期末复习专题09 利用导数研究零点问题【考点突破+强化训练】2025-2026学年高二数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦导数工具解决零点问题，构建从判断个数、求参范围到证明唯一性、分布及隐零点的递进体系，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断函数零点个数|6题|结合单调性、极值分析零点存在性|从导数研究函数性质到零点判定，基础逻辑链完整| |已知零点个数求参数范围|6题|通过极值点与图像特征建立参数不等式|参数对函数图像的影响，体现数形结合思想| |证明函数有唯一或多个零点|6题|利用导数证单调性+零点存在定理|逻辑推理与数学论证，强化严谨性| |含参函数零点分布|6题|限定区间内零点个数与参数关系分析|区间限制下的函数性质应用，提升综合分析能力| |隐零点问题|4题|极值点不可解时的代换与不等式证明|高阶技巧应用，培养转化与化归思维|

专题09 利用导数研究零点问题 考点一 判断函数零点个数 考点二 已知零点个数求参数范围 考点三 证明函数有唯一或多个零点 考点四 含参函数零点分布 考点五 隐零点问题 考点一 判断函数零点个数 1．（多选）函数，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则函数的极大值点为 C．当时，函数有2个零点 D．当时，函数在上的取值范围是 【答案】AD 【分析】A直接代入求解即可；B利用导数分析的单调性，进而可得极值点；C利用导数分析的单调性，进而可得零点；D导数研究单调性，进而求值域. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得或. A：若，解得，故A正确； B：若，则， 当时，；当时，； 所以在内单调递增，在内单调递减， 所以为的极小值点，故B错误； C：若，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则的极大值为，极小值为， 当趋近于时，趋近于，所以有且仅有1个零点，故C错误； D：若，则在上恒成立， 所以在上单调递增，而，， 所以在上的值域为，故D正确. 2．已知函数的导函数为． (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若，求零点的个数； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程； （2）结合（1）得，再构造函数，求导，分析函数单调性，得出函数的最值，进而根据零点存在性定理即可得到零点的个数； 【详解】（1）当时，，则，则， 又，所以的图象在点处的切线方程为，即． （2）结合（1）有，令， 则，则，令，解得， 所以当时，，则在上单调递减； 若时，，则在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 又，， 所以在上存在唯一的零点，即在上存在唯一的零点， 所以零点的个数为． 3．已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)求的零点个数； 参考数据：，． 【答案】(1)答案见解析 (2)一个 【分析】（1）求导得，再根据判别式，分，两种情况讨论求解即可； （2）研究函数得单调性，结合零点存在性定理求解即可； 【详解】（1）因为，， 所以， 对于，， 当时，，，单调递增； 当时，， 由，得， 则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2）因为，， 所以， 设，， 则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 易知是增函数， 当时，； 所以当时，，单调递增， 又，， 由零点存在定理可知存在，使得， 所以只有一个零点. 4．已知函数. (1)若，求的图象在点处的切线方程. (2)设函数. （i）讨论的零点个数； 【答案】(1) (2)（i）当或时，有两个零点，当时，有一个零点； 【分析】（1）当时，先求与，利用点斜式写出切线方程； （2）（i）求并因式分解，分、、三种情况讨论单调性与零点个数； 【详解】（1）当时，， 则， 又因为， 所以的图象在点处的切线方程为，即. （2）（i）由题可知与的定义域均为，故. . 令，可得或. 若，则当时，单调递增，当时， 单调递减，当时，单调递增， ，又时，， 所以存在，使得，此时共有两个零点； 若，则单调递增，此时，有一个零点； 若，则当时，单调递增，当时， 单调递减，当时，单调递增， ，又时，， 所以存在，使得，此时共有两个零点. 综上，当或时，有两个零点，当时，有一个零点. 5．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)讨论方程实数根的个数. 【答案】(1)； (2)极大值为，无极小值； (3)当时，方程无实根；当或时，方程有一个实根； 当时，方程有两个实根； 【分析】（1）先对函数求导，根据导数几何意义，可求得切线斜率，再结合点斜式方程，即可求得切线方程； （2）通过求导，判断函数的单调性，结合函数极值的概念，即可求解； （3）由（2）可得函数的单调性，进而可求得函数最值，通过对参数的取值进行讨论，即可求得方程的根个数； 【详解】（1）根据题意，函数的定义域为，， 所以切点为， 又， 所以， 则曲线在点处的切线方程为， 即； （2）由（1）得，， 令，解得， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，恒成立，所以在上单调递减， 所以为函数的极大值点，极大值为，无极小值； （3）由（2）得，函数在上单调递增，在上单调递减，且极大值为，同时也为函数的最大值， 当时，，所以， 当时，，但增长速度慢于的增速，所以， 方程实数根的个数即函数与的交点个数， 所以当时，函数与无交点，即方程无实根， 所以当时，函数与有一个交点，即方程有一个实根， 所以当时，函数与有两个交点，即方程有两个实根， 所以当时，函数与有一个交点，即方程有一个实根， 综上所述，当时，方程无实根， 当或时，方程有一个实根， 当时，方程有两个实根； 6．