6.2.2 导数与函数的极值、最值-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第三册人教B版 6.2.2导数与函数的极值、最值 第1课时导数与函数的极值 学习目标 1.理解函数的极值概念. 2.会运用导数求函数的极值. 要点精析 川要点1函数极值点、极值的概念 1.一般地，设函数y=f(x)的定义域为 D,设xo∈D,如果对于附近的任意不同 于o的x,都有 (1)f(x)<f(xo),则称o为f(x)函数的一 个极大值点，且f(x)在xo处取极大值； (2)f(x)>f(xo),则称xo为f(x)函数的 一个极小值点，且f(x)在xo处取极小值 2.极大值点与极小值点都称为极值点， 极大值与极小值都称为极值！ 例1作出下列函数的图象，观察图 象，指出下列函数的极值和极值点 B变式训练① (1)f(x)=x2. (2)f(x)=x3. (1)判断正误（正确的填“正确”，错 (3)f(x)=-lxl. 误的填“错误”)· 分析画出函数图象，结合极值、极 ①函数的极大值一定大于其极小值 值点的定义判断 () ②导数为0的点一定是极值点.() ③函数y=f(x)一定有极大值和极小值. () ④函数的极值点是自变量的值，极值是 函数值. () (58)学 第六章导数及其应用。 (2)设函数f(x)的导函数为f'(x),y= 例2已知函数f(x)=x(x-a)2+b在x=1 f'(x)的部分图象如图所示，则() 处取得极大值. (1)求a的值. (2)若-4<b<0,证明：f(x)有且只有3 个零点 图6-2-3 A.函数)在乃，1上单调递增 B.函数f(x)在(0,4)上单调递增 C.函数f(x)在x=3处取得极小值 D.函数f(x)在x=0处取得极大值 反思感悟 (1)极值点x0是一个实数； (2)极大值和极小值之间没有必然的 大小关系； (3)极值点0是区间内部的点 川要点2函数极值点、极值的求法 一般地，设函数f(x)在o处可导，且 f'(xo)=0 （1)如果对于xo左侧附近的任意x,都 有f'(x)>0,对于o右侧附近的任意x,都 有f'(x)<0,那么此时xo是f(x)的极大值点； (2)如果对于左侧附近的任意x,都 有f'(x)<0,对于o右侧附近的任意x,都 有f'(x)>0,那么此时o是f(x)的极小值点； (3)如果f'(x)在xo的左侧附近与右侧 附近均为正号（或均为负号），则0一定不 是yfx)的极值点， 思考极值点为什么要求导数符号的 改变？ 学(59 高中数学选择性必修第三册人教B版 B变式训练② 数学文化 判断下列函数是否存在极值.若有，请 例（多选题）材料：函数是描述客观 求出极值点和极值；若没有，请说明理由. 世界中变量关系和规律的最为基本的数学语 （)fx)=-g44 言和工具，初等函数是由常数和基本初等函 数经过有限次的有理运算及有限次的复合所 (2)fx)32x244 产生的，且能用一个解析式表示的函数，如 函数f(x)=x(x>0),我们可以作变形：f(x) =x=er=enr,f(x)=x可看作是由函数p(t) =e'和g(x)=xlnx复合而成的，即f(x)=x(x> 0)为初等函数 根据以上材料，对于初等函数h(x)=x (x>0)的说法正确的是（) A.无极小值 B.有极小值1 C.无极大值 D.有极大值ea 分析根据给定信息，对函数h(x)变 形并求导，进而判断其极值情况即可得解. 反思感悟 (1)极值点0是一个实数； (2)极大值和极小值之间没有必然的 大小关系； (3)极值点0是区间内部的点. (60)学 第六章导数及其应用。 第2课时导数与函数的最值 则f(x)在区间[a,b]内必有最大值与最 学习目标 小值 1.理解函数最值的概念。 (2)(多选题)f(x)是定义在区间[a, 2.会运用导数求函数的最值 b]上的函数，其导函数f'(x)的图象如图 要点精析 所示，则在区间[a,b]内（) 川要点1函数最值的概念 ● 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D, 设o∈D,如果对于Hx∈D: (1)f(x)≤f(xo),则称xo为f(x)函数的 图6-2-4 一个最大值点，且f(x)在o处取最大值； (2)f(x)≥f(xo),则称为f(x)函数的 A.函数f(x)有三个极值点 一个最小值点，且f(x)在处取最小值 最大值点与最小值点都称为最值点，最 B.函数f(x)的单调增区间为(x1,x5) 大值与最小值都称为最值。 C.函数f(x)的最大值可能为f(x5) D.函数f(x)的最小值可能为f(a) 思考最值的定义和极值的定义有何 不同？ B变式训练① 例1(1)（多选题）下列结论中不正 (1)判断正误（正确的写“正确”，错 确的有（) 误的写“错误”）· A.若函数f(x)在区间[a,b]上有最 ①函数的最大值不一定是函数的极大 大值，则这个最大值一定是函数f(x)在区 值 () 间[a,b]上的极大值 ②函数f(x)在区间[a,b]上的最大值 B.若函数f(x)在区间[a,b]上有最 与最小值一定在区间端点处取得.() 小值，则这个最小值一定是函数f(x)在区 ③有极值的函数一定有最值，有最值的 间[a,b]上的极小值 函数不一定有极值. () C.若函数f(x)在区间[a,b]上有最 ④若函数f(x)有两个最值，则它们的和 值，则最值一定在x=a或x=b处取得 大于零 () D.若函数f(x)在区间[a,b]内连续， 学 (61 高中数学选择性必修第三册人教B版 (2)如图是函数y=f(x)在区间[a,b] 川要点2函数最值点、最值的求法 上的图象，写出函数的极大值、极小值、最 大值和最小值， 般地，如果函数y=f(x)在定义域(a, b)内的每一点都可导，且函数存在最值， f(b) 则函数的最值点一定是某个极值点；如果函 (x2) 数y=fx)的定义域为[a,b]且存在最值，函 f(a)、 1 数y=f(x)在(a,b)内可导，那么函数的最 值点要么是区间端点a或b,要么是极 f(x） f(x3)--- 值点 图6-2-5 例2已知函数fx)=+lnr (1)求函数f(x)在区间[1，e]上的最 大值、最小值 (2)求证：在区间(1，+∞)上，函数 fx)的图象在函数8x)=子的图象的下方 分析（1)求得f'(x),利用导数分 析函数单调性，结合端，点函数值和最值的 大小关系，即可求得结果 (2)将问题转化为求证fx)<2x,构 3 造函数Fx)=分4n-号，即可月导教 证明. (62)学 第六章导数及其应用。 变式训练② 例3已知函数fx)=+nx(aeR)· (1)讨论f(x)的极值， 已知函数x)=号2-3 (2)求f(x)在[1，e]上的最小值g(a). (1)求函数f(x)的单调区间. (2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最 大值与最小值. 学(63 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 B变式训练③ 数学文化 已知函数f(x)=2e(x+1). 例声音是物体振动产生的声波，其中 (1)求函数f(x)的极值. 包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y= (2)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>-3)》 Asinot,.我们听到的声音是由纯音合成的， 上的最小值g(t). 称之为复合音.若一个复合音的数学模型是 函数x)=sir+sin2x,则下列结论正确的 是 (填序号) ①2π是f(x)的一个周期； ②f(x)在[0,2π]上有3个零点； ③fx)的最大值为3V3 ； ④x)在0，牙上是增函数。 分析对①，根据正弦函数的周期判 断即可；对②，根据正弦的二倍角公式化 简，再求解零点即可；对③④，求导分析 f(x)的单调性，再求最值即可. (64学高中数学选择性必修第三册人教B版 6.2.2导数与函数的极值、最值 第1课时导数与函数的极值 要点精析 例1解：画出三个函数图象 y f(x)=x2 ytf(x)=x 图1 图2 图3 例1答图 结合函数图象和极值的定义可知： (1)x)=x2有极小值点0，极小值为0. (2)f(x)=x3有无极值点，无极值， (3)f(x)=-x有极大值点0，极大值为0. 