6.2.1 导数与函数的单调性(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

6.2.1　导数与函数的单调性 1.函数f（x）＝x2ln x的单调递减区间为（　　） A.（0，）　　　　　　 B. C.（，＋∞） D. 2.函数f（x）＝x3lg（x2＋1）＋ex的部分图象可能是（　　） 3.已知函数f（x）＝aln x－x2＋6x在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（　　） A.[－9，＋∞） B.（－9，＋∞） C.（－∞，－9） D.（－∞，－9] 4.若f（x）＝，e＜a＜b，则（　　） A.f（a）＞f（b） B.f（a）＝f（b） C.f（a）＜f（b） D.f（a）f（b）＞1 5.已知f（x）＝2aln x＋x2，若∀x1，x2∈（0，＋∞）且x1≠x2都有＞4，则a的取值范围是（　　） A.（1，＋∞） B.[1，＋∞） C.（0，1） D.（0，1] 6.〔多选〕若函数f（x）＝x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的取值范围可以是（　　） A.m≥4 B.m≤2 C.1＜m≤2 D.0＜m≤3 7.函数y＝的单调递减区间是　　　　. 8.已知函数f（x）＝x3－ax－1，若f（x）在（－1，1）上单调递减，则a的取值范围为　　　　. 9.已知定义在（0，＋∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）·x＜f（x），f（3）＝0，则＞0的解集为　　　　. 10.已知二次函数h（x）＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h'（x）的图象如图，f（x）＝6ln x＋h（x）. （1）求函数f（x）的解析式； （2）求f（x）的单调区间. 11.〔多选〕若函数exf（x）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质.下列函数中具有M性质的增函数是（　　） A.f（x）＝2－x B.f（x）＝3－x C.f（x）＝x3 D.f（x）＝x2＋2 12.已知函数f（x）＝ax3＋bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直.则实数a＝　　　　；若函数f（x）在区间[m，m＋1]上单调递增，则m的取值范围为　　　　. 13.已知函数f（x）＝x2－x＋ln x. （1）当a＝2时，求函数f（x）的单调递增区间； （2）讨论函数f（x）的单调性. 14.〔多选〕 如果函数f（x）对定义域内的任意实数，都有f（x）＋xf'（x）≥0，则称函数y＝f（x）为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是（　　） A.f（x）＝ex B.f（x）＝ln x C.f（x）＝x2 D.f（x）＝sin x 15.已知函数f（x）＝a（x－1）－ln x，g（x）＝ex. （1）讨论y＝f（x）的单调性； （2）若函数F（x）＝f（x）·g（x）在[1，＋∞）上单调递增，求实数a的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2　利用导数研究函数的性质 6.2.1　导数与函数的单调性 1.D　由题意得，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝2x·ln x＋x2·＝2xln x＋x＝x（2ln x＋1）. 令f'（x）＜0，得2ln x＋1＜0，解得0＜x＜， 故函数f（x）＝x2ln x的单调递减区间为. 2.A　对f（x）求导得f'（x）＝3x2lg（x2＋1）＋＋e＞0恒成立，故f（x）在R上单调递增，A正确.故选A. 3.D　由已知，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－x＋6.由f（x）＝aln x－x2＋6x在定义域内单调递减，所以f'（x）≤0在（0，＋∞）上恒成立，即－x＋6≤0，可转化为a≤x2－6x在（0，＋∞）上恒成立，所以a≤（x2－6x）min.因为y＝x2－6x＝（x－3）2－9，所以（x2－6x）min＝－9，所以a≤－9.因此实数a的取值范围是（－∞，－9].故选D. 4.A　由f'（x）＝＜0，解得x＞e，∴f（x）在（e，＋∞）上为减函数，∵e＜a＜b，∴f（a）＞f（b）. 5.B　任取x1，x2∈（0，＋∞），假设x1＜x2，因为＞4，所以f（x1）－f（x2）＜4（x1－x2），即f（x1）－4x1＜f（x2）－4x2.构造函数g（x）＝f（x）－4x，由题意知，g（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以g'（x）＝f'（x）－4≥0，即＋2x－4≥0，所以a≥2x－x2，又2x－x2＝－（x－1）2＋1≤1，所以a≥1，所以a的取值范围是[1，＋∞）. 6.AC　易知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－＝.由f'（x）≥0得函数f（x）的单调递增区间为[3，＋∞）；由f'（x）≤0得函数f（x）的单调递减区间为（0，3].因为f（x）在区间[m－1，m＋1]上单调，所以或m－1≥3，解得1＜m≤2或m≥4.结合选项可得A、C正确.故选A、C. 7.（－∞，0）和（0，1）　解析：函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），y'＝＝，令y'＜0，得x＜1，且x≠0.故函数的单调递减区间是（－∞，0）和（0，1）. 8.[3，＋∞）　解析：∵f（x）＝x3－ax－1，∴f'（x）＝3x2－a.要使f（x）在（－1，1）上单调递减，则f'（x）≤0在x∈（－1，1）上恒成立，故a≥3x2在x∈（－1，1）上恒成立，在x∈（－1，1）上，3x2＜3，即a≥3，∴a的取值范围为[3，＋∞）. 9.（0，3）　解析：设g（x）＝，因为f'（x）·x＜f（x），所以g'（x）＝＜0⇒g（x）是（0，＋∞）上的减函数.因为f（3）＝0，所以g（3）＝0，因此＞0⇒g（x）＞0＝g（3）⇒x＜3.因为x＞0，所以0＜x＜3.所以＞0的解集为（0，3）. 10.解：（1）由已知，h'（x）＝2ax＋b， 其图象为直线，且过（0，－8），（4，0）两点， 把两点坐标代入h'（x）＝2ax＋b，解得 ∴h（x）＝x2－8x＋2，h'（x）＝2x－8， ∴f（x）＝6ln x＋x2－8x＋2. （2）∵f'（x）＝＋2x－8＝（x＞0）. ∴当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （0，1] （1，3] （3，＋∞） f'（x） ＋ － ＋ f（x） 单调递增 单调递减 单调递增 ∴f（x）的单调递增区间为（0，1]和（3，＋∞）， f（x）的单调递减区间为（1，3]. 11.AD　对于A，exf（x）＝ex·2－x＝，在R上为增函数，故A符合要求；对于B，exf（x）＝ex·3－x＝，在R上为减函数，故B不符合要求；对于C，exf（x）＝ex·x3，故[exf（x）]'＝（ex·x3）'＝ex·（x3＋3x2），显然函数exf（x）＝ex·x3在R上不单调，故C不符合要求；对于D，exf（x）＝ex·（x2＋2），故[exf（x）]'＝[ex·（x2＋2）]'＝ex·（x2＋2x＋2）＝ex·[（x＋1）2＋1]＞0，故函数exf（x）＝ex·（x2＋2）在R上为增函数，故D符合要求，故选A、D. 12.1　m≥0或m≤－3　解析：因为函数f（x）＝ax3＋bx2的图象经过点M（1，4），所以a＋b＝4. ① f'（x）＝3ax2＋2bx，则f'（1）＝3a＋2b. 由条件f'（1）·＝－1，即3a＋2b＝9. ② 由①②解得a＝1，b＝3. f（x）＝x3＋3x2，则f'（x）＝3x2＋6x.令f'（x）＝3x2＋6x≥0，得x≥0或x≤－2.因为函数f（x）在区间[m，m＋1]上单调递增，所以[m，m＋1]⊆（－∞，－2]∪[0，＋∞），所以m≥0或m＋1≤－2，所以m≥0或m≤－3. 13.解：（1）函数f（x）＝x2－x＋ln x的定义域为（0，＋∞）， 当a＝2时，f（x）＝x2－x＋ln x， 所以f'（x）＝x－＋＝＝. 故当x∈（0，）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，）上单调递增； 当x∈（，2）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（，2）上单调递减； 当x∈（2，＋∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（2，＋∞）上单调递增. 所以函数f（x）的单调递增区间为（0，）和（2，＋∞）. （2）由f（x）＝x2－x＋ln x可得f'（x）＝x－＋＝＝. ①当a＜0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，＋∞）上单调递增； ②当0＜a＜1时，x∈（0，a）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，a）上单调递增； x∈（a，）时，f'（x）＜0，f（x）在（a，）上单调递减； x∈（，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（，＋∞）上单调递增； ③当a＝1时，f'（x）≥0，且仅在x＝1时，f'（x）＝0， 所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增； ④当a＞1时，x∈（0，）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，）上单调递增； x∈（，a）时，f'（x）＜0，f（x）在（，a）上单调递减； x∈（a，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（a，＋∞）上单调递增. 综上所述，当a＜0时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增； 当0＜a＜1时，函数f（x）在（0，a）和（，＋∞）上单调递增，在（a，）上单调递减； 当a＝1时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增； 当a＞1时，函数f（x）在（0，）和（a，＋∞）上单调递增，在（，a）上单调递减. 14.ABD　令g（x）＝xf（x），则g'（x）＝f（x）＋xf'（x）≥0，即函数g（x）在定义域内是增函数，称函数y＝f（x）为“F函数”.对于A，f（x）＝ex，g（x）＝xf（x）＝xex（x∈R），g'（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex，当x＞－1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x＜－1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，不符合在定义域内是增函数，则函数f（x）＝ex不是“F函数”，故A符合题意；对于B，f（x）＝ln x，g（x）＝xf（x）＝xln x（x＞0），g'（x）＝ln x＋1，当0＜x＜时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，不符合在定义域内是增函数，则函数f（x）＝ln x不是“F函数”，故B符合题意；对于C，f（x）＝x2，g（x）＝xf（x）＝x3（x∈R），g'（x）＝3x2≥0，所以g（x）是增函数，则函数f（x）＝x2是“F函数”，故C不符合题意；对于D，f（x）＝sin x，g（x）＝xf（x）＝xsin x（x∈R），g'（x）＝sin x＋xcos x，当π＜x＜时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，不符合在定义域内是增函数，则函数f（x）＝sin x不是“F函数”，故D符合题意.故选A、B、D. 15.解：（1）y＝f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝， 当a≤0时，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立， 所以y＝f（x）在（0，＋∞）上单调递减. 当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝， 当f'（x）＜0时，0＜x＜，当f'（x）＞0时，x＞， 则y＝f（x）在上单调递减，在上单调递增. （2）F（x）＝[a（x－1）－ln x]·ex， 由题意知F'（x）＝·ex≥0在[1，＋∞）上恒成立， 所以ax－ln x－≥0在[1，＋∞）上恒成立. 令h（x）＝ax－ln x－，则至少有h（1）≥0⇒a－1≥0⇒a≥1（经检验a＝1符合题意）. 当a≥1时，有h'（x）＝a－＋＝. 令φ（x）＝ax2－x＋1，其图象开口向上，对称轴方程为x＝∈， 故φ（x）在[1，＋∞）上单调递增，所以φ（x）≥φ（1）＝a＞0， 所以h'（x）＞0，所以h（x）在[1，＋∞）上单调递增. 综上，实数a的取值范围为[1，＋∞）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $