6.2.1 导数与函数的单调性-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第三册人教B版 数学文化 例D【解析】f'(x)=cosx-sinx,f"(x)=-sinx-cosx,则 xe0,罗，f(x)<0,∴fx)=sinx+cosx在(0，上 是凸函数，故A不符合题意； fe)=2,f(x)=<0,fx)-2在0，罗 上是凸函数，故B不符合题意： f'(x)=-3x2+2,f"(x)=-6x<0,∴f八x)=-x3+2x-1在 0,上是凸函数，故C不符合题意： ()=-e4e=@-1)e",M)=(2-x)ex0. 时，2-x>0,e>0,f”"(x)>0恒成立，与定义不符，故 D符合题意.故选D >"6.2利用导数研究函数的性质 6.2.1导数与函数的单调性 要点精析 例1(-1,2)和(4，+∞)【解析】：导函数f'(x) 在(-1,2)和(4，+∞)上的函数值大于0，函数fx) 的单调递增区间是(-1,2)和(4，+∞)· 变式训练1A【解析】由y=(x)(x∈R)的图象，可知 fx)在-，3和(2，+0)上单调递增，在（行，2】 上单调递减，则当x∈(-，子)时f(x)>0,xe(2,+o) 时fe)0,xe(写，2)时∫x)0,不等式'x)>0的 解集为0，号U(2,+0,.故选A 例2(1)A【解析】f(x)=2x-sinx, ∴f'(x)=2-cosx>0在(-0，+0)上恒成立， f(x)在(-∞，+∞）上是增函数.故选A. (2)解：fx)=3x2-2lnx的定义域为(0，+∞)， f'(x)=6x-2 =2(3x2-1) =2(V3x-1)V3x+1) (38 由0.f)0,解得oY:由0，fe)0. 解得0<<V3 3 函数3x2x的单调递赠区间为Y,+=小， 单调递减区间为0，V3」 3 变式训练2解：(1)函数f(x)=x(a+x2), 则f'(x)=a+3x2,则f'(1)=a+3×12=a+3, 而直线3x+y+1=0的斜率为-3. ·.·曲线y=fx)在点(1，f(1))处的切线与 直线3x+y+1=0平行，则a+3=-3,解得a=-6. (2)由(1)可知a=-6,f(x)=-6x+x3, 定义域为R,∫'(x)=-6+3x2, 令f'(x)=0,即-6+3x2=0,化简，可得x2=2, 解得x=±V2. 当f'(x)>0时，函数f(x)单调递增. 由-6+3x2>0,即x22,解得x<-/2或x>V2, f(x)的单调递增区间为(-∞，-V2)和(V2, +0). 当f'(x)<0时，函数f(x)单调递减， 由-6+3x2<0,即x2<2,解得-V2<x<V2, f(x)的单调递减区间为(-V2,V2). 综上，f(x)的单调递增区间为(-0，-V2)和 (V2,+∞)，单调递减区间为(-V2,V2)· 例3解：函数的定义域为(0，+0)，且f'(x)=2- ①当a≤0时，f'(x)>0恒成立，fx)在(0，+0)上 单调递增： ②当>0时，由'(x)=2->0,解得0<<2：由 f'(x)<0,解得2 a 九)在0，名上单调适增，在会+x]上单润 递减。 综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(0， +∞)，无单调递减区间； 当o0时，九)的单调递增区间是0，名)，单调递 诚区同是（侣.+场小 变式训练3解：(1)f'(x)=2x+1+(2a+1),当a= 时，f'(x)=2x++3,'(1)=6,f1)=4,函数y0x) 的图象在点(1,4)处的切线方程为y-4=6(x-1),即 6x-y-2=0. (2)fx)的定义域为(0，+∞)， f(x)=2a+1+(2a+1)=2a2+(2a+1x+l-(2ax+1)(x+1) ①当a≥0时，∫'(x)>0在(0，+∞）恒成立，f(x) 的递增区间是(0，+∞)： ②当a0时，je0,0e<afe)0, )的递增区间是0.a,递诚区间是（方+ 综上，当a≥0时，fx)的递增区间是(0，+∞)： 当a0时，)的递增区间是0，a,递诚区间 是(a+小 例4解：(1)f'(x)=x2-a+b, f(0)=1, c=1, 由题意，得 即 f'(0)=0, b=0 (2)由（)，知x)写号1. gx)写号42x+1, 2 ,'g(x)=x2-ax+2,依题意，存在x∈(-2，-1)， 使不等式g(x)=x2-ar+2<0成立， 即x∈(-2，-1)时， ac+2=-2vz, 当且仅当x=2,即x=-V2时等号成立. .满足要求的a的取值范围是(-∞，-2V2). 变式训练4解：g(x)=x2-ax+2,且g(x)在(-2，-1) 内为减函数，x2-ax+2≤0在(-2，-1)内恒成立， 参考答案。 g(-2)≤0,4+2a+2≤0， 即 解得a≤-3. g(-1)≤0,1+a+2≤0， 即实数a的取值范围是(-∞，-3]. 变式训练5解：：g(x)的单调递减区间为(-2，-1)， x=-2,x=-1是g(x)=0的两个根， ∴.(-2)+(-1)=a,即a=-3. 变式训练6解：由变式训练4，知g(x)在(-2，-1)内 为减函数时，实数a的取值范围是(-∞，-3].若g(x) 在(-2，-1)内为增函数，则a≥x+2在(-2，-1)内 恒成立.又y=x+2在(-2，-V2)内单调递增，在 (-V2,-1)内单调递减，y=x+2的值域为(-3， -2V2),.实数a的取值范围是[-2V2,+∞)，.函 数g(x)在(-2，-1)内单调时，a的取值范围是(-∞， -3]U[-2V2,+∞)，故g(x)在(-2，-1)上不单调 时，实数a的取值范围是(-3，-2V2). 数学文化 例AC【解析】设函数x):品，0且x≠L, 则斯"（点品0且x1.了归 ,0且1 当x→+o时，f"(x)<0. .当x很大时，随着x的增大，f(x)的增长速度变 慢，故A正确；f(x)并不减小，故B错误； 当x很大时，在区间(x,x+n)(n是一个较大常 数)内，函数增长得慢，素数的个数随x的增大而减 少，故C正确： 品4*2892，故D错误 故选AC 39N 高中数学选择性必修第三册人教B版 6.2 利用导数研究函数的性质 6.2.1 导数与函数的单调性 学习目标 变式训练① 会运用导数求函数的单调区间、证明函 已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所 数的单调性 示，则不等式f'(x)>0的解集为() 要点精析 川要点1函数单调性和导数之间的关系· 31 1.一般地，从函数导数的几何意义理解 图6-2-2 函数的单调性与导数的正负之间的关系；函 数f(x)的单调性与导函数∫'(x)的正负之间 A0,u2,+m) 的关系。 B.-0,号u},2 2.定义在区间(a,b)内的函数y=f(x): f'(x) f(x) C.(-0, 0u3,2 f'(x)>0 在区间(a,b)单调递增 D.(-1,0)U(1,3) f'(x)<0 在区间(a,b)单调递减 思考导数（瞬时变化率）和单调性 川要点2利用导数求函数的单调性 有怎样的关系呢？ 在已知函数解析式的情况下，可以利用 例1已知函数f(x)的导函数y=∫'(x)的 、 导函数的正负确定函数的单调区间. 图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间 思考已知函数解析式，怎样确定导 是 数的正负呢？需要如何操作？ =f'(x 例2(1)函数f(x)=2x-sinx在(-o, +∞)上是() A.增函数 B.减函数 图6-2-1 C.先增后减 分析 导数为正，函数单调递增；导 D.不确定 数为负，函数单调递减 54)学 第六章导数及其应用。 (2)求函数f(x)=3x2-2lnx的单调区间. 反思感悟 利用导数求函数单调区间的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域。 (2)求导函数f'(x)· (3)解不等式f'(x)>0或f'(x)<0,并 写出解集 (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的 单调区间. 川要点3利用导数求含参函数的单调性· 说明：含参函数在求导后，要注意零点 之间的大小关系和导函数的符号确定。 思考导数存在参数，导数零点是否 变号对函数单调性有什么影响吗？ B变式训练② 例3求函数f(x)=2lnx-ax的单调区间. 已知函数f(x)=x(a+x2),曲线y=f(x)在 点(1，f(1)处的切线与直线3x+y+1=0 平行 (1)求a的值. (2)求函数f(x)的单调区间. 学(55 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 B变式训练③ 川要点4已知函数单调性，求参数范围· 已知函数f(x)=ax2+(2a+1)x+lnx,aeR, 思考函数单调，导数必须恒正或者恒 (1)若a=1,求函数yf(x)的图象在点 负吗？ (1,f(1))处的切线方程. (2)讨论f(x)的单调性. 例4设函数f)=写之受+bx+c,曲 线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y=1. (1)求b,c的值. (2)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区 间(-2，-1)内存在单调递减区间，求实数 a的取值范围 分析 (1)待定系数法在x=0处的导 数值为0，函数值为1. (2)函数在区间上存在单调递减区间， 转化为导数在区间上存在小于0的连续 区间 (56)学 第六章导数及其应用。 变式训练④ 变式训练6 将例4中(2)的条件改为：若g(x) 将例4中(2)的条件改为：若g(x) 在(-2，-1)内为减函数，其他条件不变， 在(-2，-1)内不单调，其他条件不变， 求实数a的取值范围. 求实数a的取值范围. 数学文化 例（多选题）素数分布问题是研究 素数性质的重要课题.德国数学家高斯提出 B变式训练 了一个循想：)=品，其中f)表示不 将例4中(2)的条件改为：若g(x)的 大于x的素数的个数，即随着x的增大， 单调递减区间为(-2，-1)，其他条件不变， 求实数a的值. f(x)的值近似接近x的值.从猜想出发， Inx 下列推断正确的有（) A.当x很大时，随着x的增大，f(x)的 增长速度变慢 B.当x很大时，随着x的增大，f(x) 减小 C.当x很大时，在区间(x,x+n)(n是 一个较大常数)内，素数的个数随x的增大 而减少 D42,4》4 学(57