6.1.4 求导法则及其应用-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第三册人教B版 f(x)=lim )(=lim 3-3=lim 0-0. △r+0 △x 4-0△xd0 (2)根据定义，可知 f'(x)=lim f(x+Ax)-f(x) △￥0 Ax =lim(x+△x)-(x) 4x0 Ax =lim 1=1. △￥0 (3)根据定义，可知 f'(x)=lim f(+△x)-fx) △+0 △x =lim（x+△x)2-(x2) △x+0 △x =lim(2x+△x) A￥0 =2x. 变式训练1解：f(x)=mf+x-f △x =im34r+3Ar+A=im3x43x4r+4r2-32. △x 例2解：(1)f'(x)=(-6)x7 (2)y'=61n6. 3)产 (4)y'=0. (5)y=cos+受=-sim ∴y'=-C0sx. (6)y-VF=,y= 变式训练2(1)V(2)×(3)×(4)× 例39-4y+9=0或9x-y-18=0【解析】由fx)=号， 得了)=2设切点为Mo,专，则fo,则过 切点M的切线方程为)y一}=-w.:点P在切线上， 把P3,9)代人方程，得9-号=(3-，整理，得 2-9+27=0.即子r3)0,解得=子或3 当0时，切线方程为9%4y+9=0:当6=3时. 切线方程为9x-y-18=0.综上，过点P(3,9)的切线方 程为9x-4y+9=0或9x-y-18=0. 36 变式训练3解：(1)f(2)=2+2-16=-6, .点(2，-6)在曲线上。 f'(x)=3x2+1, .在点(2，-6)处的切线的斜率为 k=f'(2)=3×22+1=13, .直线1的方程为y=13(x-2)+(-6). 即y=13x-32. (2)设切点为(0，yo),则切线的斜率为 f'(x0)=3x+1, .切线方程为y=(3x+1)(x-xo)+x+x0-16. 又切线过点(0,0)， .0=(3x+1)(-x0)+x+xo16,整理，得8=-8， .∴x=-2,y=(-2)3+(-2)-16=-26, .k=3×(-2)2+1=13, .过原点且与曲线y=f(x)相切的切线方程为y=13x, 切点坐标为(-2，-26). 数学文化 例A【解析】由题意，可知fx)=Vx,f'(x)=1 2Vx >0,∴y=f(x)在(0，+∞)上单调递增.选择3.998附近 的点x=4>3.998,f(4)+f'(4)(3.998-4)=1.9995> m.故选A. 6.1.4求导法则及其应用 第1课时导数的四则运算法则 要点精析 例1解：f(x)=x3+3x-8,则∫'(x)=3x2+3,当x=2时， f'(2)=15. 变式训练1解：)九)子之 则f'(x)=x-1+1=x-2+1 x2- x2 (2).f(x)=e'+lnx+sinx,f'(x)=e++cosx. 例2解：f(x)=xsinx, f'(x)=(x)'sinx+x (sinx )'=3x2sinx+xcosx. 变式训练2解：(1)h'(x)=(xsinx)'=x'sinx+x(sinx)'= sinx+xcosx. (2)f'(x)=(x2e)'=(x2)'e+x2(e)'=2xe+x2e 例3舞：要了 (sinx)'x-sinx(x)' +2 -CoSx·x-sinm Y =xcosx-sinx x2 2)盖 -(x2)'Inx-x2(Inx)' (Inx) 2nx-} =In'x =x(2Inr-1) In'x 33 =(3x-1)y (3x-1)2 -3 =(3x-1V 变式训练3解：(1)g(x)=0-cot=-cox sin'x sin'x tanx-x sina tanx-x.sin+cos (2)f'(x)= COSx tan'x tan'x tanx-xtan'x-x tanx 2ulnu-ux 1 (3)W'(u)= u_2ulnu-u In'u Inu 数学文化 例20【解析】由g(x)=x3-3x2+4x+2, 得g(x)=3x2-6x+4,g"(x)=6x-6. 令g"(x)=0,解得x=1, .函数g(x)的对称中心是(1,4)， 'g(2-x)+g(x)=8, 故设g3s子+g)+s告+8各m, 则s+8号)+g)+g号+s兮=m,两式相 加，得8×5=2m,解得m=20.