已知函数…是自然对数的底数，）． (1)讨论的单调性； (2)讨论关于x的方程根的个数． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)当时，关于x的方程根的个数为0；当时，关于x的方程根的个数为1；当时，关于x的方程根的个数为2． 【分析】（1）对函数求导，判断导数与0的大小关系，得出单调区间； （2）将方程转化为，令，讨论和时的单调性，再对的范围进行分析，讨论得到的零点个数，即可得出答案. 【详解】（1）解法一:， 当时，；当时． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 解法二：， 由，解得， 当时，，单调递减， 所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是； （2） 解法一:    通过图象可对c进行讨论： 当即，时，函数，的图象有两个交点， 即方程有两个根． 当即，时，函数，的图象有一个交点， 即方程有一个根． 显然当时，方程没有根． 解法二：令， （1）当时，，则， 所以，， 因为，，所以， 因此在上单调递增． （2）当时，，则， 所以，， 因为，， 又，所以，所以， 因此在上单调递减． 综合（1）（2）可知当时，， 当，即时，没有零点， 故关于x的方程根的个数为0； 当，即时，只有一个零点， 故关于x的方程根的个数为1； 当，即时， ①当时，由（1）知， 要使，只需使，即． ②当时，由（1）知； 要使，只需使，即； 所以当时，有两个零点，故关于x的方程根的个数为2； 综上所述： 当时，关于x的方程根的个数为0； 当时，关于x的方程根的个数为1； 当时，关于x的方程根的个数为2． 考点二 已知零点个数求参数范围 7．已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围． 【答案】(1)时，在单调递增，在单调递减； 时，在，单调递增，在单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，单调递增，在单调递减 (2) 【分析】（1）对函数求导，利用导数，按的取值范围分情况讨论函数的单调性； （2），令，则问题转化为的图象与直线有两个不同的交点，对函数求导并分析函数单调性，作出大致图象，结合图象求实数a的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为， ， 若，则，，， 在上单调递增，在上单调递减， 若，令，则或， 当，即时，或，， 在，上单调递增，在上单调递减； 当，即时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当，即时，或，， 在，上单调递增，在上单调递减； 综上： 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减． （2）， 令，则问题转化为的图象与直线有两个不同的交点， ，则 ， ， 在上单调递增，在上单调递减， 且时，时，，大致图象如下， 要使的图象与直线有两个不同的交点，则，即， a的取值范围是． 8．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； (3)若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程； （2）求导，利用导数分析函数在区间内的单调性和极值，结合端点值确定函数在区间内的最大值和最小值； （3）把零点问题转化为直线与的交点问题，结合（2）作出的大致图象，结合图象求b的取值范围． 【详解】（1）函数求导得， 则， 曲线在点处的切线方程为： ，即． （2）令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 为极大值点，为极小值点， ， ， ， ， 综上可得，函数在区间上的最大值为，最小值为． （3）函数在有三个不同的零点， 等价于直线与有3个不同交点， 由（2）知，的极大值为，极小值， 作出大致图象如下： 由图象可知，要使直线与有3个不同交点， 则需满足：，解得． 9．若函数在定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将零点问题转化为交点问题，数形结合可解. 【详解】函数在内有两个不同的零点， 即在内有两个不等实根. 设，，则， 由解得， 所以为上的减函数，为上的增函数. 则， 而当且时，；当时，. 如下图： 由题可知和有两个不同交点，所以有. 10．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求的取值范围： 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由导数的几何意义，确定切线斜率，进而可求解； （2）问题转换成与图象的交点，结合函数的单调性，最值，即可求解. 【详解】（1）定义域为．． 因此，切线斜率为：． ， ∴切线方程为：， 即：． （2）有两个零点， 即：与图象有两个交点． 由（1）知，令，则． 当时，单调递增； 当时，单调递减，则． 当时，；当时，． 因为与图象有两个交点， ． 11．已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：； (3)若使方程三个不等的根，求的取值范围. 【答案】(1) (2)由题意知，定义域为，， ，当时，，显然为增函数， 当时，，当时，，根据零点存在定理， 使，而当， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，即，则即， 因为，所以，故，所以， 令，则， 故在为增函数，所以，即原不等式成立; (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，求出斜率，代入点斜式方程求出切线方程即可； （2）利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理，即可证明； （3）将方程有三个不等的根转化为两个函数有三个交点，即有三个单调区间，利用导数研究函数的单调性，分别对进行和的讨论，即可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，，，则切点为， 又，故，则切线方程为，即; （2）略； （3）由题意知，定义域为， 若使方程三个不等的根，即直线与图像有三个交点， 则应有三个单调区间，又，， ①当时，由（2）可知，在上单调递减，在上单调递增， 此时没有三个单调区间，不成立； ②当时，解得，解得， 故在单调递减，在上单调递增， 故， 当时，，此时在上单调递增，没有三个单调区间，不成立； 当时，，当时，，当时，， 根据零点存在定理，使，，使， 而当， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，， 故当时方程有三个实根， 综上所述，的取值范围是. 12．已知函数有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：参变分离，构造函数，求导，得到函数单调性，数形结合得到的取值范围； 法二：求导，分和两种情况，结合函数单调性和最值得到不等式，求出，并验证其满足要求，得到答案 【详解】法一：由得到：； 令，由题意得与有两个交点： 则，其中， 是单调递减的，并且时，； 因此函数存在唯一零点，； 当时，；时，；； 得如下函数图像： 显然当时，与有两个交点： 法二：由题意得，显然恒成立， ①当时，，故恒成立， 故在R上单调递减，至多有一个零点，不符合题意： ②当时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 在处取到最小值．要使有两个零点，需， 解得． 当时，令，则， 故， 又在上单调递减，所以在区间上存在唯一的零点． 接下来证明，记， 当单调递增，所以，故， 令，则， 故 ．而在上单调递增， 所以在区间上存在唯一的零点． 综上，a的取值范围是． 考点三 证明函数有唯一或多个零点 13．已知函数，为的导数． (1)求在处的切线方程； (2)证明在区间存在唯一极大值点； (3)证明有且仅有2个零点． 【答案】(1) (2)由题意知定义域为且， 令，， ，， 在上单调递减，在上单调递减， 在上单调递减， 又，， ，使得， 当时，；时，， 即在上单调递增；在上单调递减， 则为唯一的极大值点， 即在区间上存在唯一的极大值点． (3)，， ①当时，由（2）可知在上单调递增， 在上单调递减， 又， 为在上的唯一零点． ②当时，在上单调递增，在上单调递减 又， 在上单调递增，此时，不存在零点， 又， ，使得， 当，，当，， 在上单调递增，在上单调递减， 又，， 在上恒成立，此时不存在零点. ③当时，单调递减，单调递减， 在上单调递减， 又，， 即，又在上单调递减， 在上存在唯一零点， ④当时，，， ， 即在上不存在零点. 综上所述有且仅有2个零点． 【分析】（1）对求导，求，，根据点斜式方程写出切线方程； （2）求二阶导数分析的单调性，分析上零点情况，判断零点个数； （3）分析在的单调性和零点，的单调性和零点，的单调性和零点， 的单调性和零点. 【详解】（1）， ，， 切线方程为． （2）略 （3）略 14．已知函数． (1)若为增函数，求实数a的取值范围； (2)证明：函数有且仅有一个零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，问题化为恒成立，应用导函数求右侧的最小值，即可得； （2）问题化为证明 在上有且仅有一个零点，应用导数研究其零点即可证. 【详解】（1）由题设 ， 若为增函数，则，， 即对任意恒成立，即恒成立． 令，， 令，得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，即的取值范围是； （2）令，可得，令 ， 所以， 设 且，则， 当时，当时， 所以在区间单调递减，在区间单调递增， 所以， 所以，在上单调递增， 取，且，则， 取，且，则， 所以在区间存在唯一零点， 所以有且仅有一个零点. 15．已知函数，，. (1)若曲线与曲线在点处有相同的切线，求的值； (2)设，且. ①求的极值； ②证明：函数有3个不同的零点. （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)①极小值为；极大值为； ②证明过程如下 【分析】（1）由两条曲线在一点处的切线相同，则根据导数的几何意义即在该点处的斜率相等，即可求出的值； （2）①先求导，根据导函数的符号判断原函数的单调性，从而确定极值点； ②通过判断极大值大于，极小值小于，再结合端点的函数值，即可判断零点的个数. 【详解】（1）解：由题意知，，所以点在 两条曲线上， 分别求导得，， 由曲线与曲线在点处有相同的切线，则， 即，所以. （2）①解：，， 所以， 令，则或， 因为，所以， 又，所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取极大值为； 在处取极小值为. ②由①可知，，，， 则，所以. 又在处取极小值为，， 令，则，， 因为，所以，因此在单调递减， 又，所以，即. 因为当时，；当时，，，则， 因此在有1个零点；在存在1个零点；在存在1个零点， 因此，函数有3个不同的零点. 16．已知函数，其中. (1)若是的极值点，求的值； (2)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (3)设，分别为在区间的极值点和零点，比较与的大小，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据导数与极值的关系求解即可. （2）根据导数与极值的关系，结合零点存在定理证明即可. （3）由（2）知，，，且，代入整理得，构造函数，结合导数与单调性得到，即，结合在单调递减即可得到. 【详解】（1）的定义域为，. 因为是的极值点，所以，即，解得. 当时，， 当时，；当时，，所以是的极值点. 综上，. （2）由（1）知，，. 令，即，因为，，所以， 解得，且. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以是在上唯一的极值点，是极大值点. 所以. 取，（易知，则，） 则. 令，则可写为. 