6.1.2导数及其几何意义导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第三册

山东省2024级 高二数学 课时学案 编制人： 审核人： 班级 小组 姓名 使用时间 2026年 月 日 编号： 选修3-18 课题：导数及其几何意义 【课标要求】 通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想。 【学习目标】 1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，会应用定义求简单函数的导数，并能说出其实际意义； 2.通过例题研究，会求曲线上某点处的切线斜率及方程. 复习回顾： 1.函数的平均变化率和物体运动的平均速度的概念，二者有何关系？ 【基础自学】 阅读课本第68-74页，并在学案上完成问题及思考： 自学任务一：瞬时变化率与导数 问题1:设函数在及其附近有定义，当自变量在附近改变量为，则函数值的改变量等于什么？并写出函数的平均变化率. 问题2:如何定义函数的瞬时变化率以及函数在某一点处的导数？ 函数y =在处的导数记作__________________ 注意:(1)对函数的平均变化率与瞬时变化率的理解； (2)的意义 (3)当时，存在一个常数k与无限接近 【自学评测1】 1. 已知函数,求. 2. 一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（ ） A．从时间到时，物体的平均速度 B．在时刻时该物体的瞬时速度 C．当时间为时物体的速度 D．从时间到时物体的平均速度 自学任务二：导数的几何意义 问题3：观察函数的图象，已知点、，是割线. 思考下列问题: (1)计算一下割线的斜率：___________x y o x1 x2 △x＝x2-x1 y1 y2 △y＝y2-y1 y＝f(x) A B D (2)函数在AB间的平均变化率是与割线 的斜率有什么关系？ (3)由此可以得出的结论是： 当时,点沿曲线趋近于点,割线的斜率趋向于过点的切线的斜率，因此 函数y = f (x)在点（x1，f (x1)）处的导数的几何意义是什么？ 【自学评测2】 1. 在中，不可能（ ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．大于0或小于0 2.如图，函数的图象是线段，求的值. 【合作探究】 例1.在生产过程中，产品的总成本C一般来说是产量Q的函数，记作C=f(Q)，称为总成本函数。为了方便起见，经济学家一般假设Q能在某一区间内连续地取值，并将总成本函数在Q0处的导数 f '(Q0)称为在Q0处的边际成本，用MC（Q0）表示，即MC（Q0）= f '(Q0). 已知某产品的总成本函数为C=Q2+2Q,求边际成本MC（500），并说明其实际意义. 例2.已知函数，求曲线在处切线的斜率与方程. 例3．求在点处的切线方程. 例4.已知函数，计算f(2.03)的近似值. 【课堂随测】 1．自变量从变到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ） A.在区间[，]上的平均变化率 B.在处的变化率 C.在处的变化量 D.在区间[，]上的导数 2．求下列曲线在给定点的切线的方程： (1)； (2)； (3). 3.已知函数，其中a，b，c为常数，求这个函数在和处的导数. 4. 求球的体积在半径为3时的瞬时变化率，并指出这一瞬时变化率的实际意义. 5.已知，利用，求的近似值. 6. 求抛物线上的点到直线的距离的最小值. 【课堂小结】 1.平均变化率、瞬时变化率与导数的定义； 2.求曲线上某点处的切线斜率及方程。 1 学科网（北京）股份有限公司 $