专题课2 数列求和-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

专题课2 学习目标 1.熟练掌握等差数列、等比数列的求和 公式 2.掌握分组求和、并项求和、倒序相加 法求和、裂项相消法求和、错位相减法求和 的思想方法、 要点精析 川要点1分组求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差 数列或等比数列或可求和的数列组成，则求 和时可用分组求和法，分别求和而后相加减。 例1已知数列{a}的首项a=3,通项 a,=2p+ng(n∈N,p,q为常数)，且a1,a4, 成等差数列. (1)求p,g的值. (2)求数列{a}前n项和Sn的公式. 分析先通过题意求出a的通项公式， 进而得到P,q的值，再根据分组求和法的 思想求出Snm 第五章数列。 数列求和 B变式训练① 已知数列a,中，a,=2m-1+,求数 列{an}的前n项和S 川要点2并项求和法 在一个数列的前n项和中，可两两结合 求解，则称之为并项求和.形如a=(-1)f(n) 类型，可采用两项合并求解。 例2若数列{a,}的通项公式是a,= (-1)*(4n+1),则a+a12+…+a=（） A.45 B.65 C.69 D.-105 分析由题意，可得 an+an+1=(-1)+(4n+1)+(-1)+2.[4(n+1)+ 1]=(-1)(-4), 从而可得a1+a2+…+a21=(a1+a12)+…+ (a19+a2o)+21 学 27 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 B变式训练② 已知数列{an}中，a1=1,an+an+1=3,S元 为其前n项和，则S2等于() A.3031 B.3032 C.3033 D.3034 川要点3倒序相加法 如果一个数列{a}的前n项中首末两 端等“距离”的两项的和相等且等于同一个 常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序 相加法，如等差数列的前n项和公式即是用 此法推导的. 例3已知数列{an}满足a4+a2+=1 (k∈N,k≤2025)，则数列{a}的前2025 项和S22s= (28)学 B变式训练③ 设南片品品 9=() A.4 B.5 C.6 D.10 川要点4裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和 时中间的一些项可以相互抵消，从而求得 其和. 例4定义。n。为n个正数p1, ptp2t…+pn p2,…,Pm的“均倒数”，若已知数列{a 的前n项的“均倒数”为又6=生， 4, +6++on 则、1 ,1=（） 1 A.11 B.12 c” D出 分析由已知得a++…+an=n(2n+l)= Sn,求出Sn后，利用当n≥2时，a,=Sn-Sn 即可求得通项a,最后利用裂项相消法即 可求和. B变式训练④ 已知数列{a}是公差为2的等差数列， 且3是a1与9的等差中项. (1)求{an}的通项公式 (2)求1+1+1+…+1的值 aa ad3 a3d4 l19l0 第五章数列。 川要点5错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列 和一个等比数列的对应项之积构成的，那么 这个数列的前项和即可用此法来求，如等 比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 例5已知数列{a}是等比数列，aa= 号=)，数列6的前n项和8满足 1 Sn=3n2+3n. (1)求数列{a}和{bJ的通项公式. (2)若c=b,求数列c的前n项和Tn 0. 学(29 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 变式训练5 已知数列{a,满足a=1,2a1=1+1& (nEN). (1)求数列{a}的通项公式. (2)求数列{an}的前n项和. 30)学 N 数学文化 例某校学生在研究民间剪纸艺术时， 发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对 折.规格为20dm×12dm的长方形纸，对折 一次共可得到10dmx12dm,20dm×6dm 两种规格的图形，它们的面积之和S,= 240dm2,对折两次共可以得到5dmx12dm, 10dmx6dm,20dmx3dm三种规格的图形， 它们的面积之和S2=180dm2,以此类推，则 对折四次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果按此方法对折n次，那么 dm2.高中数学选择性必修第三册人教B版 2k2 由a2=2k:2,知ax-=x-+2k-2=2(k-1)2+2k-2=2k2-2, k≥2. 