令，则， 令，则，所以在上单调递减， 所以，即，所以在上单调递减， 所以，所以， 所以存在，使得，所以是在上唯一零点. 综上，在区间存在唯一的极值点和唯一的零点. （3），证明如下： 由（2）知，，满足，且， 要比较与的大小，即比较与的大小. . 令，， 则， 所以在上单调递减，，即. 因为在单调递减，，，， 所以. 17．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，证明：关于方程在区间上有两个根； (3)在（2）的条件下，设方程的两个根为，，其中，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接利用导数判断，分四种情况：，，，讨论可得； （2）构造函数，将方程的根转化为函数的零点问题，显然函数有一个根，再用零点存在性定理判断另一个零点可得； （3）由（2）知，根据函数单调性，要证只需证，再通过换元，即只需证，再构造函数，再令，用导数判断，从而可得，进而可得所证不等式. 【详解】（1）由函数，所以函数的定义域为， ① 当时：对恒成立， 时，单调递减； 时，单调递增. ② 当时，当时，单调递增；当时，单调递增；当时，单调递减； ③ 当时：恒成立，在单调递增； ④ 当时：当 时，单调递增；当时，单调递增； 时，单调递减； 综上所述，当 时，在上单调递减，在上单调递增； 当时， 在，上单调递增；在上单调递减； 当时， 在单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）令，显然，，所以方程有一个根. 由（1）知当时，在，上单调递增；在上单调递减； 所以是极大值，是极小值，且，即. 又因为， 令，则，所以在上单调递减， 所以，即， 由零点存在定理，在存在唯一一个零点， 因此在上共有两个不同零点，即方程在上有两个根. （3）由（2）知，且在单调递增，且 因此要证，只需证. 令，则，故只需证明. 令， , 令， ， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，故，即， 所以，因为在单调递增，因此. 18．设函数（）． (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数，的值； (2)求证：； (3)关于的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)不可能有三个不同的实根，证明见解析 【分析】（1）对函数求导，根据已知切线方程列方程求参数值； （2）问题化为证明，构造函数并应用导数证明不等式即可； （3）问题化为证明在上至多有一个实根，导数研究在上的零点个数即可. 【详解】（1）由题设，且， 又点在切线上，所以，则， 又切线斜率为2，所以，故； （2）要证， 即证， 即证时，， 即证， 令，则， 故在上单调递增，， 故； （3）不可能有三个不同的实根，证明如下： 令，． 如果有三个不同的实根， 则至少要有三个单调区间， 则至少有两个不等实根， 只要证明在上至多有一个实根即可． ， 令，则， 当时，，， ， 在上单调递增， 在上至多有一个实根； 当时，由（2）得， ∵当时，， ， 在上没有实根． 综上所述，在上至多有一个实根， 所以不可能有三个不同的实根得证. 考点四 含参函数零点分布 19．已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看成一个整体，找出其范围，再根据正弦函数的图像和性质列出不等式求解. 【详解】， 令，得. ，. 令，由的图象得： ，化简得. 故选：D.    20．已知在上有两个不同零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得出，变形得出，分析可知，构造函数，其中，分析出函数在上为增函数，可得出，则，参变分离得出，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】由可得， 故等式可变形为， 等式两边同时乘以可得， 若，对任意的，，则，故， 所以，但，等式不成立，不符合题意，所以， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数， 由可得， 所以，参变分离得， 构造函数，其中，则， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以函数的极大值为， 又因为，，且，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 因此实数的取值范围是. 故选：D. 21．已知的图像关于坐标原点对称. （1）求的值； （2）若函数在内存在零点，求实数的取值范围； （3）设，若不等式在上恒成立，求满足条件的最小整数的值. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据函数的图像关于坐标原点对称，可得是定义在的奇函数，图像必过原点，即，即可求出值． （2）函数在内存在零点，方程在内有解，分析在的单调性以及端点值的函数值符号，进而根据零点存在定理得到结论． （3）由不等式在上恒成立，利用基本不等式可求出满足条件的的范围，进而求出最小整数的值． 【详解】解：（1）由题意知是上的奇函数，∴，得． （2）， 由题设知在内有解，即方程在内有解． ∴在内单调递增，∴； 故当时，函数在内存在零点． （3）由，得，， 显然时，，即． 设，由于，； 于是，； 故满足条件的最小整数的值是． 【点睛】本题考查了奇函数的特征、零点存在定理以及求函数的值域，此题运用了化归与转化思想，综合性比较强． 22．已知函数，其中常数且，记函数. （1）求函数的零点. （2）若关于的方程在区间内有且仅有一解，求实数的取值范围. 【答案】（1）0；（2）当时，；当时，或. 【解析】（1）利用对数函数和分式函数的定义域即可得出函数的定义域，再利用对数的运算可得答案； （2）对a分类讨论可得函数的单调性，进而问题等价于关于x的方程在区间内仅有一解，再解一元二次不等式可得答案. 