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 例5已知数列{a}是等比数列，aa= 号，a=),数列6的前n项和S满足 Sn=3n2+3n. (1)求数列{a}和{b}的通项公式. (2)若c,=b,求数列{c}的前n项和Tn 学(29 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 B变式训练6 已知数列{a}满足a=1,2a=1+1: (nEN"). (1)求数列{a}的通项公式. (2)求数列{a}的前n项和. (30学 数学文化 例某校学生在研究民间剪纸艺术时， 发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对 折.规格为20dmx12dm的长方形纸，对折 一次共可得到10dm×12dm,20dm×6dm 两种规格的图形，它们的面积之和S= 240dm2,对折两次共可以得到5dmx12dm, 10dmx6dm,20dm×3dm三种规格的图形， 它们的面积之和S2=180dm2,以此类推，则 对折四次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果按此方法对折n次，那么 dm2.N 高中数学选择性必修第三册人教B版 2k2 由a=2k2,知a2-1=-2+2k-2=2(k-1)2+2k-2=2k2-2k, k≥2. 将k=1代人，可得a=0,满足上式，.a-1=2k2-2k, 2心，n-2, ,∴.a= 且k∈N* ，n21 "专题课2数列求和 要点精析 例1解：(1)由a1=3,得2p+g=3,又a4=2p+4g, a5=2p+5q,且a+a5=2a4,得3+2p+5g=2p+8q,解得p= 1,9=1. (2)由(1)，知a=2+n, S=(2+22+…+2)+(1+2+…+n)=2-2+n(n+1) 2 变式训练1解：a=-2n-1+, 则s=1++3+)+5+)++2-1+)1+ 3+5+…+2m-1+3+3+3*3 2 4号1- 例2B【解析】a,=(-1)1(4n+1),.a+a=(-1)(4n+ 1)+(-1)n2[4(n+1)+1]=(-1)(-4),则a1+a2+…+a= (a1+a2)+…+(a1g+0)+a21=-4×5+85=65.故选B. 变式训练2D【解析】由题意，得a=2,a=l,a4=2,…, 故奇数项为1，偶数项为2，则S2m=(a+)+(a+a)+…+ (a221+a2m)+223=3×1011+1=3034.故选D. 例32025【解析】S,s=a+a+as++as, S20ms=2ms++a3+a2+41, .2S225=(a1+a2025）+(2+24）+(a3+a223）+…+(a2025+ 又a4+am64=1(k∈N,k≤2025)， ,.a1+02025=a2+2024=l3+a2m3=…=02025十a1=1, 25e-2025,则5e=2925 (30 变式训练3B【解折】由于e)1-)车2+2 1,放原式品+品圳是+…+品)品 =5.故选B. 例4C【解析】由已知，得，” a+a+tan2n+1,∴at a2+…+a=n(2n+1)=Sn.当n≥2时，a=Sn-Sn-1=4n-1,验证 知，当l时政立，透，“动日计 4 +6-号分号分4 ++品识故选C 变式训练4解：(1)2a=a1+a=a+9,∴，as=9. 又d=2,∴.a=2n-1. 2)原武+5+67+…39 1 片号写7动 号十09 例5解：(1)设等比数列{a}的公比是q,由a,= 1 a=1, ag及a3,a=,得 q=3’ 解得1.a= 1 g=9, 9=3 1兮尸(aeN),当m≥2时，6，=S-S=6,当n=l 时，b=S=6,符合上式，故b=6n(n∈N). (2)由（①），知c=b-6n-3叫，∴Lc dcacs…enn, T=6×1×3+6×2×3+6×3×32+…+6(n-1)·3m-2+6n…3m-1, 3T=6×1×3'+6x2×32+6×3x33+…+6(n-1).3+6n3", 错位相减，可以得到-2T=6×3+6(3+32+33+…+3-1)- 6n…3, T-36x3"12-63]-a-23+2 1-3 3[2m-0-341. 变式训练5解：()由题意，知a=l,2a=(1+元a (n∈N). (=a (nN). an+l n 9=10,数列只是首项为1、公比为)的等 比数列 4=分女，a= (2)由(1)，得a=2, 8+++2 由①②错位相减，得 1,1 n 2l-n-2 2n1 2n S,=21-n-2 2-1 数学文化 例5720-15(+3】【解析】由对折两次共可以得到 2n4 5dm×12dm,10dmx6dm,20dm×3dm三种规格的图 形，对折三次的结果有)×12,5x6,10x3,20x共 四种不同规格（单位dm2):故对折四次可得到手×12， 多x6,53,10x号，20x号共五种不同规格. 由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一 半，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公 比为)的等比数列，首项为120dm2,第n次对折后的 图形面积为120x个号尸.对于第n次对折后的阁形的规 格形状种数，根据第一空的过程和结论，猜想为(n+1) 种（证明从略），故得猜想S=120(n+1) 2-1 设S=∑S=120x2+120x3+120x4++120m+1) 20 21 22 则号s129241293++1兽+1201》，两式作 2 21 22 2 差， 参考答案。 得s-240+120(+++2) .11-120(n+1) 2n =240+ 60(1-高120+lD =360-120-120(n+1) 2-1 =360-120(n+3) 2 .S=720-240(n+3）=720-15(n+3) 2 2n4 ●"5.4数列的应用 要点精析 例1解：(1)由题意，飞机模型每分钟上升的高度构 成a=15,d=-2的等差数列，则 S.=nan(1)d=15n+n(nDx(-2)=-n+16n. 2 2 当n=8时，(S)m=Sg=64, 即飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64m. (2)不能超过.由题意，飞机模型每分钟上升的高 度构成b1=15,9=0.8的等比数列， 则S,=b-g2)=75(1-0.8°)<75，这个飞机模型上 1-9 升的最大高度不能超过75m. 变式训练1解：(1)由题意，知a,=1000x2, 当1000x3≥20，neN,解得1≤n≤6， 100x3八，1sn≤6， n∈N 20,n≥7， 80m-40,1≤n≤6， b= nEN 440,n≥7， (2)当1≤n≤6时， 总利润S=n(40+80n40)1001-号门 2 1号 -200x3+40n2-200. 8-8=-200x3+80n-40a≥2. 31 N