将k=1代人，可得a=-0,满足上式，a-=22-2k, 且k∈N 2-1. "专题课2数列求和 要点精析 例1解：（1)由a=3,得2p+9=3,又：a=2p+4q, as=2p+5g,且+s=2a4,得3+2p+5g=2p+8g,解得p= 1,q=1. (2)由(1)，知a=2+n, S=(2+22++2")+(1+2++n)=2*L-2+n(m+1 2 变式训练1解：a,=2m-1+ 3m 则5=1+3+3+京)+5+3)++2m-1+子=1+ r分1g业，0 2 1-1 n431-g月 例2B【解析】aw=(-1)(4n+1),∴.a+a+=(-1)(4n+ 1)+(-1)2[4(n+1)+1]=(-1)r(-4),则a+a2+…+= (a+a2)+…+(a19+a)+a2=-4×5+85=65.故选B. 变式训练2D【解析】由题意，得a=2,as=1,a4=2,…, 故奇数项为1，偶数项为2，则S2=(a+a2)+(a+a4)++ (am1+m)+a2m=3×1011+1=3034.故选D. 例32025【解析】S2s=++a++as, 2 S20s=20ms+…+a3+2+a1, .2S2s=(41+a2ms)+(a+a24)+(a3+02)+…+(a2ms+ a1). 又a4+am-4=1(k∈N+,k≤2025)， .'.a1+420s=42+a2D4Fa+4202==a2Ds+41=1, ,2S,e=2025,则Ss=2025 2 30 N 变式训练3B【解析】由于fx)+1-x)=4+2+4+2 4* 4 1,故原式”品号）*…】 =5.故选B. 例4C【解折】由已知，得4aa+ at…+aw=n(2n+1)=Sn.当n≥2时，am=S.-S=4n-1,验证 知，当1时t成立，6华，“】 点*+--r川分号兮 +-品品微适c 变式训练4解：（1).2a=a1+s=a+9,.as=9. 又d=2,∴a=2n-1. 2)原式高+5*++ 1 1 =11}+分-++- =21335+1 3739 =11-1-19 Γ2139厂39 例5解：(1)设等比数列{a}的公比是q,由a= a=1, ag及aa号，ag,得 1 解得1.a= 产g 9=3 1(兮”aeN),当n≥2时，b,=8-S=60,当n=l 时，b=S,=6,符合上式，故b=6n(neN). (2)由(，知c=a6n3叫，Tcdcaccc, T=6×1×346x2×3+6x3x32+…+6(n-1)3"-2+6n…3-, 3T=6×1×3+6×2x32+6x3x33+…+6(n-1)·3+6n-3", 错位相减，可以得到-2T=6×3+6(3+32+33+…+3-)- 6n-3" -6x3l2-6m3--3-3+号 1-3 多[2-103+1. 变式训练5解：《(1)由题意，知a=1,2a1+a (n∈N). 2)=(a (neN) +l n+12n n+L、1 2 n :4=1≠0，数列%是首项为1、公比为号的等 n 比数列 兴分克是 2)由(1)，得a=2是， 由①②错位相减，得 1 s1++ 222+…+ 1 n 1-(2)n=2-2 22- 11 2 S=2-n-2 2-l 数学文化 例5720-5+3】【解析】由对折两次共可以得到 2-4 5dm×12dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种规格的图 形，六对折三次的结果有号×12,5x6,10x3,20x号共 四种不同规格（单位dm):故对折四次可得到子×12， 多6,5x3,10x号，20x共五种不同规格。 由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一 半，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公 比为)的等比数列，首项为120dm2,第n次对折后的 1- 图形面积为120x2.对于第n次对折后的图形的规 格形状种数，根据第一空的过程和结论，猜想为(n+1) 种（证明从略），故得猪想S=120n+1) 2-1 设S=∑s=120x2+120x3+120x4++120(+1D 20 21 22 2r1 则1S=120x2+120x3++120+120+1,两式作 21 22 2-1 2 差， 参考答案。 得25=240*120(2+++2-120g* 2 =240 601-2）120+D 12 2 =360-120-120(n+1) 2r- 2" =360-120(n+3) S-=720-240(n+3)=720-15(n+3) 2 24 m5.4数列的应用 要点精析 例1解：(1)由题意，飞机模型每分钟上升的高度构 成a=15,d=-2的等差数列，则 S.=na+n(n1)d=15n+(n1)x(-2)=-W+16n. 2 2 当n=8时，(Sn)m=S8=64, 即飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64m. (2)不能超过.由题意，飞机模型每分钟上升的高 度构成b=15,q=0.8的等比数列， 则S=b(14)=75(1-0.8)<75,这个飞机模型上 1-9 升的最大高度不能超过75m 变式训练1解：(1)由题意，知a=1000x分)， 当1000x分≥20，neN,解得1≤n≤6， 1000x2,1≤n≤6， .∴.0w= neN'. 20,n≥7， (80n-40,1≤n≤6， b,-440,n≥7. nEN'. (2)当1≤n≤6时 总利润S=440+0a-4021001-分] 2 200x号)+40-200. s-8=-200x7广+80m-40a≥2. 31