【详解】（1）， 由， 解得函数的定义域为， 令，则， 即，解得， 经检验是增根，所以函数的零点为. （2）函数在定义域上是增函数，故： ①当时，在定义域上增函数， ②当时，函数在定义域上是减函数， 问题等价于关于的方程在区间内仅有一解， ①当时，由（2）知，函数在上是增函数， ， 只需， 解得：，或， ②当时，由（2）知，函数在上是减函数， ，只需， 解得：， 综上所述：当时，；当时，或. 【点睛】本题考查了对数函数及分式函数类型得到的复合函数的定义域、单调性及其零点问题，第二问关键点是关于的方程在区间内仅有一解的等价转化，考查了基础知识与基本技能、推理能力和计算能力. 23．若关于的函数在内有且仅有一个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】或 【分析】分讨论，另外时，通过解得实数的取值范围． 【详解】解：函数在区间仅有一个零点， 当时，，解得， 若，方程的根为，舍去； 当，方程的根为，符合题意； 当时，，解得或， 由题可得， ，解得， 又当时，，此时方程另一根为，舍去； 当时，，此时方程另一根为，符合题意， 综上所述：实数的取值范围是或， 故答案为：或. 【点睛】本题主要考查函数的零点的存在性定理，要特别注意一些特殊情况的存在性，属于中档题． 24．已知函数在区间上有且仅有4个零点. (1)求的取值范围; (2)当时，若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围; (3)当时，若函数在区间内有两个不同的零点，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法可得函数在区间上有且仅有4个零点，然后结合余弦函数的图象与性质即可得结果； （2）求出，问题转化为在上恒成立，进而求得结果； （3）问题转化为函数与的图象在区间内有两个不同的交点，可得t的不等式，计算可得结果. 【详解】（1）因为，则，， 因为函数在区间上有且仅有4个零点， 所以函数在区间上有且仅有4个零点， 结合余弦函数的图象与性质可得：， 解得：， 所以的取值范围为 （2）当时，由可得：，所以， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立，又因为当时，， 所以，所以， 即，所以，故实数m的取值范围为 （3）因为函数在区间内有两个不同的零点，所以在区间内有两个不同的零点， 即在区间内有两个不同的零点， 即函数与的图象在区间内有两个不同的交点， 由余弦函数的图象与性质可得：或，即或， 故实数t的取值范围为 考点五 隐零点问题 25．已知函数……自然对数底数）. (1)当时，求函数f（x）的单调区间； (2)当时， （i）证明：存在唯一的极值点： （ii）证明： 【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明见详解 【分析】（1）求导，利用导数判断函数单调性；（2）利用导数判断单调性，利用零点存在性定理判断零点，进而确定极值点，利用零点代换结合函数最值处理极值的范围． 【详解】（1），构建 当时，则在上单调递减，且 当时，，当时， 则函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）（i）由（1）可知：当时，在上单调递减 ∴在内存在唯一的零点 当时，，当时， 则函数的单调递增区间为，单调递减区间为 ∴存在唯一的极值点 （ii）由（i）可知： ∵，即 ，且 ∵在单调递减 则 构建，则当时恒成立 则在上单调递增，则 则，即 ∴ 26．已知函数（e为自然对数的底数）． (1)当时，求函数的极值； (2)证明：，当时，． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间与极值. （2）分析可得即证，又，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得证. 【详解】（1）当时定义域为， 则， 所以当或时当时， 所以的单调递增区间为，，单调递增区间为， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 即，. （2）依题意要证， 即证， 因为，只需证明， 又，所以， 令，， 则， 令，则， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 又，，， 所以，使得， 所以当时，即，则在上单调递增， 当时，即，则在上单调递减， 当时，即，则在上单调递增， 又，，所以，即， 所以，则不等式得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 27．设函数． (1)当，求在点处的切线方程； (2)证明：当时，； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式得到直线方程即可； （2）先证明在上存在唯一零点，设为，再由导数求出最小值结合基本不等式和对数的运算证明即可. 【详解】（1）当时，， 则，即， 所以在点处的切线方程为，即. （2）因为， 因为为单调递增函数，也为单调递增函数， 所以为单调递增函数，又，且， 所以在上存在唯一零点，设为， 当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数； 所以， 由可得，即， 所以， 当且仅当时取等号， 所以当时，， 28．已知函数． (1)若曲线在点处的切线为，求的值； (2)若为上的单调函数，求的取值范围； (3)若函数，求证：可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据，结合导数运算，即可求得参数值； （2）分类讨论，为增函数和减函数，参变分离，根据或在上恒成立，即可求得范围； （3）根据，以及为奇函数，只需证明在有一个零点即可；讨论时，的单调性，结合（2）中所求，即可证明. 【详解】（1），故，故； 由题可知，，故，解得. （2）若为上的单调增函数，则在上恒成立，即， 也即恒成立，又，故； 若为上的单调减函数，则在上恒成立，即， 也即恒成立，又，故； 综上所述，若为上的单调函数，则的范围为. （3），其定义域为，又，故其为奇函数； 又，故只需证明可以取无数个值，使得每一个的取值在有一个零点即可. 