故答案为20. 参若答案。 第2课时简单复合函数的求导法则及其应用 要点精析 例1解：(1)y=(3+5x)2是由函数y=2,u=3+5x复合 而成的. (2)y=10g3(x2-2x+5)是由函数y=1ogu,u=x2-2x+5 复合而成的. (3)y=cos3x是由函数y=cosu,u=3x复合而成的. 例2解：(1)y=(2x+3)2=4x2+12x+9,y=8x+12. (2)y'=3(1-3x)2(1-3x)'=-9(1-3x)2 (3)y=e2=(e2),∴y=(e2)ne2=2e4 (4)y=In I=-In, 变式训练1解：(1)令u=2x+3,则y=10, y=yu=10lnl0(2x+3)'=2lnl0102s (2)y=sin'x+cosx =(sin'x+cos"x)2-2sin'x.cos2x =l-号sin2=l-41-cos4) =子+cos4x yr子+子cos4y=-sn4x 例3A【解析】设曲线y=n(2x-1)在点(xo,y)处的 切线与直线2+30平行，y22儿=222， 解得xo=1,yo=lnl=0,.切点坐标为(1,0)·∴.切点 到直线的距离为d=5L=V5,即曲线y=ln(2x-1)上 V5 的点到直线2x-y+3=0最短距离为V5.故选A. 变式训练2B【解析】设y=kx+b是y=lnx+2在点 a2的切线.则2」 同理，设y=kx+b是 Ina+2=ka+b, =1 y=n(x+2)在点(c,ln(c+2)的切线，则 +2 In(c+2)=kc+b, k=1, 由方程组，得c+2=a,代入，解得 b=1,故选B. =1, c=-1. 37 高中数学选择性必修第三册人教B版 数学文化 例D【解析】f'(x)=cosx-sinx,f"(x)=-sinx-cosx,则 xe0,罗，f(x)<0,∴fx)=sinx+cosx在(0，上 是凸函数，故A不符合题意； fe)=2,f(x)=<0,fx)-2在0，罗 上是凸函数，故B不符合题意： f'(x)=-3x2+2,f"(x)=-6x<0,∴f八x)=-x3+2x-1在 0,上是凸函数，故C不符合题意： ()=-e4e=@-1)e",M)=(2-x)ex0. 时，2-x>0,e>0,f”"(x)>0恒成立，与定义不符，故 D符合题意.故选D >"6.2利用导数研究函数的性质 6.2.1导数与函数的单调性 要点精析 例1(-1,2)和(4，+∞)【解析】：导函数f'(x) 在(-1,2)和(4，+∞)上的函数值大于0，函数fx) 的单调递增区间是(-1,2)和(4，+∞)· 变式训练1A【解析】由y=(x)(x∈R)的图象，可知 fx)在-，3和(2，+0)上单调递增，在（行，2】 上单调递减，则当x∈(-，子)时f(x)>0,xe(2,+o) 时fe)0,xe(写，2)时∫x)0,不等式'x)>0的 解集为0，号U(2,+0,.故选A 例2(1)A【解析】f(x)=2x-sinx, ∴f'(x)=2-cosx>0在(-0，+0)上恒成立， f(x)在(-∞，+∞）上是增函数.故选A. (2)解：fx)=3x2-2lnx的定义域为(0，+∞)， f'(x)=6x-2 =2(3x2-1) =2(V3x-1)V3x+1) (38 由0.f)0,解得oY:由0，fe)0. 解得0<<V3 3 函数3x2x的单调递赠区间为Y,+=小， 单调递减区间为0，V3」 3 变式训练2解：(1)函数f(x)=x(a+x2), 则f'(x)=a+3x2,则f'(1)=a+3×12=a+3, 而直线3x+y+1=0的斜率为-3. ·.·曲线y=fx)在点(1，f(1))处的切线与 直线3x+y+1=0平行，则a+3=-3,解得a=-6. (2)由(1)可知a=-6,f(x)=-6x+x3, 定义域为R,∫'(x)=-6+3x2, 令f'(x)=0,即-6+3x2=0,化简，可得x2=2, 解得x=±V2. 当f'(x)>0时，函数f(x)单调递增. 由-6+3x2>0,即x22,解得x<-/2或x>V2, f(x)的单调递增区间为(-∞，-V2)和(V2, +0). 当f'(x)<0时，函数f(x)单调递减， 由-6+3x2<0,即x2<2,解得-V2<x<V2, f(x)的单调递减区间为(-V2,V2). 综上，f(x)的单调递增区间为(-0，-V2)和 (V2,+∞)，单调递减区间为(-V2,V2)· 例3解：函数的定义域为(0，+0)，且f'(x)=2- ①当a≤0时，f'(x)>0恒成立，fx)在(0，+0)上 单调递增： ②当>0时，由'(x)=2->0,解得0<<2：由 f'(x)<0,解得2 a 九)在0，名上单调适增，在会+x]上单润 递减。 综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(0， +∞)，无单调递减区间；第六章导数及其应用。 6.1.4求导法则及其应用 第1课时 导数的四则运算法则 思考已知一个函数h(x)的导函数为 学习目标 h'(x)=3x2+2x,求函数h(x)的解析式. 1.能利用给出的基本初等函数的导数公 例1求函数f(x)=x3+3x-8在x=2处的 式和导数的四则运算法则，求简单函数的 导数值。 导数 2.会运用导数的四则运算法则，求含有 和、差、积、商综合运算的函数的导数 要点精析 川要点1函数和（或差）的求导法则 1.一般地，如果f(x),g(x)都可导，则 [f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x). 即两个函数之和（或差）的导数等于这 两个函数的导数之和（或差）· D变式训练① 事实上，设h(x)=f(x)±g(x),则有 求下列函数的导数， △h_h(x+△x)-h(x) △x △x (D)) =fx+△x)±g(x+△x)-[fx)±g(x)] (2)f(x)=e*+lnx+sinx. △x =[fx+△x)-fx)]±[g(x+△x)-g(x)] △x =△f+△g △x△x 四密四 即h'(x)=∫'(x)±g(x). 2.上述法则可以推广到任意有限个函数 [f(x)f(x)±…f(x)]'=f'(x)±f2'(x)±… '(x) 学(49 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 川要点2函数乘积的求导法则 变式训练② 1.一般地，如果f(x),g(x)都可导，则 求下列函数的导数 [f(x)g(x)]'=f(x)g(x)+f(x)g'(x) (1)h(x)=xsinx.(2)f(x)=x2e". 即两个函数之积的导数，等于第一个函 数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数 乘以第二个函数的导数 2.特别地，当g(x)是常值函数，即 g(x)=C时，因为C'=0,由上述法则立即可以 得出， [Cfx)]'=Cf'(x). 即常数与函数之积的导数，等于常数乘 川要点3函数商的求导法则 以函数的导数 思考证明[f(x)g(x)]'=f'(x)·g(x)+ 一般地，如果f(x),g(x)都可导，且 f(x)g'(x). gx)≠0时，有”=fxgx)-x)gx 例2求函数f(x)=x3sinx的导数. ,g(x) g(x) 思考 证明)得 则h'(x)= f'(x)g(x)-f(x)g'(x) 82(x) 例3求下列函数的导数 I)y=sinc.(2)yFm、 (3)y=3x-1 1 反思感悟 一般地， [u(x)u(x)w(x)]'=u'(x): v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)w'(x). (50)学 第六章导数及其应用。 反思感悟 导数的计算技巧： 数学文化 (1)求导之前，应先利用代数、三角 例设∫'(x)是函数f(x)的导数，∫"(x) 恒等式等变形对函数进行化简，然后再求 是函数f'(x)的导数，若方程"(x)=0有实数 导，这样可以减少运算量，提高运算速度， 解xo,则称点(xo,f(xo))为函数f(x)的拐 减少差错 点.某同学经过探究发现：任何一个三次 (2)遇到函数商的形式时，如能化简 函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有拐点， 则化简，这样可以避免使用商的求导法则， 任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就 减少运算量， 是对称中心，设函数g(x)=x3-3x2+4x+2,利 ⑧变式训练3 用上述探究结果计算： 求下列函数的导数， g3+g3+g1)+g+g (1)g(x)=1 (2)fx)=,x sinx _tanx 分析本题主要考查给定一个新定义 3)rw品 导数的运算.新定义题型的特点是通过给出 一个新概念，或者约定一种新运算，或给 出几个新模型来创设全新的问题情境，要 求学生在阅读理解的基础上，依据题目提 供的信息，联系所学的知识与方法，实现 信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新 定义问题，应耐心读题，分析新定义的特 点，弄清新定义的性质，按新定义的要求， “照章办事”，逐条分析、验证、运算，使 问题得以解决。 学(51 高中数学选择性必修第三册人教B版 第2课时简单复合函数的求导法则及其应用 3.复合函数求导步骤 学习目标 分层 选择中间变量，写出构成它的内、 1.能求简单复合函数（限于形如f代ax+b) 外函数 的导数 分别求导 分别求各层函数对应变量的导数 2.解决与曲线的切线有关的问题 相乘 把上述求导的结果相乘 要点精析 变量回代 把中间变量回代 川要点1复合函数的求导法则 思考 已知h(x)=sin2x,f(u)=sinu, 1.一般地，已知函数y=f(u)与u=g(x), g(x)=2x,则h'(x),f'(u),g(x)分别是什 给定x的任意一个值，就能确定u的值. 么？它们有什么关系呢？ 如果此时还能确定y的值，则y可以看成 例1指出下列函数是怎样复合而成的. x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称 (1)y=(3+5x)2 y=h(x)=f(g(x)) (2)y=log3(x2-2x+5). 为函数f(u)与g(x)的复合函数，其中 (3)y=cos3x. u称为中间变量. 注：复合函数的外层函数以基本初等函 数为主要形式，而内层函数是关于自变量x 的基本初等函数或者关于自变量x的基本初 等函数经过有限次四则运算而成的函数， 2.复合函数的求导法则 例2求下列函数的导数， 一般地，设函数u=g(x)在点x处有导 (1)y=(2x+3)2.(2)y=(1-3x)3. 数'=g(x),函数y=fu)在点x的对应点u 处有导数y'∫'4，则复合函数y=f(g(x)在点 (3)y=e.(4)y=ln1 x处也存在导数，且y'=yu'或者可以写 成f'[g(x)]=f'(u)g(x),即复合函数对于自 变量x的导数等于已知函数对于中间变量心 的导数乘以中间变量对于自变量x的导数. 52)学 第六章导数及其应用。 变式训练1 B变式训练2 求下列函数的导数， 若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线， (1)y=102+3. 也是曲线y=ln(x+2)的切线，则b的值为 () A.0 B.1 C.0或1 D.0或-1 数学文化 例给出定义：若函数f(x)在D上可 (2)y=sin x+cosix. 导，即f'(x)存在，且导数f'(x)在D上也可 导，则称f(x)在D上存在二阶导数，记 "(x)=(f'(x)',若"(x)<0在D上恒成立， 则称f(x)在D上为凸函数，则以下四个函数 在0,7上不是凸函数的是() A.f(x)=sinx+cosx B.f(x)=Inx-2x C.f(x)=-x3+2x-1 D.f(x)=-xe* 川要点2导数运算法则综合应用 分析对于定义型导数问题是理解新 思考我们知道，圆的周长1是圆半 定义，然后将新定义的语言翻译成数学语 径r的函数，即l=2TT,那么如何利用所学 言，从而运用导数知识进行解决，对于导 过的导数知识，由圆的周长计算公式得到 数准备求导即可. 圆面积计算公式呢？ 例3曲线y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0的最短距离为（) A.V5 B.2V5 C.3V5 D.0 分析曲线上的，点到直线的最短距离 应为在曲线上某点的切线与已知直线平行， 因此先根据斜率求出切，点坐标，再求出切 点到直线的距离 学(53