变式训练1(1)①错误②错误③错误④正 确(2)B【解析】(1)函数的极大值不一定大于其 极小值，故①错误；导数为0的点不一定是极值点， 比如f(x)=x,f'(0)=0,但是x=0不是极值点，故②错 误：函数y=f(x)可能有极大值或极小值，也可能没有 极值，故③错误；函数的极值点是自变量的值，极值是 函数值.故④正确 (2)由图象，可知当x∈3,0时，f'(x)<0, 函数fx)在（号，0）上单调递减，故A错误：当xe (0,4)时，f'(x)≥0，.函数f(x)在(0,4)上单调 递增，故B正确，C错误；函数f(x)在x=0处取得极 小值，故D错误.故选B. 例2解：(1)由题意，f'(x)=3x2-4ax+a且f'(1)=0, .a2-4a+3=0,解得a=1或a=3. 当a=1时，f'(x)=3x2-4x+1, 则fx)0有K号或o1: f'x)0有号<<1 f(x)的极小值为f1),不符合题意 当a=3时，f'(x)=3x2-12x+9, 40 N 则f'(x)>0有x<1或>3：f'(x)<0有1<x<3. f(x)在(-，1)上递增，(1,3)上递减， (3,+∞)上递增， fx)的极大值为f(1). 综上，=3. (2)由(1)，知f(x)的极大值f(1)=4+b,极小值 f3)=b,又-4<b<0, 4+b>0, .此时f(x)有且只有3个零点. b<0. 变式训练2))号+4+4， f'(x)=-x244=-(x+2)(x-2). 令f'(x)=0,解得x=-2或x=2. 当x变化时，f'(x),fx)的变化如下表. (-0,-2) -2(-2,2) 2(2,+0) f'(x) 0 0 单调 极小单调 极大单调 f(x) 递减 值 递增 值 递减 因此，(x)的极小值点为-2，极大值点为2， 当x=-2时，x)有极小值，且极小值为-2)=-4 当x=2时，fx)有极大值，且极大值为f2)=28 (2)x)=写2-2x+4+4, f'(x)=x2-4x+4=(x-2)2≥0， f(x)在R上单调递增，f(x)没有极值. 数学文化 例AD【解析】依题意，h(x)=x=e广=e,>0,求 导得re)-enr了-en+ ·(1-lnx),由h'(x)=0,得x=e. 当0<x<e时，h'(x)>0,函数h(x)在(0，e)上单调 递增，当x>e时，h'(x)<0,函数h(x)在(e,+∞)上单 调递减，h(x)有极大值h(e)=e,无极小值.故选AD. 第2课时导数与函数的最值 要点精析 例1(1)ABC(2)BC【解析】(1)若函数f(x) 在区间[a,b]上有最值，则最值可能在极值点或区间 端点处取得，故A,B,C都不正确；函数在闭区间上 一定有最值，故D正确.故选ABC (2)对于A,B选项，由题中图象可知， 当a<x<1或x<x<b时，f'(x)<0, 当x<x<x时，∫'(x)≥0. .函数fx)的减区间为(a,x),(x5,b), 增区间为(x,x), .函数f(x)只有两个极值点，A错误， 函数f(x)的单调增区间为(，x),B正确； 对于C,D选项，函数的最大值可能为f(x),C正 确， :函数f(x)在[a,x]上单调递减，则fx)f(a), 故函数f(x)的最小值不可能为f(a),D错误. 故选BC. 变式训练1(1)①正确②错误③错误④错误 【解析】函数的最大值不一定是函数的极大值，可 能是在区间端点处取得，判断①正确：函数f(x)在区间 [a,b]上的最大值与最小值不一定在区间端点处取得， 可能为函数的极值，判断②错误；函数f(x)=sinx在区 间(0，π)上有极大值，但没有最小值，判断③错误； 函数fe)=six在区间-号，0上最大值为0.最小值 为-1，二者之和为-1，小于0，判断④错误 (2)解：由题图，可知y=f(x)在1，处取极小值， 在x2处取极大值，极小值为f(x),f(x),极大值为 f代，)：比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x),最 大值在b处取得，最大值为fb) 例2解：()由fx)=)+ln,有f'(x)=x+ 当xe[1,e]时，f'(x)>0, f(x)在区间[l,e]上为增函数， x)fe)=2e2+l,x)m=f1)=2 （2)设)=号r4nr-号， 参若答案。 则F(+-21-1t2 当x∈(1，+∞)时，F'(x)<0,F(x)单调递减， 且FI)60,故xe1,+)时，P0, 故在区间(1，+∞)上，函数f(x)的图象在函数 g)号0图象的下方. 变式训练2解：()由)号r子-3， 可得f'(x)=2x2-x-3=(2x-3)(x+1). 由f(x)=(2x-3)(+1)>0,可得>子或x<-1: 由fx)=(2-3)+1)<0.可得-1<： 函数)的单调递增区间是(-0,1)和子，快 单润减区间是-1，多 (2)由(1)，知函数f(x)在区间[1,2]上的单调性 为1，引单调递减，}，2单调谨指。 最水值为号引-号×多-×3-x3 27 又1=号-3-3=-名，f2)=号×8-×4-3x 2=8 3’ :最大值为2)=-号 “函数)在区间1,2习上的最小值为-冬，最 大值为-8 3 例3解：(1)由题意，知f(x)的定义域为(0，+∞)， fe+上 当a≤0时，x-a>0,f'(x)>0恒成立， f(x)在(0，+∞)上单调递增，fx)无极值. 当a>0时，若x∈(0，a),'(x)<0;若x∈(a,+∞)， f'(x)>0: 41 高中数学选择性必修第三册人教B版 fx)在(0，a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递 增： f(x)的极小值为f代a)=1+lna,无极大值. 综上所述，当a≤0时，fx)无极值； 当a>0时，f(x)的极小值为1+lna,无极大值， (2)当a≤1时，f'(x)≥0在[l,e]上恒成立 f(x)在[1，e]上单调递增，f(x)mfl)=a; 当1<a<e时，若x∈[1，a),f'(x)<0;若x∈(a, e],f'(x)>0: f(x)在[1，a)上单调递减，在(a,e]上单调递 增， ·f(x)mimf(a)=l+lna; 当a≥e时，∫'(x)≤0，fx)在[l,e]上单调递减， x)se)=8+1 综上所述，f(x)在[1，e]上的最小值g(a)= a,a≤1， 1+Ina,1<a<e, g+l,a≥e 变式训练3解：(1)f'(x)=2e(x+2), 由f'(x)>0,得x>-2:由f'(x)<0,得x<-2 .f(x)在(-2，+∞)上单调递增，在(-∞，-2)上 单调递减 f(x)的极小值为f(-2)=-2e2,无极大值. (2)由(1)，知f(x)在(-2，+∞)上单调递增， 在(-∞，-2)上单调递减. .t>-3,t+1>-2. ①当-3<t<-2时，f(x)在[t,-2)上单调递减，在 (-2,t+1]上单调递增，g(t)=f-2)=-2e2 ②当t≥-2时，f(x)在[t,t+1]上单调递增， 80)t)=2e(+10,g0=2.≥之 数学文化 例①②③【解析】y=sinx的最小正周期是2π，y= 2n2:的最小正周期是牙=m。 x)=sin+2sin2x的最小正周期是2m,故①正确： 当fx)=sin+2sin2x=0,xe[0,2m]时， 42 sinx+sinxcosx=0,sinx(1+cosx)=0, 即sinx=0或1+cosx=0, 解得x=0或x=T或x=2T, fx)在[0,2π]上有3个零点，故②正确： )sin+sin2sin+sino f'(x)=cosx+cosx-sinx=2cos2x+cosx-1, 令fe)-0,解得cos=2或cos=-l, 当xe0.霄或xe,2m时，之<cosx<1, 此时f'(x)>0.则fx)在0，牙），(，2m上单调递 增： 当xe胥，西时，-1≤c0<分，此时ra)≤0 但不恒为0，则)在（胥，罗上单调递减，则当x 哥时，函数fx)取得最大值f行=sm骨+n罗 3 Y+V=3Y,故③正确，④错误故答案为D 2 4 ②3. m6.3利用导数解决实际问题 要点精析 例1解：设包装盒的高为hcm,底面边长为acm.由 已知，得u=V2x,h=60-=2=V2(30-x),0<<30. v2 (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800, .当x=15时，S取得最大值 (2)V=a2h=2V2(-x+30x2), V'=6V2x(20-x). 由V'=0,得x=0(舍去)或x=20. 当xe(0,20)时，V'>0; 当x∈(20,30)时，V'<0. .当x=20时，V取得极大值，也是最大值 此时名弓，即包装盒的商与底面边长的比位为 1 2