又，令，则， 当时，由（2）可知，为上的单调减函数，又，故在恒成立， 故在单调递减，又，，故存在，使得， 则当，，单调递增；当，，单调递减； 故当，，又， 故存在，使得； 综上所述：当时，在存在唯一零点， 也即当时，恰好有三个零点， 于是，可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点. 1．已知只有2个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，可得，结合的单调性可得，令，利用导数判断的单调性和图象，结合图象分析求解即可. 【详解】由题意可知：函数的定义域为， 令，可得， 令，则， 因为在定义域内单调递增，则， 且，可得， 令，，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 可得的图象，如图所示： 由题意可知：与只有个交点， 则，解得， 所以a的取值范围是. 2．已知函数，，若恰有4个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得到为奇函数，的零点关于原点对称，因此只需研究时的零点个数为2，即可对应得到时的零点个数；当时，得到的具体解析式，令分离出参数；构造关于的新函数，利用导数研究函数的单调性、极值、值域，结合方程解的个数要求，得到时方程有2个解对应的的范围，结合奇函数的性质得到总零点为4个时的范围. 【详解】，的定义域为. ，为奇函数，图象关于原点对称. ，恰有4个零点， 可得时，恰有2个零点；时，恰有2个零点，且这4个零点关于原点对称. ， 当时，，得. 时，， 当且时，令，得，即. 时，恰有2个零点，等价于且时，有2个解； 即与在且时有两个交点. 令（且），则； ； ，； 当且时，，即在和上单调递减； 当时，；时，；，；时，；如图所示： 由图可知，当时，与有两个交点； 恰有4个零点时，实数k的取值范围是． 3．已知函数，.若与的图象恰好有4个不同的交点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性将问题转化为与函数图象有2个不同的交点，利用导函数研究其单调性即可. 【详解】由可知，为偶函数， 又也为偶函数， 故与的图象恰好有4个不同的交点 等价于方程恰好有2个不同的正根，显然， 所以与函数图象有2个不同的交点， ， 当时，单调递增；当时，单调递减； 所以， 当时；当时， 所以，所以，故实数a的取值范围为 4．关于的方程恰好有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意将“方程恰好有4个不同的实数根” 转化为“直线与函数的图象在恰好有两个不同的交点”，根据导数与最值的关系得到，解之即可. 【详解】由题意得，，因为，则， 即，，也即. 令，则， 则方程恰好有4个实数根可转化为直线与函数的图象在恰好有两个不同的交点， ，令，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，当时，， 所以需使，即. 故实数的取值范围为. 5．已知关于的方程有且仅有两个不同的实数解，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】首先将方程转化为，再由的单调性及零点可得，进而转化为函数与的交点问题，用导数判断函数的单调性及极值，再用数形结合判断可得. 【详解】由，得，即. 由函数在上单调递增，且，得，即. 令，则， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故. 且当时，，当时，，当时，，如图： 若方程有且仅有两个交点，则，即. 因此，实数的取值范围为. 6．已知，若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】设，则，设，则，然后利用函数的单调性分析出，将问题转换成在上有解，分离参数并构造函数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】设，则原方程化为在上有解； 令，则，那么，都在函数的图象上； 假设，因为单调递增，所以，即，与假设矛盾； 假设，因为单调递增，所以，即，与假设矛盾； 故，则在上有解，即在上有解， 令，则，解得， 则在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以，解得． 故实数的取值范围为. 7．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)若有3个零点，，，证明：. 【答案】(1) (2)当时，函数有且仅有1个零点； 当时，函数有3个零点. (3)证明见详解 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导可得，根据函数定义域和判别式分和两种情况讨论，判断函数单调性并结合分析零点个数； （3）可证，分析可知，，，结合基本不等式分析证明. 【详解】（1）若，则，， 可得，， 所以曲线在点处的切线方程. （2）由题意可知：函数的定义域为，且， 对于方程，则， 因为，若，则；若，即，则； 当时，则，即， 可知函数在定义域内单调递增， 且，所以函数有且仅有1个零点； 当时，则，可知有2个不相等的实数根，， 且，则， 若，则，即； 若或，则，即； 可知函数在，内单调递增，在内单调递减， 则，且，即， 因为， 令，则， 可知在内单调递减，则，可得； 又因为， 所以函数有3个零点； 综上所述：当时，函数有且仅有1个零点； 当时，函数有3个零点. （3）若有3个零点， 由（2）可知：，， 因为， 又因为，则，且，，则， 所以. 8．已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)若图像与轴有且仅有两个交点，求的值. 【答案】(1)单调减区间为和，单调增区间为，有极小值，极大值 (2) 【分析】（1）求导判断导数的变化情况即可得到的单调区间和极值； （2）结合（1）中的结果，利用极大值或极小值解决问题. 