阅读衔接学案 有关曲线切线问题的探讨-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

该高中数学导学案聚焦曲线切线问题，衔接选择性必修三导数内容，引导学生从初中圆的切线定义过渡到一般曲线切线的严格概念，理解切线是割线的极限位置，搭建从“直线型几何”到“曲线型几何”的学习支架。 资料通过梳理切线定义的历史发展培养数学眼光，辨析“在某点处”与“过某点”切线的差异提升数学思维的推理能力，结合牛顿切线法体现数学语言的模型观念，助力学生构建知识结构，提升解决切线问题的能力。

课题：有关曲线切线问题的探讨 山东省 2024级高二年级阅读学案 编号：09 编制人： 审核人： ----------衔接选择性必修三6.1《导数》 1、 阅读引导 1. 阅读的价值与意义 （1）从教材内容的拓展看：曲线的切线是导数几何意义的核心载体，也是从 “直线型几何” 向 “曲线型几何” 过渡的关键桥梁。突破 “圆的切线” 这一初中直观定义，建立一般曲线在某点处切线的严格概念，理解切线是割线的极限位置。 （2）从疑难问题的解答看：切线问题看似简单，却极易出现典型易错点与思维误区，例如： 把 “在某点处的切线” 与 “过某点的切线” 混淆；认为 “只有一个公共点就是切线” 忽略导数不存在但切线存在的情况；处理公切线、多切线时漏解、错解。 2.阅读要求与方法建议 阅读时建议做三类标记：概念关键句：切线是割线的极限位置；易错警示句：不能用公共点个数判断切线；解题流程句：设切点→写切线→代入求解→确定方程。 3.检查方式 （1）能说出：切线为什么不能只用公共点个数判断；能区分：“在某点处” 与 “过某点” 的本质差异；能默写：两类切线方程的求解步骤。 （2）合上书，用自己的话梳理： 切线定义发展的三个关键阶段；求切线方程的一设、二代、三求、四写，通用思路形成自己的知识结构图。 二、阅读目标 1.通过阅读曲线切线定义的变化过程，明确在判断一条直线是否为曲线切线的时候，不能简单地用公共点的个数判定；结合牛顿切线法知道切线不仅是几何概念，还是近似求根工具； 2.通过完成思考与评价，能够求过已知一点曲线的切线方程。 三、阅读内容 材料一：曲线切线定义的变化过程 曲线的切线问题是高考常考的一个方面，同时也是研究曲线性质的一个重要方面。切线的定义并非是一成不变的。在古希腊时期的数学中，切线的定义还局限于相对静态的定义，即与曲线只有一个公共点且位于曲线一侧（或“不穿过”曲线）的直线。欧几里得认为圆的切线是落在圆外、与圆只有一个公共点的直线。阿波罗尼斯与阿基米德用同样的方法定义了圆锥曲线与螺线的切线。 直到17世纪，费马利用切线距来求切线、笛卡尔创立解析几何后通过圆法求曲线的切线、托里拆利研究了在水平面内以一定速度抛出物体所描绘的抛物线上作切线的问题，数学家相继发现和研究了一般曲线的切线的一些不同的构造法。其中，巴罗（巴罗是牛顿的老师，当他发现了牛顿的杰出才能后，主动让贤，举荐自已的学生接替自己的职位，成为科学史上的佳话）利用“微分三角形”，即“特征三角形”，把切线看作是割线的极限位置。因此，到17世纪下叶，切线为切点处的极限位置的思想已经成为数学家的共识。德国数学家莱布尼兹将曲线的切线定义“连接曲线上无限接近两点的直线”或“曲线的内接无穷多边形的一条连续边”。法国数学家洛必达在其《无穷小分析》中亦将曲线的切线定义为曲线的内接“无穷多边形”一边的延长线。我们在判断一条直线是否为曲线切线的时候，不能简单地用公共点的个数判定。 在理解了切线定义的变化过程后，接下来，让我们一起探究如何解决曲线切线的问题。假设已知一点，求过这点的曲线的切线斜率或方程。由直线上一点和直线的方向即可确定直线。因此，求切线要先求出切线的斜率与切点，再利用点斜式即可写出直线方程。关键问题在于判断该点是否为曲线的切点。“在某点处的切线”意味着该点即为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点。 求曲线切线方程的步骤： （1）求曲线在点P()处的切线方程的步骤： 第一步，求出函数y＝f(x)在点x＝处的导数值f′()，即曲线y＝f(x)在点P(，f())处切线的斜率； 第二步，由点斜式方程求得切线方程为y－f()＝f′()·(x－)． （2）求曲线过点P(，)的切线方程的步骤： 第一步，设出切点坐标P′(，f())； 第二步，写出过P′(，f())的切线方程为y－f()＝f′()(x－)； 第三步，将点P的坐标(，)代入切线方程，求出； 第四步，将的值代入方程y－f()＝f′()(x－)可得过点P()的切线方程． 材料二：用牛顿切线法求方程的近似根 牛顿（1643-1727）给出了牛顿切线法：用“作切线”的方法求方程的近似解如图，设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点（）作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，若，那么. 例1．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点（）作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是（     ） A． B．切线： C． D． 解析：由，可得，即，根据函数零点的存在性定理，可得，所以A正确； 又由，设切点，则切线的斜率为，所以切线方程为，令，可得，所以D正确；当时，可得，则，所以的方程为，即，所以B正确；由，可得，，此时，所以C错误；故选：ABD 例2．英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛．若数列满足，则称数列为牛顿数列．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的最大正整数的值为________． 解析：因为，所以，则，又，，所以是首项为，公比的等比数列，则，令，则，又因为在定义域内单调递增，且，所以，所以最大正整数的值为10.故答案为：10. 四、思考与评价 1.请分别求出三次函数在处的切线方程. 思考：在图中画出两条切线，并指出两条切线与曲线的公共点的个数。 2．已知函数，求曲线的平行于直线的切线方程. 3.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643-1727）给出了牛顿法—用“作切线”的方法求方程的近似解如图，方程的根就是函数的零点r，取初始值处的切线与轴的交点为在处的切线与轴的交点为，一直这样下去，得到，它们越来越接近r.若，则用牛顿法得到的r的近似值约为______（结果保留两位小数）. 4. 英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛．若数列满足，则称数列为牛顿数列．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的最大正整数n的值为_______ 5、 答案与提示 2.由已知得，直线的斜率为1，令，得， 设，则在上恒成立，所以在上单调递增，而，所以方程有唯一解，此时，故曲线的平行于直线的切线只有一条，即在点处的切线. 3.解析：由，，所以在处的切线方程为：，令， 可得：，所以在处的切线方程为：，令，故答案为： 4.解析：因为，所以，则，又，，所以是首项为，公比的等比数列，则， 令，则，又因为在定义域内单调递增，且，所以，所以最大正整数n的值为10.故答案为：10. 山东省昌乐一中 高二数学阅读学案 编号26 编制：潘春燕 郑晓丹 修改：荣丽萍 王家凤 审核：王凤杰 审批：尹万鑫 1 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $