第五章 专题课1 数列的通项公式-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第三册人教B版 变式训练3a=4(兮”【解析】设数列a)的首项为 、公比为q,所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇， S.由题意，可知S奇+S=4S偶，即S奇=3S倘..数列{a}的 项数为偶数.9=爱号又0g0w-64. 64,即a=12,故所求通项公式为a=12(兮)4（兮月 例4解：方法一：Sn≠2Sn,q≠1， 4(1-9）=48,① 1-9 由已知，得 4(1-g）=60,② 1-9 ②0，得1+w至，即产 4，③ ③f代入①.得64,5=2-641-63. 19 1-g 方法二：：{a}为等比数列，显然公比不等于1， Sn,S-Sn,Sn-Sn也成等比数列， ..(Sz-S.)2=S.(Sw-Sz), S=(S8+S,=60-482+60=63. 48 变式训练4(1)A(2)60【解析】(1)S,So-S, S1s-So成等比数列，即1,2，a1+a2+a3+a4+as成等比数 列，∴.a+a2+3+a4+as=4.故选A. (2)设等比数列{a}的公比为q, S18=7S6,.q≠1，S12=S6+9S6=S6(1+g)=12,.S6≠0， 故S6,S2-S6,Ss-S2成等比数列，且公比为g, .S18=S6+(S2-S6)+(S18-S2)=S6+9S6+q2S。=7S6, 整理，得S6(g2+g-6)=0. S6≠0，故g2+q-6=0,解得g=2, .S24=S12+(S24-S12)=S12+g12S12=S12(1+gl2)=5S12=60. 数学文化 例B【解析】F=22+1(n=0,1,2,…),∴a= 1og4(F.-1)=log4(2”+1-1)=log2=2m-1,.{a}是等比数 列，首项为1、公比为2，S=122）=2-1.32(2-1) 1-2 =63×2-1,解得n=6.故选B. :专题课1数列的通项公式 要点精析 例1解：(1)观察数列中的数，可以看到0=1-1,3= (28 4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,.它的一个通项 公式是a=n2-1. (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是 连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负， .它的一个通项公式为a=(-1)*(2n-1). (3)5=22+1,10=32+1,17=42+1,.数列的一个通 项公式为a,=n n2+1 (④)原数列的各项可变为)×9，号×9，号×99， 号x999,,易知数列9,99,9,999…的 个通项公式为10-1，.原数列的一个通项公式为，= g10-). 变式训练1D【解析】当n=1时，21=1≠0，故A项 n 结误：当=2时，2以子分改B项错误：当= n 1时，n+2≠0，故C项错误：因数列0，多，号 n 华“，可以写成1片2分3分4一，故 其通项公式可以写成a,=n-上，故D项正确.故选D. n ar+atas=7, 例22【解析】由 得a2=2, 6a2=a++7, :ata=5,即9+=5，解得9=2或g=2 9 {a}单调递增，.q=2,.a,=2 变式训练2V2n+2【解析】a,=V2+a-,∴.ad=2+G, .a-a=2,{a}是以4为首项、公差为2的等差数 列，∴.ad=4+(n-1)x2,∴a,=V2n+2. 例3解：当n=1时，a=3; 当n≥2时，a,=S-Sn-=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1. 经检验，=3符合上式，∴a,=2n+1. 变式训练3解：(1)当n=1时，a=1; 当2时，a=8-8g号号 2 整理，得子一，即之分 a是以首项为1、公比为-号的等比数列， a=3 (2)设b=nan,{b}的前n项和为Sn 当n=1时，b1=5,则a=5: 当n≥2时，bm=S.-S-1=3n2+2-3(n-1)2-2=6n-3, 则a=63(a≥2) 5,n=1, 会橙验，a不符合上式，a=6n-3,n≥2 例4C【解析】a-a,=2n+1, 则当n≥2时，a,-am=2n-1, … a3-u2=5, 42-41=3, ∴.a,-an-+…+ag-a+a2-a=2n-1+…+5+3, 化简，得a-a=m-)2n-1+3》=n2-1. 2 又a=2,.a,=n2+1. 经检验=2也符合上式，∴.a=n2+1(n∈N).故 选C 变式训练4解：a-4,=2,当n≥2时，&- 2，，aa7,as克，4=3， 1 1 1 F2，∴-ata-a+ 11 a-+…+2++，am=22=1- 1,1 11 2 高，a=号士，经检验1时符合上式。 例5a= Fnn+1【解标】由题意，得凸u:n 1 an n+2' 当n≥2时，9.4.4..4=1x2×3 1a23 a=3×4×号×… xn-1 ar n(n+1) 又当=l时，4宁a经检验， 1 时符合 变式训练52【解析】a4=2a,当n≥2时， =2,…,4=2,=22,=2,.4…4.. an-1 an-1 a3 a 2=-2…2.22-2*a2,=2,%-2 参考答案。 例6解：a41=2a,+1,∴a+1=2(a+1), .{a+1)是以2为首项、2为公比的等比数列， ∴.an+1=2",∴.a=2-1. 变式训练6解：(1)由题意，可得a1=4a+1,∴a1+ 号=4a+兮)，a+兮是以1为首项、4为公比的等比 数列，a+写=4，a-4儿号 (2)将a+1=2a+3·2"两边同时除以21， 21-2 故数列分是以1为首项、弓为公差的等差数列， 由等差数列的通项公式，得号=1+号a-1)子， 2 .数列{a}的通项公式为a=(3n-1)2- 例7解：玩太3. 日是以3为首项。3为公差的你法数列。 =3n,a-3n 1 变式训练72【解折】由a-a产你 n(n+1) (n∈N), 可得1-1=1 11 a+la.n(n+l）nn+1 1-1=1-1,11-11 2412’aa23’ …, 1_1=1-1(m≥2)， d dot n-1 n 累加，可得=1-n≥2)，即a=2 当n=1时，a=1也符合上式， :.a,-2n-1 数学文化 例解：a22=+1+2k+2=a2+2k+2k+2=a+4k+2, 即a2422=4k+2, ∴.a--2=4k-2,a2-2--4=4k-6,…，a4-a2=6, 由累加法，可得ax--2ta-2-a4+…+a4-=4-2+ 4k-6+…+6, 即02=+6+10+…+4h-2=2+6+…+4k-2=(2+4k-2)k 2 29 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 2k2 由a=2k2,知a2-1=-2+2k-2=2(k-1)2+2k-2=2k2-2k, k≥2. 将k=1代人，可得a=0,满足上式，.a-1=2k2-2k, 2心，n-2, ,∴.a= 且k∈N* ，n21 "专题课2数列求和 要点精析 例1解：(1)由a1=3,得2p+g=3,又a4=2p+4g, a5=2p+5q,且a+a5=2a4,得3+2p+5g=2p+8q,解得p= 1,9=1. (2)由(1)，知a=2+n, S=(2+22+…+2)+(1+2+…+n)=2-2+n(n+1) 2 变式训练1解：a=-2n-1+, 则s=1++3+)+5+)++2-1+)1+ 3+5+…+2m-1+3+3+3*3 2 4号1- 例2B【解析】a,=(-1)1(4n+1),.a+a=(-1)(4n+ 1)+(-1)n2[4(n+1)+1]=(-1)(-4),则a1+a2+…+a= (a1+a2)+…+(a1g+0)+a21=-4×5+85=65.故选B. 变式训练2D【解析】由题意，得a=2,a=l,a4=2,…, 故奇数项为1，偶数项为2，则S2m=(a+)+(a+a)+…+ (a221+a2m)+223=3×1011+1=3034.故选D. 例32025【解析】S,s=a+a+as++as, S20ms=2ms++a3+a2+41, .2S225=(a1+a2025）+(2+24）+(a3+a223）+…+(a2025+ 又a4+am64=1(k∈N,k≤2025)， ,.a1+02025=a2+2024=l3+a2m3=…=02025十a1=1, 25e-2025,则5e=2925 (30 变式训练3B【解折】由于e)1-)车2+2 1,放原式品+品圳是+…+品)品 =5.故选B. 例4C【解析】由已知，得，” a+a+tan2n+1,∴at a2+…+a=n(2n+1)=Sn.当n≥2时，a=Sn-Sn-1=4n-1,验证 知，当l时政立，透，“动日计 4 +6-号分号分4 ++品识故选C 变式训练4解：(1)2a=a1+a=a+9,∴，as=9. 又d=2,∴.a=2n-1. 2)原武+5+67+…39 1 片号写7动 号十09 例5解：(1)设等比数列{a}的公比是q,由a,= 1 a=1, ag及a3,a=,得 q=3’ 解得1.a= 1 g=9, 9=3 1兮尸(aeN),当m≥2时，6，=S-S=6,当n=l 时，b=S=6,符合上式，故b=6n(n∈N). (2)由（①），知c=b-6n-3叫，∴Lc dcacs…enn, T=6×1×3+6×2×3+6×3×32+…+6(n-1)·3m-2+6n…3m-1, 3T=6×1×3'+6x2×32+6×3x33+…+6(n-1).3+6n3", 错位相减，可以得到-2T=6×3+6(3+32+33+…+3-1)- 6n…3, T-36x3"12-63]-a-23+2 1-3 3[2m-0-341. 变式训练5解：()由题意，知a=l,2a=(1+元a (n∈N). (=a (nN).第五章数列。 专题课1数列的通项公式 反思感悟 学习目标 观察法的解题关键是观察数列的前 1.熟练掌握等差数列、等比数列的通项 项中哪些元素是不随项数的变化而变化的， 公式 哪些元素是随项数的变化而变化的，以及 2.掌握由an与Sn的关系求a,由递推 是怎么变化的 关系求an的思想方法. 变式训练1 要点精析 数列0，昌，号 ，…的通项公式可 川要点1观察法 能是() 例1写出下列数列的一个通项公式. A.21 B.2-1 n (1)0,3,8,15,24,… (2)1,-3,5,-7,9,… C.n+1 D.n-1 n n (3)0,222,32-3.4-4 5’10’17’ … 川要点2公式法 (4)1,11,111,1111,… 例2设递增等比数列{a}的前n项和 为Sn,若S,=7,且a+3,32,a+4为等差数 列，则a= 反思感悟 当已知数列为等差数列或者等比数列 时，只需利用条件求得基本量（首项1及 公差d或者公比q)即可写出通项公式，解 题时务必分清是等差数列还是等比数列. 变式训练2 在数列{a}中，a=2,an=V2+a马 (n≥2)，则a= 学(23 高中数学选择性必修第三册人教B版 川要点3由an与Sn的关系求an 川要点4由递推关系求通项公式 例3已知数列{a}的前n项和为Sn= 由数列的递推公式求通项公式，通常需 n2+2n,求数列{a}的通项公式。 要对递推公式进行转化与化归，使之转化为 特殊的等差或等比问题再求通项公式，主要 体现在以下几个方面： (1)形如an+1=an+f(n). (2)形如a+=af(n). (3)形如a+=pa+q(p≠0且p≠1). （④形如ac或aa=rB. (A,B,C为常数). 反思感悟 例4已知a=2,a+1-a=2n+1(n∈N), 已知Sn与an的关系时，可利用 则a=（ S1,n=1, A.n+1 B.2n+1 an= 求解，通常是通过 Sn-Sn1,n≥2 C.n2+1 D.2n2+1 a=Sn-Sn-1(n≥2)消去Sn或am两种途径 反思感悟 解决 用“累加法”求数列的通项公式： 当a-an-1=f(n)（(n≥2)满足一定条件 B变式训练3 时，常用a=(an-an-i)+(an-1-an-2）+…+(a2-a1) (1)设Sn为数列{a}的前n项和，Sn= +a累加来求通项a.特别地，当f(n)=常数 }a+子，求数列a的通项公式 1 时，该数列为等差数列，因此，f(n)不为常 数时可利用累加法。 (2)已知数列{a}满足a+222+32+… +n2a,=3n+2,求数列{a}的通项公式. 变式训练4 已知数列a满足a=方，a+ 分， 求数列{a}的通项公式. (24学 第五章数列。 例5已知数列a侧的首项是a=分，且 反思感悟 已知形如a1=pa,+q(p≠0且p≠1)的 am=nan 3, 则数列{a}的通项公式为 递推关系式求通项公式时，一般先构造公 反思感悟 比为p的等比数列{an+x},即将原递推关 用“累乘法”求数列的通项公式： 系式化为a++x=p(a+x)的形式，再求出数 列{a+x}的通项公式，最后求{a}的通项 当af(n)(n≥2)满足一定条件时， an-1 公式. 常用a=a..42.…·a累乘来求 an-1 an-2 an-3 变式训练6 通项an.特别地，当f(n)=常数时，该数列 为等比数列，因此，f(n)不为常数时可利 ()在数列al中，若a=号，且点 用累乘法。 P(a,at1)在直线4x-y+1=0上，求数列{a 的通项公式， B变式训练⑤ (2)已知数列{a}满足+1=2a,+3·2", 已知数列{a}满足a=1,a+=2a,则 a=2,求数列{a,}的通项公式。 an= 例6已知数列{a}满足a=1,a1= 2a+l,求数列{a}的通项公式. 学(25 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 例7在数列a中，若a=弓，a 数学文化 3+1,求数列a的通项公式 例“太极生两仪，两仪生四象，四象 生八卦…”，“大衍数列”来源于《乾坤 谱》，用于解释中国传统文化中的太极衍生 原理.“大衍数列”{a}的前几项分别是 0,2,4,8,12,18,24,…,且{a}满足 (an-I+n,n=2k, 其中k∈N.求a an-1+n-1,n=2k+1, (用n表示). 反思感悟 已知形如4=Aa。的递推关系求通 Ba+C 项公式时，一般对递推关系式两边取倒数. 当A=C时，化为1-1=B的形式，可构 ana1 an A 造得等差数列 1 a；当A≠C时，化为 1+ =C1x的形式，再用构造法 an+l 求得 变式训练⑦ 已知数列{a}满足a=l,a,a=a n(n+1) (neN),则aw= (26)学