【详解】（1）依题意有， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的单调减区间为和，单调增区间为， 有极小值，极大值. （2），可知时， 时，所以若图像与轴有且仅有两个交点， 应有极小值或极大值，得. 9．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围； (3)若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； (2)； (3)． 【分析】（1）利用导数的正负判断原函数的单调性，对函数进行求导，讨论正负即可，需注意定义域的范围； （2）根据第一问的讨论结果，判断函数有两个零点则函数不单调，再利用最值列出不等式计算即可； （3）对不等式进行变形，通过构造新函数，利用新函数的单调性求解不等式． 【详解】（1）定义域为； ， 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得； 当时，，故在上单调递增； 当时，，解得，故在上单调递增， ，解得，故在上单调递减； 综上：当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为． （2）若函数在上有且仅有2个零点， 则在上有两个根，即； 令，； 令，解得； 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 则，，； 因为在上有两个根，故与有两个交点； 故的取值范围为； （3）由可得，，即， 令，在上恒成立； 因为，故在上单调递增， 故，即，在上恒成立， 由（2）可知，，故的取值范围为． 10．设函数. (1)证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标； (2)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）借助导数几何意义计算可得曲线在点处的切线方程，再求出该切线所过定点即可得； （2）求导后分及讨论该函数单调性，结合零点存在性定理可得不符， 时需满足，解出即可得. 【详解】（1）因为，， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为：， 即，即， 所以曲线在点处的切线过定点； （2），， 当时，，则在上单调递减， 此时最多有一个零点，不满足题意； 当时，令，解得，令，解得， 于是在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，当时，， 又因为有两个零点， 所以，即， 解得或， 因此，的取值范围为. 11．已知. (1)当时，求函数的的极值； (2)设，是否存在，使得曲线与关于原点对称？若存在，求；若不存在，说明理由； (3)证明：对任意，存在，使得有两个不同的零点. 【答案】(1)极大值，无极小值 (2)存在， (3)证明见解析 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再结合单调性求出函数的极值. （2）假定存在，求出曲线关于原点对称的曲线方程，再利用两个函数相等求解. （3）求出，探讨二次函数的零点并确定的单调性，再利用零点存在性定义推理判断. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 则， 令得（ 舍去，因 ），所以： 当 时，， 单调递增， 当 时，， 单调递减， 因此，函数在处取得极大值. 所以函数的极大值为 ，无极小值. （2）若存在，则，所以 ，则 ， 若曲线 关于原点对称，对于曲线上一点 ， 则它关于原点的对称点 也在该曲线上，即， 因 ，则， 因为曲线与关于原点对称，所以， 又因为 ，所以， 整理得，所以 ，即， 因为 ，所以，即，则， 故存在，使得曲线与关于原点对称. （3）函数的定义域为，求导得， 令，依题意，， 方程在上有唯一零点， 当时，，； 当时，，， 函数在上递增，在上递减， 对任意，存在使得，则， 而， 对任意，，取，， 由在上递增，得， 又当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 则对任意，任意，使得有两个不同的零点， 所以对任意，存在，使得有两个不同的零点. 12．已知，. (1)证明：； (2)证明：函数与的图象有两条公切线. 【答案】(1) 设，则， 因为在上均为增函数，故在上为增函数， 而，，故在上存在一个零点， 且当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，而，故， 故，但，故等号不可取， 故，即即. (2) 设公切线与曲线的切点坐标为， 与曲线的切点坐标为， 则曲线在处的切线方程为， 同理曲线在处的切线方程为， 故，故①， 若，则，但恒成立，矛盾，故， 故①即为，设， 则 故在为增函数，在为增函数， ，，， ， 故有两个不同的零点即函数与的图象有两条公切线. 【分析】（1）设，求出函数的导数，利用虚数零点可求函数的最小值，结合指对数转化可证题设中的不等式； （2）设公切线与曲线的切点坐标为，与曲线的切点坐标为，根据导数的几何意义可得方程组，利用消元法结合导数可证该方程组有两个不同的解即可. 【详解】（1）略 （2）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 利用导数研究零点问题 考点一 判断函数零点个数 考点二 已知零点个数求参数范围 考点三 证明函数有唯一或多个零点 考点四 含参函数零点分布 考点五 隐零点问题 考点一 判断函数零点个数 1．（多选）函数，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则函数的极大值点为 C．当时，函数有2个零点 D．当时，函数在上的取值范围是 2．已知函数的导函数为． (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若，求零点的个数； 3．已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)求的零点个数； 参考数据：，． 4．已知函数. (1)若，求的图象在点处的切线方程. (2)设函数. （i）讨论的零点个数； 5．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)讨论方程实数根的个数. 6．已知函数…是自然对数的底数，）． (1)讨论的单调性； (2)讨论关于x的方程根的个数． 考点二 已知零点个数求参数范围 7．已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围． 8．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； (3)若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围． 9．若函数在定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 10．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求的取值范围： 11．已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：； (3)若使方程三个不等的根，求的取值范围. 12．已知函数有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点三 证明函数有唯一或多个零点 13．已知函数，为的导数． (1)求在处的切线方程； (2)证明在区间存在唯一极大值点； (3)证明有且仅有2个零点． 14．已知函数． (1)若为增函数，求实数a的取值范围； (2)证明：函数有且仅有一个零点． 15．已知函数，，. (1)若曲线与曲线在点处有相同的切线，求的值； (2)设，且. ①求的极值； ②证明：函数有3个不同的零点. （参考数据：，，） 16．已知函数，其中. (1)若是的极值点，求的值； (2)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (3)设，分别为在区间的极值点和零点，比较与的大小，并证明你的结论. 17．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，证明：关于方程在区间上有两个根； (3)在（2）的条件下，设方程的两个根为，，其中，证明：. 18．设函数（）． (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数，的值； (2)求证：； (3)关于的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论． 考点四 含参函数零点分布 19．已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．已知在上有两个不同零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 21．已知的图像关于坐标原点对称. （1）求的值； （2）若函数在内存在零点，求实数的取值范围； （3）设，若不等式在上恒成立，求满足条件的最小整数的值. 22．已知函数，其中常数且，记函数. （1）求函数的零点. （2）若关于的方程在区间内有且仅有一解，求实数的取值范围. 23．若关于的函数在内有且仅有一个零点，则实数的取值范围是______． 24．已知函数在区间上有且仅有4个零点. (1)求的取值范围; (2)当时，若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围; (3)当时，若函数在区间内有两个不同的零点，求实数t的取值范围. 考点五 隐零点问题 25．已知函数……自然对数底数）. (1)当时，求函数f（x）的单调区间； (2)当时， （i）证明：存在唯一的极值点： （ii）证明： 26．已知函数（e为自然对数的底数）． (1)当时，求函数的极值； (2)证明：，当时，． 27．设函数． (1)当，求在点处的切线方程； (2)证明：当时，； 28．已知函数． (1)若曲线在点处的切线为，求的值； (2)若为上的单调函数，求的取值范围； (3)若函数，求证：可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点． 1．已知只有2个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，，若恰有4个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，.若与的图象恰好有4个不同的交点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．关于的方程恰好有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知关于的方程有且仅有两个不同的实数解，则实数的取值范围为_____. 6．已知，若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围为______． 7．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)若有3个零点，，，证明：. 8．已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)若图像与轴有且仅有两个交点，求的值. 9．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围； (3)若对任意，恒成立，求的取值范围． 10．设函数. (1)证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标； (2)若有两个零点，求的取值范围. 11．已知. (1)当时，求函数的的极值； (2)设，是否存在，使得曲线与关于原点对称？若存在，求；若不存在，说明理由； (3)证明：对任意，存在，使得有两个不同的零点. 12．已知，. (1)证明：； (2)证明：函数与的图象有两条公切线. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $